Name: Aufgaben mit Lösungen zu Häufigkeiten
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In diesem Artikel werden wir uns Aufgaben ansehen, in denen wir die Häufigkeitstabelle für einen gegebenen Datensatz ausarbeiten.

1 Im Monat Juli wurden in einer Stadt folgende Höchsttemperaturen gemessen:

$\displaystyle 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31,$

$\displaystyle 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.$

Erstelle dazu die Häufigkeitstabelle. Diese muss Folgendes enthalten: alle Daten, absolute Häufigkeiten, kumulierte Häufigkeiten, relative Häufigkeiten und kumulierte relative Häufigkeiten.

Folgende Merkmale sind vorhanden:

1 In die erste Spalte der Tabelle schreiben wir die Variable,

aufsteigend angeordnet.

2 In die zweite Spalte schreiben wir die absolute Häufigkeit (wie oft jeder spezifische Wert vorkommt, nämlich $f_i$ .

3 In die dritte Spalte schreiben wir die kumulierte Häufigkeit (Die Summe der absoluten Häufigkeiten der aktuellen und der vorherigen Variablen), also $F_i$ .

4 Die erste Zeile zeigt, dass die absolute und die kumulierte Häufigkeit gleich sind: $F_1 = f_1$

5 Für alle Zeilen außer der ersten Zeile gilt, dass die kumulierte Häufigkeit gleich der absoluten Häufigkeit dieser Zeile plus der kumulierten Häufigkeit der vorherigen Zeile ist, also

$\displaystyle F_i = f_i + F_{i - 1}$

6 Die letzte kumulierte Häufigkeit muss gleich $N$ sein (Summe aus $fi$ ), d. h. $F_8 = N = 31$ .

7 In die vierte Spalte schreiben wir die relativen Häufigkeiten, nämlich $n_i$ ,

die sich aus der Division der einzelnen absoluten Häufigkeiten durch die Gesamtdaten ergeben, nämlich $N = 31$ .

8 In die fünfte Spalte schreiben wir die kumulierte relative Häufigkeit $N_i$ .

9 Die erste Zeile zeigt, dass die kumulierte relative Häufigkeit und die relative Häufigkeit gleich sind: $N_1 = n_1$

10 Für alle Zeilen außer der ersten Zeile gilt, dass die kumulierte relative Häufigkeit gleich der relativen Häufigkeit dieser Zeile plus der kumulierten relativen Häufigkeit der vorhergehenden Zeile ist, also

$\displaystyle N_i = n_i + N_{i - 1}$

Die Häufigkeitstabelle sieht also wie folgt aus

x_i	f_i	F_i	n_i	N_i
27	1	1	0,032	0,032
28	2	3	0,065	0,097
29	6	9	0,194	0,290
30	7	16	0,226	0,516
31	8	24	0,258	0,774
32	3	27	0,097	0,871
33	3	30	0,097	0,968
34	1	31	0,032	1
	31

2 Das jeweilige Gewicht von $65$ Mitarbeiter*innen einer Fabrik ist durch folgende Tabelle gegeben

Gewicht	f_i
[50, 60)	8
[60, 70)	10
[70, 80)	16
[80,90)	14
[90, 100)	10
[100, 110)	5
[110, 120)	2

Erstelle die entsprechende Häufigkeitstabelle.

Wir beachten, dass für die Häufigkeitstabelle Folgendes gelten muss

1 In die erste Spalte der Tabelle schreiben wir die Intervalle oder Gruppen. Die erste Spalte ist somit vollständig.

2 In die zweite Spalte schreiben wir die absolute Häufigkeit (wie oft jeder spezifische Wert vorkommt), nämlich $f_i$ . Diese Spalte ist also vollständig.

3 In die dritte Spalte schreiben wir die kumulierte Häufigkeit (Die Summe der absoluten Häufigkeiten der aktuellen und der vorherigen Variablen), nämlich $F_i$ .

