Größter gemeinsamer Teiler
Der größte gemeinsame Teiler, 
zweier oder mehr Zahlen ist die größte Zahl, durch die sich zwei ganze Zahlen ohne Rest teilen lassen.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers
1Alle Zahlen werden in Primfaktoren zerlegt.
2Es werden die gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten genommen.
3Die gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten werden multipliziert.
Beispiel: Bestimme den von: 
und 
.
1Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren
Die Zahlen werden also wie folgt geschrieben
2Die gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten sind 
3Um den zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten
Wir beachten, dass wenn eine Zahl ein Teiler einer anderen Zahl ist, diese dann der der beiden Zahlen ist
Beispiel: Die Zahl 
ist ein Teiler von 
, also 
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Das kleinste gemeinsame Vielfache 
ist das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen mit Ausnahme der Null.
Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen
1Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren.
2Es werden die gemeinsamen Faktoren und die teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten genommen.
3Es werden die gemeinsamen Faktoren und die teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten multipliziert.
Beispiel: Bestimme das von: und .
1Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren
Die Zahlen werden also wie folgt geschrieben
2Die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten sind 
3Um das zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten
Somit ist 
die kleinste Zahl die durch und dividiert werden kann.
Beachte: Wenn eine Zahl ein Vielfaches einer anderen Zahl ist, ist diese das der beiden Zahlen.
Beispiel: Die Zahl ist ein Vielfaches von , weshalb 
Beziehung zwischen dem größten gemeinsamen Teiler und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen
Da der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache aus dem Produkt der gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten bzw. dem Produkt der gemeinsamen und der teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten gebildet werden, gilt
Übungen
Berechne den und das von 
und 
1 Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren
Die Zahlen werden also wie folgt geschrieben
2 Der Faktor mit dem niedrigsten Exponenten ist 
3 Um den zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten
4 Die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten sind 
5 Um das zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten
Berechne den und das von 
und 
1 Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren
Die Zahlen werden also wie folgt geschrieben
2 Die gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten sind
3 Um den zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten
4 Die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten sind 
5 Um das zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten
Berechne den und das von 
und 
1 Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren
Die Zahlen werden also wie folgt geschrieben
2 Die Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten sind 
3 Um den zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten
4 Die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten sind 
5 Um das zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten
Berechne den und das von 
und 
1 Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren
Die Zahlen werden also wie folgt geschrieben
2 Die Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten sind 
3 Um den zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten
4 Die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten sind 
5 Um das zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten
Berechne den und das von 
und 
1 Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren
Die Zahlen werden also wie folgt geschrieben
2 Der Faktor mit dem niedrigsten Exponenten ist 
3 Um den zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten
4 Die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten sind 
5 Um das zu berechnen, multiplizieren wir die gemeinsamen und teilerfremden Faktoren mit dem höchsten Exponenten
Ein Scheinwerfer schaltet sich alle Sekunden ein, an anderer alle 
Sekunden und ein dritter jede Minute. Um 
Uhr sind alle Scheinwerfer gleichzeitig eingeschaltet. Auf welche Uhrzeit trifft das noch zu?
1 Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren
2 Wir berechnen das der drei Zahlen
3 Die Scheinwerfer treffen alle 
Sekunden zusammen, was 
Minuten entspricht; Die Uhrzeit ist also 
Uhr
Ein Reisender fährt alle Tage nach Barcelona, ein anderer alle 
Tage. Heute waren sie beide in Barcelona. In wie vielen Tagen werden wieder beide zur gleichen Zeit in Barcelona sein?
1 Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren
2 Wir berechnen das der zwei Zahlen
3 Die beiden Reisenden werden in 
Tagen wieder gleichzeitig in Barcelona sein.
Wie lautet die kleinste Zahl, die bei separater Division durch 
und 
jeweils 
als Rest ergibt?
1 Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren
2 Wir berechnen das der vier Zahlen
3 
ist die kleinste Zahl, die durch die vier Zahlen teilbar ist. Wenn wir also durch die vier Zahlen dividieren wollen, um den Rest zu erhalten, muss die Zahl 
sein.
In einem Weinkeller gibt es Weinfässer, die ein Fassungsvermögen von 
Litern haben. Der Inhalt soll in eine bestimmte Anzahl von gleich großen Korbflaschen abgefüllt werden. Berechne das maximale Fassungsvermögen dieser Behältnisse, so dass der in jedem der Fässer enthaltene Wein in sie gefüllt werden kann, und die Anzahl der erforderlichen Behältnisse.
1 Wir zerlegen die Zahlen in Primfaktoren
2 Wir berechnen den der drei Zahlen
3 Das Fassungsvermögen jeder Flasche beträgt 
Liter und die Anzahl der Flaschen ist 
.
Der Boden eines Zimmers soll geflieset werden. Die Länge des Zimmers beträgt 
und die Breite 
. Berechne die Seite in Dezimetern und die Anzahl der Fliesen so, dass die Anzahl der zu verlegenden Fliesen möglichst gering ist und keine Fliesen geschnitten werden müssen.
1 Der Boden des zu verfliesenden Raumes hat folgende Maße: 
Länge und 
Breite.
2 Wir berechnen den der drei Zahlen
3 Die Seite jeder Fliese misst 
und es werden 
Fliesen in der Länge und in der Breite benötigt. Ingesamt also 
Fliesen.
Ein Händler möchte 
Äpfel und 
Orangen in Kisten verpacken, so dass jede Kiste die gleiche Anzahl von Äpfeln oder Orangen und so viele wie möglich enthält. Bestimme die Anzahl der Orangen in jeder Kiste und die Anzahl der benötigten Kisten.
1 Wir berechnen den
2 Wie berechnen die Anzahl der benötigten Kisten
Die Anzahl der benötigten Kisten lautet 
Welche Maße hat die größte quadratische Fliese, die genau gleich oft in einen Raum mit einer Länge von 
und einer Breite von 
passt? Und wie viele Fliesen werden benötigt?
1 Der Boden des zu verfliesenden Raumes hat folgende Maße: 
Länge und 
Breite
2 Wir berechnen den der zwei Zahlen
3 Die Seite jeder Fliese misst 
und es werden 
Fliesen in der Länge und 
in der Breite benötigt. Insgesamt werden somit 
Fliesen benötigt.
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