Statistische Inferenz:Aufgaben

1 Welche Art von Stichprobe sollten wir für die Auswahl der Stichprobe verwenden, wenn wir möchten, dass sie Beschäftigte aus den vier oben genannten Abteilungen umfasst?Wir werden eine geschichtete Zufallsstichprobe verwenden. Da wir Vertreter aus jeder Abteilung haben wollen, nehmen wir eine aussagekräftige Stichprobe, die den Anteil der Mitarbeiter in jeder Abteilung repräsentiert.

2 Wie viele Mitarbeiter sollten wir proportional in jeder Abteilung auswählen?

Um eine proportionale Anzahl aus jeder Abteilung zu wählen, müssen wir zunächst den Anteil kennen, den die Stichprobengröße im Verhältnis zur Gesamtzahl der Arbeitnehmer haben wird. Das heißt:

wobei

Nun muss die Anzahl der aus jeder Abteilung auszuwählenden Beschäftigten das von uns berechnete Verhältnis einhalten, d.h. die Anzahl der Beschäftigten in jeder Abteilung muss stimmen:

Wir berechnen

Wir überprüfen:

,

was exakt dem Umfang der Stichprobe entspricht.

1 Erkläre, welches Auswahlverfahren besser geeignet wäre: Zufallsstichprobe mit oder ohne Zurücklegen. Weshalb?Da die Grundgesamtheit endlich ist, können wir die Formeln, die wir untersucht haben, für die Zufallsstichprobe mit Zurücklegen verwenden.
Eine Stichprobe ohne Zurücklegen ist jedoch möglich, mit dem einzigen Nachteil, dass die Berechnungen etwas komplizierter sind.

2 Da sich die Präferenzen mit dem Alter ändern und bekannt ist, dass in der Nachbarschaft 2.500 Kinder, 7.000 Erwachsene und 500 ältere Menschen leben, wird beschlossen, die oben genannte Stichprobe anhand einer geschichteten Stichprobe mit proportionaler Verteilung auszuwählen. Bestimme den Stichprobenumfang für jede Schicht.

ist die Größe der Grundgesamtheit und die Größe der Stichprobe. Wir bezeichnen die Größe der Schicht und als Größe der Stichprobe, die wir aus nehmen. Bei der geschichteten Stichprobe mit proportionaler Zuordnung gilt, dass

Deshalb müssen wir die Werte für jede Schicht bestimmen. Die Größen jeder Schicht sind: (Kinder), (Erwachsene) und (ältere Menschen).

Die Stichprobengröße der Kinder ist:

Die Stichprobengröße der Erwachsenen ist:

Die Stichprobengröße der älteren Menschen ist:

Wir stellen fest, dass die Stichprobengrößen ingesamt 100 ergeben:

Wir müssen das Konfidenzniveau für den mittleren Hämoglobinwert im Blut zwischen 13 und 15 g/dl ermitteln. Um dies festzustellen, müssen wir das Signifikanzniveau kennen. Dieses kann durch die Formel für den Standardfehler ermittelt werden, die lautet es. ist hierbei die Standardabweichung, ist die Größe der Stichprobe und ist der Wert Z einer Standardnormalverteilung . Da wir wissen wollen, wie zuverlässig der Mittelwert zwischen 13 und 15 g/dl liegt, nehmen wir dieses Intervall als Schätzwert für den Standardfehler und setzen die Werte in die folgende Formel ein und erhalten wir bestimmen. Da wir den Wert für bereits kennen, können wir die entsprechende Wahrscheinlichkeit berechnen. Früher wurden dafür Tabellen verwendet, heute gibt es einfachere Werkzeuge. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also . Nachdem wir berechnet haben, müssen wir die Wahrscheinlichkeit vom linken Extremwert der Normalverteilung subtrahieren: und somit, Daher beträgt das Konfidenzniveau, dass der mittlere Hämoglobinwert zwischen 15 und 13 g/dl liegt, bei einer Stichprobe von 12 Blutentnahmen 91,62 %.

1 Wie hoch war der durchschnittliche Umsatz in diesen neun Monaten?Bei der Berechnung des Konfidenzintervalls für den Mittelwert einer Normalverteilung liegt der Mittelwert immer in der Mitte des Intervalls. Der Mittelwert ist daher

Der Mittelwert lag also bei 5.251 €.

2 Wie lautet das Konfidenzniveau für dieses Intevall?

Es gilt, dass , und . Daraus folgt, dass die Untergrenze mit Hilfe folgender Formel berechnet wird

Das heißt:

Deshalb:

Daraus ergibt sich, dass . Das Konfidenzniveau lag also bei 95%.

1 Berechne das Konfidenzintervall auf dem Niveau von 95 % für die durchschnittliche Zeit, die benötigt wird, um die Zahlungen der Kunden abzuwickeln.Da die Stichprobe aus 25 Kunden besteht, wird zur Berechnung des Konfidenzintervalls die folgende Formel verwendet:

ist hierbei der kritische Wert und , wobei eine Zufallsvariable ist, die einer studentischen t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad von 24 folgt.

Den Wert für können wir einer t-Verteilungstabelle entnehmen oder eine entsprechende Software nutzen. Das Ergebnis ist

Somit ist das Konfidenzintervall

2 Gib die Stichprobengröße an, die erforderlich ist, um diese durchschnittliche Zeit mit einem Fehler von und einem Konfidenzniveau von 95 % zu schätzen.

Um die Stichprobengröße zu ermitteln, ersetzen wir durch , die einer Standardnormalverteilung entstammt. Da der Fehler sein muss, gilt

,

wobei . Wenn wir bestimmen, erhalten wir somit

Das heißt, dass die Stichprobengröße mindestens sein muss.