4 Die erste Zeile zeigt, dass die absolute und die kumulierte Häufigkeit gleich sind: $F_1 = f_1$

5 Für alle Zeilen außer der ersten Zeile gilt, dass die kumulierte Häufigkeit gleich der absoluten Häufigkeit dieser Zeile plus der kumulierten Häufigkeit der vorherigen Zeile ist, also

$\displaystyle F_i = f_i + F_{i - 1}$

6 Die letzte kumulierte Häufigkeit muss gleich $N$ sein (Summe aus $fi$ ), d. h. $F_8 = N = 31$ .

7 In die vierte Spalte schreiben wir die relativen Häufigkeiten, nämlich $n_i$ ,

die sich aus der Division der einzelnen absoluten Häufigkeiten durch die Gesamtdaten ergeben, nämlich $N = 31$ .

8 In die fünfte Spalte schreiben wir die kumulierte relative Häufigkeit $N_i$ .

9 Für die erste Zeile gilt, dass die kumulierte relative Häufigkeit und die relative Häufigkeit gleich sind: $N_1 = n_1$

$\displaystyle N_i = n_i + N_{i - 1}$

Die Tabelle ist also gegeben durch

	x_i	f_i	F_i	n_i	N_i
[50, 60)	55	8	8	0,12	0,12
[60, 70)	65	10	18	0,15	0,27
[70, 80)	75	16	34	0,24	0,51
[80,90)	85	14	48	0,22	0,73
[90, 100)	95	10	58	0,15	0,88
[100, 110)	105	5	63	0,08	0,96
[110, 120)	115	2	65	0,03	0,99
		65

3 Ein Zahnarzt beobachtet, wie oft Karies bei jedem von $100$ Kindern einer bestimmten Schule vorkommt. Die erhaltenen Informationen sind in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst:

Anzahl Karies	f_i	n_i
0	25	0,25
1	20	0,2
2	x	z
3	15	0,15
4	y	0,05

Vervollständige die Tabelle, indem du die Werte für $x, y, z$ ermittelst.

Es gilt immer, dass die Summe aller relativer Häufigkeiten $1$ ist. Dies bedeutet, dass

$\begin{align*} 0,25 + 0,2 + z + 0,15 + 0,05 &= 1\\0,65 + z &= 1\\z &= 0,35\end{align*}$

Daher ist $z = 0,35$ . Daraus ergibt sich, dass $z$ die relative Häufigkeit der Gruppe mit $2$ Mal Karies ist, während die absolute Häufigkeit $x$ ist. Wir beachten auch, dass $N = 100$ ist, da es sich um Daten von $100$ Kindern handelt. Da somit die relative Häufigkeit die absolute Häufigkeit zwischen $N$ ist, nutzen wir diese Tatsache, um $x$ zu bestimmen.

$\begin{align*} \frac{x}{100} &= z\\\frac{x}{100} &= 0.35\\x &= 35\end{align*}$

Nun müssen wir nur noch $y$ bestimmen, das die absolute Häufigkeit der Gruppe mit $4$ Mal Karies ist. Die relative Häufigkeit ist $0,05$ . Da die relative Häufigkeit die absolute Häufigkeit zwischen $N$ ist, nutzen wir diese Tatsache, um $y$ zu bestimmen.

$\begin{align*} \frac{y}{100} &= 0,05\\y &= 5\end{align*}$

Nun haben wir alle nötigen Daten, um die Tabelle zu vervollständigen

Anzahl Karies	f_i	n_i
0	25	0,25
1	20	0,20
2	35	0,35
3	15	0,15
4	5	0,05
	100

4 Vervollständige die statistische Tabelle mit den fehlenden Daten:

x_i	f_i	F_i	n_i
1	4		0,08
2	4
3		16	0,16
4	7		0,14
5	5	28
6		38
7	7	45
8

Wir lösen Schritt für Schritt und bestimmen zunächst den Wert für $N$ . Im Anschluss können wir die restlichen fehlenden Werte ermitteln.

