1 {\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 2\\ x - y = 20 \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 2\\ x - y = 20 \end{matrix}}

Wende das Potenzgesetz für Logarithmen in der ersten Gleichung an.

Stelle den Term 2 logarithmisch dar und löse nach {x} auf

 

{\log (xy) = \log 100 \quad xy = 100 \quad x = \frac{100}{y}}

 

Setze den Wert von {x} in die zweite Gleichung ein

 

{\frac{100}{y} - y = 20 \quad y^2 + 20y -100 = 0}

 

Löse die Gleichung zweiten Grades mit der generellen Formel {y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}

 

{y = \dfrac{-20 \pm \sqrt{400 + 400}}{2} = \dfrac{-20 \pm 20\sqrt{2}}{2} = -10 +10\sqrt{2}}

 

{y = 10(\sqrt{2} - 1)}

Berechne nun den Wert von {x}

{x = \frac{100}{y} = \frac{100}{10(\sqrt{2}-1)} = \frac{100}{10(\sqrt{2}-1)}\cdot \frac{\sqrt{2} + 1){\sqrt{2}-1)} = 10(\sqrt{2} + 1}


2 {\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = \log 2\\ x^2 + y^2 = 5 \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = \log 2\\ x^2 + y^2 = 5 \end{matrix}}

Wende das Potenzgesetz für Logarithmen in der ersten Gleichung an.

Stelle den Logarithmus von 2 numerisch dar und löse nach {x} auf

 

{\log (xy) = \log 2 \quad xy = 2 \quad x = \frac{2}{y}}

 

Setze den Wert von {x} in die zweite Gleichung ein

 

{\left(\frac{2}{y}\right)^2 + y^2 = 5 \quad y^4 - 5y^2 + 4 = 0}

 

Löse die Gleichung zweiten Grades mit der generellen Formel {y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}

 

{y^2 = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \left\{ \begin{matrix} y^2 = 4 & \left\{\begin{matrix} y = 2\\ y = -2 \right. \end{matrix}\\ y^2 = 1 & \left\{\begin{matrix} y = 1\\ y = -1 \right. \end{matrix} \right.\end{matrix}}

Finde die positiven Werte für  {y}

{\begin{matrix} y = 2 & x = \frac{2}{y} = \frac{2}{2} = 1\\ & \\ y = 1 & x = \frac{2}{y} = \frac{2}{1} = 2 \end{matrix}}

 

Durch Einsetzen der negativen Werte von {y} in die Gleichung erhalten wir den Logarithmus einer negativen Zahl, welcher nicht definiert ist.


3 {\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 3\\ 2\log x - 2\log y = -1 \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 3\\ 2\log x - 2\log y = -1 \end{matrix}}

Vereinfache das Gleichungssystem, indem du die erste Gleichung mit {2} multiplizierst

 

{\left\{ \begin{matrix} 2\log x + 2\log y = 6\\ 2\log x - 2\log y = -1 \end{matrix}}

 

Wende das Logarithmusgesetz an, um nach {x} aufzulösen

{4\log x = 5 \quad \log x = \frac{5}{4} \quad x = 10^{\frac{5}{4}} = 10\sqrt[4]{10}}

Setze den Wert von {x} in die erste Gleichung ein

Wende das Logarithmusgesetz an, um nach {x} aufzulösen

{\frac{5}{4} + \log y = 3 \quad \log y = \frac{7}{4} \quad y = 10^{\frac{7}{4}} = 10\sqrt[4]{1000}}


4 {\left\{ \begin{matrix} x^2 - y^2 = 11\\ \log x - \log y = 1 \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} x^2 - y^2 = 11\\ \log x - \log y = 1 \end{matrix}}

Wende in der zweiten Gleichung die Regel zum Subtrahieren von Logarithmen an. Mache dir beim ersten und zweiten Term die Regel zunutze, dass der Logarithmus von {10} gleich {1} ist.

 

{\log\left(\frac{x}{y}\right) = \log 10}

 

Löse das Gleichungssystem durch Einsetzen und wende die Logarithmusregel an

 

{\frac{x}{y} = 10 \quad x = 10y}

 

Setze den Term in die erste Gleichung ein

 

{100y^2 - y^2 = 11 \quad y^2 = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}}

 

{y = \frac{1}{3} \quad x = 10y = 10(\frac{1}{3}) = \frac{10}{3}}

 

Die Lösung {-\frac{1}{3}} ist nicht gültig, da du in der zweiten Gleichung den Logarithmus einer negativen Zahl erhalten würdest.


5 {\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 3\\ \log x - \log y = 1 \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 3\\ \log x - \log y = 1 \end{matrix}}

Vereinfache die Gleichung

 

{\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 3\\ \log x - \log y = 1 \end{matrix}}

 

Wende das Logarithmusgesetz an

 

{2\log x = 4 \quad \log x = 2 \quad x = 10^2 \quad x = 100}

 

Setze den Term in die andere Gleichung ein

 

{\log 100 + \log y = 3 \quad 2 + \log y = 3}

 

Wende das Logarithmusgesetz an

 

{\log y = 1 \quad y = 10^1 \quad y = 10}


6 {\left\{ \begin{matrix} \log_x(y - 18) = 2\\ \log_y(x + 3) = \frac{1}{2} \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} \log_x(y - 18) = 2\\ \log_y(x + 3) = \frac{1}{2} \end{matrix}}

Wende in beiden Gleichungen das Logarithmusgesetz an

{\left\{ \begin{matrix} x^2 = y -18\\ y^{\frac{1}{2}} = x + 3 \end{matrix}}

 

Quadriere beide Glieder der zweiten Gleichung und setze den Wert von {x} in die erste Gleichung ein

 

{y = (x + 3)^2}

{x^2 = (x + 3)^2 - 18 = x^2 + 6x + 9 -18 = x^2 + 6x -9}

{6x-9 = 0 \quad x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}}

 

Löse die Gleichung auf

 

{x = \frac{3}{2} \quad y = (x + 3)^2 = (\frac{3}{2} + 3)^2 = (\frac{9}{2})^2 = \frac{81}{4}}

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Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan, ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können (den Verlauf einer Kurve, die Richtung eines Vektors, etc.) verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen. Jedes Element einer Formel ist definiert und anhand der Definitionen lassen sich komplexe Rechenaufgaben strukturiert lösen.