In diesem Artikel werden wir uns Aufgaben ansehen, in denen wir die Häufigkeitstabelle für einen gegebenen Datensatz ausarbeiten.

1 Im Monat Juli wurden in einer Stadt folgende Höchsttemperaturen gemessen:

\displaystyle 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31,

\displaystyle 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

Erstelle dazu die Häufigkeitstabelle. Diese muss Folgendes enthalten: alle Daten, absolute Häufigkeiten, kumulierte Häufigkeiten, relative Häufigkeiten und kumulierte relative Häufigkeiten.

Folgende Merkmale sind vorhanden:

1 In die erste Spalte der Tabelle schreiben wir die Variable,

aufsteigend angeordnet.

2 In die zweite Spalte schreiben wir die absolute Häufigkeit (wie oft jeder spezifische Wert vorkommt, nämlich f_i.

3 In die dritte Spalte schreiben wir die kumulierte Häufigkeit (Die Summe der absoluten Häufigkeiten der aktuellen und der vorherigen Variablen), also F_i.

4 Die erste Zeile zeigt, dass die absolute und die kumulierte Häufigkeit gleich sind: F_1 = f_1

5 Für alle Zeilen außer der ersten Zeile gilt, dass die kumulierte Häufigkeit gleich der absoluten Häufigkeit dieser Zeile plus der kumulierten Häufigkeit der vorherigen Zeile ist, also

 

\displaystyle F_i = f_i + F_{i - 1}

 

6 Die letzte kumulierte Häufigkeit muss gleich N sein (Summe aus fi), d. h. F_8 = N = 31.

7 In die vierte Spalte schreiben wir die relativen Häufigkeiten, nämlich n_i,

die sich aus der Division der einzelnen absoluten Häufigkeiten durch die Gesamtdaten ergeben, nämlich N = 31.

8 In die fünfte Spalte schreiben wir die kumulierte relative Häufigkeit N_i.

9 Die erste Zeile zeigt, dass die kumulierte relative Häufigkeit und die relative Häufigkeit gleich sind: N_1 = n_1

10 Für alle Zeilen außer der ersten Zeile gilt, dass die kumulierte relative Häufigkeit gleich der relativen Häufigkeit dieser Zeile plus der kumulierten relativen Häufigkeit der vorhergehenden Zeile ist, also

 

\displaystyle N_i = n_i + N_{i - 1}

 

Die Häufigkeitstabelle sieht also wie folgt aus

xifiFiniNi
27110,0320,032
28230,0650,097
29690,1940,290
307160,2260,516
318240,2580,774
323270,0970,871
333300,0970,968
341310,0321
31

2 Das jeweilige Gewicht von 65 Mitarbeiter*innen einer Fabrik ist durch folgende Tabelle gegeben

Gewichtfi
[50, 60)8
[60, 70)10
[70, 80)16
[80,90)14
[90, 100)10
[100, 110)5
[110, 120)2

Erstelle die entsprechende Häufigkeitstabelle.

Wir beachten, dass für die Häufigkeitstabelle Folgendes gelten muss

1 In die erste Spalte der Tabelle schreiben wir die Intervalle oder Gruppen. Die erste Spalte ist somit vollständig.

2 In die zweite Spalte schreiben wir die absolute Häufigkeit (wie oft jeder spezifische Wert vorkommt), nämlich f_i. Diese Spalte ist also vollständig.

3 In die dritte Spalte schreiben wir die kumulierte Häufigkeit (Die Summe der absoluten Häufigkeiten der aktuellen und der vorherigen Variablen), nämlich F_i.

4 Die erste Zeile zeigt, dass die absolute und die kumulierte Häufigkeit gleich sind: F_1 = f_1

5 Für alle Zeilen außer der ersten Zeile gilt, dass die kumulierte Häufigkeit gleich der absoluten Häufigkeit dieser Zeile plus der kumulierten Häufigkeit der vorherigen Zeile ist, also

 

\displaystyle F_i = f_i + F_{i - 1}

 

6 Die letzte kumulierte Häufigkeit muss gleich N sein (Summe aus fi), d. h.  F_8 = N = 31.

7 In die vierte Spalte schreiben wir die relativen Häufigkeiten, nämlich n_i,

die sich aus der Division der einzelnen absoluten Häufigkeiten durch die Gesamtdaten ergeben, nämlich N = 31.

8 In die fünfte Spalte schreiben wir die kumulierte relative Häufigkeit N_i.

9 Für die erste Zeile gilt, dass die kumulierte relative Häufigkeit und die relative Häufigkeit gleich sind: N_1 = n_1

10 Für alle Zeilen außer der ersten Zeile gilt, dass die kumulierte relative Häufigkeit gleich der relativen Häufigkeit dieser Zeile plus der kumulierten relativen Häufigkeit der vorhergehenden Zeile ist, also

 

\displaystyle N_i = n_i + N_{i - 1}

 

Die Tabelle ist also gegeben durch

 xifiFiniNi
[50, 60)55880,120,12
[60, 70)6510180,150,27
[70, 80)7516340,240,51
[80,90)8514480,220,73
[90, 100)9510580,150,88
[100, 110)1055630,080,96
[110, 120)1152650,030,99
65

3 Ein Zahnarzt beobachtet, wie oft Karies bei jedem von 100 Kindern einer bestimmten Schule vorkommt. Die erhaltenen Informationen sind in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst:

Anzahl Kariesfini
0250,25
1200,2
2xz
3150,15
4y0,05

Vervollständige die Tabelle, indem du die Werte für x, y, z ermittelst.