1 Als Erstes bestimmen wir den Wert für $N$ .

Um den Wert für $N$ zu bestimmen, nutzen wir die erste Zeile. Wir denken daran, dass die relative Häufigkeit die absolute Häufigkeit zwischen $N$ ist. Da die absolute Häufigkeit $f_1 = 4$ ist und die relative Häufigkeit $n_1 = 0,08$ , nutzen wir diese Daten, um $n$ zu bestimmen

$\begin{align*} \frac{4}{N} &= 0,08\\N &= \frac{4}{0,08}\\N &= 50\end{align*}$

2 Die erste Zeile ist einfach. Es fehlt nur die kumulierte Häufigkeit $F_1$ . Da es sich aber um die erste Zeile (erste Klasse) handelt, entspricht diese deshalb der absoluten Häufigkeit

$\displaystyle F_1 = f_1 = 4$

3 Zweite Zeile. Als Erstes bestimmen wir die kumulierte Häufigkeit und denken daran, dass für diese Folgendes gilt

$\begin{align*} F_2 &= F_1 + f_2\\&= 4 + 4\\&= 8\end{align*}$

Nun können wir die relative Häufigkeit bestimmen, da wir bereits die absolute Häufigkeit haben

$\displaystyle n_2 = \frac{4}{50} = 0,08$

4 Dritte Zeile. Es fehlt nur noch die absolute Häufigkeit. Diese können wir mittels der kumulierten oder der relativen Häufigkeit bestimmen. Wir nutzen die kumulierte Häufigkeit

$\begin{align*} F_3 &= F_2 + f_3\\16 &= 8 + f_3\\f_3 &= 8\end{align*}$

5 Vierte Zeile. Nun benötigen wir noch die kumulierte Häufigkeit und diese berechnen wir direkt

$\begin{align*} F_4 &= F_3 + f_4\\&= 16 + 7\\&= 23\end{align*}$

6 Fünfte Zeile. Wir benötigen nur noch die relative Häufigkeit und diese berechnen wir direkt

$\begin{align*} n_5 &= \frac{5}{50}\\&= 0,1\end{align*}$

7 Sechste Zeile. Es fehlt noch die absolute und die relative Häufigkeit. Die absolute Häufigkeit berechnen wir mittels der absoluten Häufigkeit.

$\begin{align*} F_6 &= F_5 + f_6\\38 &= 28 + f_6\\f_6 &= 10\end{align*}$

Nun berechnen wir die relative Häufigkeit direkt mittels der absoluten Häufigkeit

$\begin{align*} n_6 &= \frac{10}{50}\\&= 0,2\end{align*}$

8 Siebte Zeile. Es fehlt noch die relative Häufigkeit. Wir berechnen direkt

$\begin{align*} n_7 &= \frac{7}{50}\\&= 0,14\end{align*}$

9 Achte Zeile. Hier fehlen alle Daten. Als Erstes ermitteln wir die kumulierte Häufigkeit. Da es sich hierbei um die letzte Zeile handelt, ist die kumulierte Häufigkeit $N$ . Deshalb gilt

$\displaystyle F_8 = N = 50$

Nun ermitteln wir die absolute Häufigkeit mittels der kumulierten Häufigkeit

$\begin{align*} F_8 &= F_7 + f_8\\50 &= 45 + f_8\\f_8 &= 5\end{align*}$

Schließlich erhalten wir die relative Häufigkeit

$\begin{align*} n_8 &= \frac{5}{50}\\&= 0,1\end{align*}$

Somit ist die Tabelle gegeben durch

x_i	f_i	F_i	n_i
1	4	4	0,08
2	4	8	0,08
3	8	16	0,16
4	7	23	0,14
5	5	28	0,10
6	10	38	0,20
7	7	45	0,14
8	5	50	0,10
	50

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.

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