Wenn eine Grundgesamtheit einen Mittelwert 
und eine Standardabweichung 
hat und wir Stichproben vom Umfang 
mit 
(oder einer beliebigen Größe, wenn die Grundgesamtheit „normal” ist) nehmen, folgt der Mittelwert dieser Stichproben annähernd einer Normalverteilung, die wie folgt gegeben ist:
Wozu dient der zentrale Grenzwertsatz?
1 Ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass der Mittelwert einer bestimmten Stichprobe auf einem bestimmten Intervall liegt.
2 Ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Elemente einer Stichprobe a priori auf einem bestimmten Intervall liegt.
3 Aus einer Stichprobe den Mittelwert der Grundgesamtheit ableiten.
Beispiele
Maschinell abgepackte Salzsäckchen enthalten 
und 
. Die Säckchen werden in Kartons zu je 
Stück verpackt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Durchschnittsgewicht der Säckchen in einem Karton geringer ist als 
.
*Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Karton mit Säckchen mehr als 
wiegt.
1 Berechne die Verteilung des Mittelwerts einer Stichprobe
Da der Umfang der Stichprobe groß ist 
, können wir den zentralen Grenzwertsatz anwenden. Daher nähert sich der Mittelwert der Stichprobe einer Normalverteilung mit den Parametern
Das heißt
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit
Das heißt
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit
Die Körpertemperatur gesunder Erwachsener liegt im Durchschnitt bei 
bei einer Standardabweichung von 
.
Wir nehmen eine Stichprobe mit Personen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Durchschnittstemperatur der Stichprobe kleiner oder gleich 
ist?
1 Berechne die Normalverteilung, der sich der Mittelwert annähert
Da die Stichprobe groß ist, können wir den zentralen Grenzwertsatz anwenden. Daher nähert sich der Mittelwert der Stichprobe einer Normalverteilung mit den Parametern
Das heißt
2 Annäherung der Wahrscheinlichkeit unter Verwendung der erhaltenen Normalverteilung
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass eine Temperatur kleiner oder gleich ist. Dazu berechnen wir den Gegenwert in der typisierten Normalvariablen
Mit KI zusammenfassen:
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