Kapitel
Charakteristische Intervalle
Das charakteristische Intervall mit Konfidenzniveau 
für eine Normalverteilung 
ist gegeben durch
Dabei ist das Konfidenzniveau die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Normalverteilung folgende Zahl in das Intervall fällt.
Das Signifikanzniveau wird mit 
angegeben. Der Mittelwert der Verteilung ist 
und die Standardabweichung ist 
. Der kritische Wert des Intervalls wird mit 
angegeben.
In der folgenden Tabelle sind einige der häufigsten charakteristischen Intervalle zusammengefasst:
|  | | charakteristische Intervalle |
|---|---|---|---|
| 0,90 | 0,05 | 1,645 |  |
| 0,95 | 0,025 | 1,96 |  |
| 0,99 | 0,005 | 2,575 |  |
Zentraler Grenzwertsatz
Wir betrachten eine Grundgesamtheit 
mit Mittelwert , Standardabweichung und Stichprobenumfang 
. Dann folgt der Mittelwert 
einer annähernden Normalverteilung. Das heißt,
Der Stichprobenumfang muss 
sein. Wenn die ursprüngliche Grundgesamtheit einer Normalverteilung folgt, kann einen beliebigen Wert haben.
Schätzung von Mittelwerten und Verhältnissen
Schätzung des Mittelwerts einer Grundgesamtheit
Wir schätzen mittels Konfidenzintervallen. Für den Mittelwert beträgt das Konfidenzintervall mit Signifikanz
,
wobei der Mittelwert der Stichprobe, die Standardabweichung der Grundgesamtheit, der Umfang der Stichprobe und der kritische Wert der Standardnormalverteilung ist.
In diesem Fall ist der Schätzungsfehler
Wenn wir außerdem bereits die Signifikanz , die Standardabweichung und den gewünschten Fehler 
kennen, wird der Stichprobenumfang wie folgt berechnet
Schätzung einer Proportion
Im Falle der Proportion ist das Konfidenzintervall mit Signifikanz
,
wobei 
die Proportion der Stichprobe, der kritische Werte der Normalverteilung und der Stichprobenumfang ist.
Hier beträgt der maximale Schätzfehler
Bei Proportionen ist es üblich, 
zu schreiben, wobei 
die Erfolgswahrscheinlichkeit und 
die Fehlerwahrscheinlichkeit (eines Individuums in der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Eigenschaft) ist.
Schätzung der Standardabweichung
Im Falle der Standardabweichung wird das Konfidenzintervall der Varianz 
berechnet, das wie folgt gegeben ist
,
wobei der Stichprobenumfang, 
die Varianz der Stichprobe ist und wie folgt berechnet wird
,
wobei der Mittelwert der Stichprobe ist. 
und 
sind die kritischen Werte einer Verteilung 
; diese Werte werden von einem Computerprogramm berechnet oder aus einer Chi-Tabelle entnommen.
Hypothesentests
Das Verfahren zur Durchführung eines Hypothesentests für den Parameter 
einer Grundgesamtheit ist wie folgt:
1 Die Nullhypothese 
und die Alternativhypothese 
werden angegeben. Bei der Nullhypothese wird eine Annahme über den Wert von getroffen und ist die gegenteilige Annahme. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die möglichen Hypothesentests:
| einseitig |  |  |
| zweiseitig |  |  H_A: r < r_0[/latex] |
 |  |
2 Berechne das Signifikanzniveau und ermittle daraus die kritischen Werte (für den zweiseitigen Fall) oder 
(für den einseitigen Fall).
3 Bestimme den Akzeptanzbereich des Stichprobenparameters.
4 Berechne den Wert des Stichprobenparameters 
.
5 Ziehe die Schlussfolgerung. Wenn der Wert des Stichprobenparameters innerhalb des Akzeptanzbereichs liegt, dann akzeptieren wir die Nullhypothese mit einem Signifikanzniveau von . Andernfalls lehnen wir die Nullhypothese ab.
Zweiseitiger Test
Wenn wir einen zweiseitigen Test haben und eine Hypothese für den Mittelwert der Grundgesamtheit testen:
Somit lautet der Akzeptanzbereich
Handelt es sich hingegen um einen Hypothesentest für die Proportion ,
der Akzeptanzbereich ist also
,
wobei die Standardabweichung der Grundgesamtheit, der Stichprobenumfang und der kritische Wert der Verteilung ist.
Einseitiger Test größer oder gleich
Bei einem einseitigen Test des Typs „größer oder gleich“ wird eine Hypothese für den Mittelwert der Grundgesamtheit getestet, das heißt,
Der Akzeptanzbereich ist also
Handelt es sich hingegen um einen Hypothesentest für die Proportion ,
Somit ist der Akzeptanzbereich
,
wobei die Standardabweichung der Grundgesamtheit, der Stichprobenumfang und der kritische Wert der Verteilung ist.
Einseitiger Test kleiner oder gleich
Bei einem einseitigen Test des Typs „kleiner oder gleich“ wird eine Hypothese für den Mittelwert der Grundgesamtheit getestet, das heißt,
Somit ist der Akzeptanzbereich
Handelt es sich hingegen um einen Hypothesentest für die Proportion ,
Somit ist der Akzeptanzbereich
,
wobei wieder die Standardabweichung der Grundgesamtheit, der Stichprobenumfang und der kritische Wert der Verteilung ist.
In der folgenden Tabelle sind die kritischen Werte für verschiedene Werte von zusammengefasst, die für die einseitigen Tests verwendet werden:
| | |
|---|---|---|
| 0,90 | 0,10 | 1,28 |
| 0,95 | 0,05 | 1,645 |
| 0,99 | 0,01 | 2,33 |
Fehler
Es gibt zwei Arten von Fehlern: Fehler vom Typ 1, der auftritt, wenn wir die Nullhypothese ablehnen, obwohl sie wahr ist, und Fehler vom Typ 2, der auftritt, wenn wir die Nullhypothese annehmen, obwohl sie falsch ist.
In der folgenden Tabelle sind die Fehlertypen zusammengefasst:
| richtig | falsch |
|---|---|---|
| Annehmen | richtige Entscheidung Wahrscheinlichkeit von | falsche Entscheidung: Fehler Typ 2 |
| Ablehnen | falsche Entscheidung Fehler Typ 1 Wahrscheinlichkeit von | richtige Entscheidung |
Mit KI zusammenfassen:
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