 

Es gilt immer, dass die Summe aller relativer Häufigkeiten 1 ist. Dies bedeutet, dass

    \begin{align*} 0,25 + 0,2 + z + 0,15 + 0,05 &= 1\\0,65 + z &= 1\\z &= 0,35\end{align*}

Daher ist z = 0,35. Daraus ergibt sich, dass z die relative Häufigkeit der Gruppe mit 2 Mal Karies ist, während die absolute Häufigkeit x ist. Wir beachten auch, dass N = 100 ist, da es sich um Daten von 100 Kindern handelt. Da somit die relative Häufigkeit die absolute Häufigkeit zwischen N ist, nutzen wir diese Tatsache, um x zu bestimmen.

    \begin{align*} \frac{x}{100} &= z\\\frac{x}{100} &= 0.35\\x &= 35\end{align*}

Nun müssen wir nur noch y bestimmen, das die absolute Häufigkeit der Gruppe mit 4 Mal Karies ist. Die relative Häufigkeit ist 0,05. Da die relative Häufigkeit die absolute Häufigkeit zwischen N ist, nutzen wir diese Tatsache, um y zu bestimmen.

    \begin{align*} \frac{y}{100} &= 0,05\\y &= 5\end{align*}

Nun haben wir alle nötigen Daten, um die Tabelle zu vervollständigen

Anzahl Kariesfini
0250,25
1200,20
2350,35
3150,15
450,05
100

4 Vervollständige die statistische Tabelle mit den fehlenden Daten:

xifiFini
140,08
24
3160,16
470,14
5528
638
7745
8

Wir lösen Schritt für Schritt und bestimmen zunächst den Wert für N. Im Anschluss können wir die restlichen fehlenden Werte ermitteln.

1 Als Erstes bestimmen wir den Wert für N.

Um den Wert für N zu bestimmen, nutzen wir die erste Zeile. Wir denken daran, dass die relative Häufigkeit die absolute Häufigkeit zwischen N ist. Da die absolute Häufigkeit f_1 = 4 ist und die relative Häufigkeit n_1 = 0,08, nutzen wir diese Daten, um n zu bestimmen

 

    \begin{align*} \frac{4}{N} &= 0,08\\N &= \frac{4}{0,08}\\N &= 50\end{align*}

 

2 Die erste Zeile ist einfach. Es fehlt nur die kumulierte Häufigkeit F_1. Da es sich aber um die erste Zeile (erste Klasse) handelt, entspricht diese deshalb der absoluten Häufigkeit

 

\displaystyle F_1 = f_1 = 4

 

3 Zweite Zeile. Als Erstes bestimmen wir die kumulierte Häufigkeit und denken daran, dass für diese Folgendes gilt

 

    \begin{align*} F_2 &= F_1 + f_2\\&= 4 + 4\\&= 8\end{align*}

 

Nun können wir die relative Häufigkeit bestimmen, da wir bereits die absolute Häufigkeit haben

 

\displaystyle n_2 = \frac{4}{50} = 0,08

 

4 Dritte Zeile. Es fehlt nur noch die absolute Häufigkeit. Diese können wir mittels der kumulierten oder der relativen Häufigkeit bestimmen. Wir nutzen die kumulierte Häufigkeit

 

    \begin{align*} F_3 &= F_2 + f_3\\16 &= 8 + f_3\\f_3 &= 8\end{align*}

 

5 Vierte Zeile. Nun benötigen wir noch die kumulierte Häufigkeit und diese berechnen wir direkt

 

    \begin{align*} F_4 &= F_3 + f_4\\&= 16 + 7\\&= 23\end{align*}

 

6 Fünfte Zeile. Wir benötigen nur noch die relative Häufigkeit und diese berechnen wir direkt

 

    \begin{align*} n_5 &= \frac{5}{50}\\&= 0,1\end{align*}

 

7 Sechste Zeile. Es fehlt noch die absolute und die relative Häufigkeit. Die absolute Häufigkeit berechnen wir mittels der absoluten Häufigkeit.

 

    \begin{align*} F_6 &= F_5 + f_6\\38 &= 28 + f_6\\f_6 &= 10\end{align*}

 

Nun berechnen wir die relative Häufigkeit direkt mittels der absoluten Häufigkeit

 

    \begin{align*} n_6 &= \frac{10}{50}\\&= 0,2\end{align*}

 

8 Siebte Zeile. Es fehlt noch die relative Häufigkeit. Wir berechnen direkt

 

    \begin{align*} n_7 &= \frac{7}{50}\\&= 0,14\end{align*}

 

9 Achte Zeile. Hier fehlen alle Daten. Als Erstes ermitteln wir die kumulierte Häufigkeit. Da es sich hierbei um die letzte Zeile handelt, ist die kumulierte Häufigkeit N. Deshalb gilt

 

\displaystyle F_8 = N = 50

 

Nun ermitteln wir die absolute Häufigkeit mittels der kumulierten Häufigkeit

 

    \begin{align*} F_8 &= F_7 + f_8\\50 &= 45 + f_8\\f_8 &= 5\end{align*}

 

Schließlich erhalten wir die relative Häufigkeit

 

    \begin{align*} n_8 &= \frac{5}{50}\\&= 0,1\end{align*}

 

Somit ist die Tabelle gegeben durch

 

xifiFini
1440,08
2480,08
38160,16
47230,14
55280,10
610380,20
77450,14
85500,10
50

 

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.