Lineare Algebra
Der Begriff „Algebra“ klingt noch nicht abstrakt genug? Dann erklären wir euch heute, dass es außerdem einen Zweig der Mathematik gibt, der sich „lineare Algebra“ nennt. Niemand hat behauptet, Mathe sei einfach…
Als Algebra wird der Zweig der Mathematik bezeichnet, der sich damit befasst, Rechenoperationen mit Hilfe von Zeichen, Buchstaben und Zahlen zu lösen. In der Algebra stehen Buchstaben und Zeichen für numerische Einheiten, die auch Variablen genannt werden. Das heißt, es werden Zeichen und Buchstaben anstelle von Zahlen verwendet, um Rechenverfahren darzustellen und aufzuzeigen, in welcher Form die Zeichen und Buchstaben verwendet werden sollen. Das Adjektiv linear drückt aus, dass es sich dabei um das Lösen linearer Gleichungen, das heißt einer Abfolge von Zahlen bzw. Rechenoperationen handelt. Eine Funktion ist dann linear, wenn sie sie wie folgt aussieht:
f(x)=ax oder f(x,y)=ax+byf(x,y)=ax+by
Die lineare Algebra ist ein moderner Zweig der Mathematik, der sich damit beschäftigt, Konzepte wie Matrizen, Vektoren, Vektorräume und lineare Gleichungen zu untersuchen. Die Konzepte spielen bei der linearen Algebra eine genauso wichtige Rolle wie die Rechenvorgänge an sich und erfordern abstraktes Denken, da sich der Großteil der Verfahren geometrisch interpretieren, das heißt visuell darstellen lässt.
Die Ägypter und Babylonier waren die ersten in der Geschichte, die lineare Gleichungen der Form (ax = b) und quadratische Gleichungen der Form (a+ bx = c) sowie unbestimmte Ungleichungen mit mehreren Unbekannten lösten. Die Babylonier verwendeten zur Auflösung quadratischer Gleichungen praktisch dieselben Methoden, die heute unterrichtet werden. Einige der Konzepte, die die lineare Algebra behandelt, gehen bis weit in die Geschichte zurück.
Hauptmerkmale der linearen Algebra
Hauptsächlich beschäftigt sich die lineare Algebra mit der Untersuchung mathematischer Strukturen, den sogenannten Vektorräumen. Von einem Vektorraum spricht man dann, wenn Folgendes gegeben ist:
Eine nicht-leere Menge (V) aus Elementen über einem Körper (K) (auch „K-Vektorraum“ genannt), für den zwei Rechenoperationen definiert wurden:
- die Summe der Elemente aus V und
- das Produkt der Elemente aus K und V, dessen Ergebnis ein weiteres Element aus V ist.
Die Elemente aus V werden als Vektoren, die Elemente von K als Skalare bezeichnet.
Die interne Operation ist dabei “A + B” × K . A und B können dabei gemäß des Kommutativgesetzes in beliebiger Reihenfolge summiert werden.
Die externe Operation ist dabei K × A, K × B
Zusammenfassung:
Die lineare Algebra untersucht mathematische Strukturen, in denen es möglich ist, Summen aus verschiedenen Elementen einer bestimmten Menge zu bilden und diese Elemente mit reellen Zahlen oder anderen Mengen zu multiplizieren. Diese Mengen bezeichnet man dabei als Vektorräume und ihre Elemente als Vektoren.
Elemente der linearen Algebra
Vektoren:
Eines oder mehrere Liniensegmente, die eine bestimmte Richtung innerhalb eines bestimmten Raumes einnehmen. Sie werden auch als Linien definiert, die eine bestimmte Länge, Richtung und Orientierung besitzen. Sie werden grafisch als geradlinige Segmente dargestellt und setzen sich aus den folgenden Elementen zusammen: Richtung, Orientierung, Ursprung (oder Anwendungspunkt) und Länge (oder Modul). Alle Elemente sind Teil des Vektorraums.
Matrix:
Eine zweidimensionale Menge aus Zahlen oder Elementen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind und in rechteckiger Form angeordnet sind. Matrizen ermöglichen die Darstellung der Koeffizienten linearer Gleichungssysteme.
Wurzel:
Eine Menge, die mit sich selbst so oft wie angegeben multipliziert wird, um eine andere Menge oder Zahl als Ergebnis zu erhalten. Es geht darum, die Basis der Potenz zu finden, indem man den Exponenten der Wurzel und die Subradikalmenge kennt. Um die Wurzel zu finden und ziehen zu können, wird die umgekehrte Operation zur Potenzierung durchgeführt, ähnlich wie die Subtraktion als umgekehrte Operation zur Addition durchgeführt werden kann.
Determinante:
Eine Determinante erhält man, indem man die Elemente, aus der eine quadratische Matrix gebildet ist, unter Beachtung bestimmter Regeln auflöst.
In einem linearen Gleichungssystem verstehen sich alle Gleichungen als Gleichungen ersten Grades und werden grafisch als gerade Linie dargestellt. Sie können keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben. Ein Linearsystem kann nur dann als solches bezeichnet werden, wenn es aus mindestens zwei linearen Gleichungen besteht:
ax + by = c
dx + ey = f
Anwendungen der linearen Algebra
Dieser Zweig der Mathematik ist unter anderem für Physik-, Maschinenbau- und Architekturstudenten ein unverzichtbares Werkzeug. Sie findet außerdem in vielfältigen Bereichen wie der Archäologie, der Untersuchung von Straßenverkehr, Stromkreisen, Kommunikationsnetzwerken, etc. Anwendung.