In dieser Aufgabe müssen wir einen Hypothesentest durchführen. Ziel ist es, herauszufinden, ob die entnommene Stichprobe ausreicht, um festzustellen, dass das neue Produktionsverfahren zu Lampen mit einer mittleren Lebensdauer von 2400 Stunden und einer Standardabweichung von 300 Stunden führt, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % (oder weniger) diese Eigenschaft nicht erfüllen. Der erste Schritt besteht darin, die Nullhypothese () und die Alternativhypothese () aufzustellen, wobei das Ergebnis in der Regel dazu führt, dass die Nullhypothese abgelehnt oder nicht abgelehnt wird.

Um den Hypothesentest durchzuführen, müssen wir unsere Statistik berechnen; Da wir davon ausgehen, dass die Lebensdauer gemäß einer Normalverteilung verteilt ist und der Stichprobenumfang gleich 100 ist, nutzen wir die Z-Statistik (Zufallsvariable einer Standardnormalverteilung). Das heißt: , wobei der Stichprobenmittelwert, der Mittelwert von , die Standardabweichung und der Stichprobenumfang ist. Setzt man die Werte ein, so erhält man .

Nun berechnen wir den p-Wert für . Da die Alternativhypothese das Gegenteil () besagt, handelt es sich um eine Analyse von zwei Schwellenwerten, für die der p-Wert wie folgt berechnet wird:

Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 5 %, was bedeutet, dass das Signifikanzniveau 0,05 beträgt und wir einen p-Wert von 0,0078 haben; die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn der p-Wert kleiner als der Signifikanzwert ist, was hier der Fall ist . Daher gibt es genügend Beweise, um die Hypothese abzulehnen, dass die neue Produktionsmethode zu Lampen mit einer mittleren Lebensdauer von 2400 Stunden und einer Standardabweichung von 300 Stunden führen wird, wobei die Wahrscheinlichkeit, dass sie falsch ist, 5 % beträgt.

Bei dieser Aufgabe müssen wir einen Hypothesentest durchführen. Ziel ist es, herauszufinden, ob die entnommene Stichprobe ausreicht, um mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 % zu bestätigen, dass der Verdacht des Qualitätskontrollteams in Bezug auf die Verschlechterung der Qualität der Akkus zutrifft. Der erste Schritt besteht darin, die Nullhypothese () und die Alternativhypothese (), aufzustellen, wobei das Ergebnis in der Regel dazu führt, dass die Nullhypothese widerlegt oder nicht widerlegt wird.

Um den Hypothesentest durchzuführen, müssen wir unsere Statistik berechnen. Da wir davon ausgehen, dass die Laufzeit gemäß einer Normalverteilung verteilt ist und der Stichprobenumfang gleich 60 ist, werden wir die Z-Statistik (Zufallsvariable einer Standardnormalverteilung) anwenden:

ist der Mittelwert der Stichprobe, der Mittelwert von , die Standardabweichung und der Stichprobenumfang. Wir setzen die Werte ein und erhalten Nun berechnen wir den p-Wert für .
Da die Alternativhypothese das Gegenteil () besagt, handelt es sich um eine Analyse von zwei Schwellenwerten, für die der p-Wert wie folgt berechnet wird
Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 1 %, was bedeutet, dass das Signifikanzniveau bei 0,01 liegt und der p-Wert 0,0098 beträgt;die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn der p-Wert kleiner als der Signifikanzwert ist, was hier der Fall ist
Daher gibt es genügend Beweise, um die Hypothese, dass die durchschnittliche Akkulaufzeit 300 Minuten mit einer Standardabweichung von 30 Minuten beträgt, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % bei einer Stichprobengröße von 60 abzulehnen. Wir kommen also zu dem Schluss, dass die Vermutungen der Qualitätskontrolle zutreffen.

Bei dieser Aufgabe müssen wir einen Hypothesentest durchführen. Ziel ist es, herauszufinden, ob die Stichprobe ausreicht, um mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % zu behaupten, dass der mittlere Prothrombinspiegel 20 mg/100 ml Plasma mit einer Standardabweichung von 4 mg/100 ml beträgt. Der erste Schritt besteht darin, die Nullhypothese () und die Alternativhypothese () aufzustellen, wobei das Ergebnis in der Regel dazu führt, dass die Nullhypothese abgelehnt oder nicht abgelehnt wird.

Um den Hypothesentest durchzuführen, müssen wir unsere Statistik berechnen. Da wir davon ausgehen, dass die Prothrombin-Konzentration gemäß einer Normalverteilung verteilt ist und der Stichprobenumfang gleich 40 ist, verwenden wir die Z-Statistik (Zufallsvariable einer Standardnormalverteilung), die wie folgt lautet: .

ist der Mittelwert der Stichprobe, der Mittelwert von , die Standardabweichung und ist der Stichprobenumfang. Wir setzen die Werte ein und erhalten .
Nun berechnen wir den p-Wert für . Da die Alternativhypothese das Gegenteil () besagt, handelt es sich um eine Analyse von zwei Schwellenwerten, für die der p-Wert wie folgt berechnet wird:
Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 5 %, d. h. das Signifikanzniveau liegt bei 0,05 und der p-Wert bei 0,0177; die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn der p-Wert unter dem Signifikanzwert liegt, was hier der Fall ist.

Daher gibt es genügend Beweise, um die Hypothese abzulehnen, dass der mittlere Prothrombin-Spiegel 20 mg/100 ml Plasma mit einer Standardabweichung von 4 mg/100 ml beträgt, bei einem Signifikanzniveau von 5 % und einem Stichprobenumfang von 40.