Kapitel
Vielfache
Eine Zahl a ist ein Vielfaches einer anderen Zahl b, wenn das Ergebnis der Multiplikation mit einer anderen Zahl c ist.
Eigenschaften der Vielfachen einer Zahl
1 Jede Zahl "a", die ungleich 0 ist, ist ein Vielfaches von sich selbst und der Einheit.
2 Die Zahl 0 ist ein Vielfaches aller Zahlen.
3 Jede Zahl "a", die ungleich 0 ist, hat unendlich viele Vielfache.
4 Wenn "a" ein Vielfaches von "b" ist, geht die Division "a" durch "b" genau auf.
5 Die Summe von mehreren Vielfachen einer Zahl ist ein weiteres Vielfaches dieser Zahl.
6 Die Differenz von zwei Vielfachen einer Zahl ergibt ein weiteres Vielfaches dieser Zahl.
7 Wenn eine Zahl ein Vielfaches einer anderen Zahl ist, und diese ein Vielfaches einer dritten Zahl ist, ist die erste Zahl ein Vielfaches der dritten Zahl.
8 Wenn eine Zahl ein Vielfaches einer anderen Zahl ist, sind alle Vielfachen der ersten Zahl ebenfalls Vielfache der zweiten Zahl.
Teiler oder Divisor
Eine Zahl b ist ein Teiler einer anderen Zahl a, wenn die Division genau aufgeht.
Eigenschaften von Vielfachen einer Zahl
1 Jede Zahl "a", die ungleich 0 ist, ist ein Teiler von sich selbst.
2 Die Zahl 1 ist ein Teiler aller Zahlen.
3 Jeder Teiler einer Zahl, die ungleich 0 ist, ist kleiner oder gleich dieser Zahl. Die Anzahl der Teiler ist somit endlich.
4 Wenn eine Zahl ein Teiler von zwei anderen Zahlen ist, ist sie auch ein Teiler ihrer Summe und ihrer Differenz.
5 Wenn eine Zahl ein Teiler einer anderen Zahl ist, ist sie auch ein Teiler eines beliebigen Vielfachen dieser Zahl.
6 Ist eine Zahl ein Teiler einer anderen und diese wiederum ein Teiler einer dritten, so ist die erste Zahl ein Teiler der dritten Zahl.
Kriterien der Teilbarkeit
Eine Zahl b ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn die Division genau aufgeht.
Beachte folgende Regeln zur Teilbarkeit von Zahlen:
Kriterium der Teilbarkeit durch 2
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie auf 0 oder eine gerade Zahl endet.
Beispiel:
24, 238, 1024, ...
Kriterium der Teilbarkeit durch 3
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe der Ziffern ein Vielfaches von 3 ist.
Beispiel:
564 5 + 6 + 4 = 15 15 ist ein Vielfaches von 3
2040 2 + 0 + 4 + 0 = 6 6 ist ein Vielfaches von 3
Kriterium der Teilbarkeit durch 5
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
Beispiel:
45, 515, 7525, 230, ...
Kriterium der Teilbarkeit durch 7
Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn jene Zahl durch 7 teilbar ist, die entsteht, wenn man das Doppelte der letzten Ziffer von der restlichen Zahl subtrahiert..
Beispiel:
343 34 − 2 · 3 = 28 28 ist ein Vielfaches von 7
105 10 − 5 · 2 = 0
2 261 226 − 1 · 2 = 224
Wir wiederholen den Vorgang mit 224 22 − 4 · 2 = 14 14 ist ein Vielfaches von 7
Kriterium der Teilbarkeit durch 11
Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die Differenz zwischen der Summe der ungeraden Zahlen und der geraden Zahlen 0 oder ein Vielfaches von 11 ist.
Beispiel:
121 (1 + 1) − 2 = 0
4224 (4 + 2) − (2 + 4) = 0
Weitere Kriterien der Teilbarkeit
Weitere Kriterien sind:
Kriterium der Teilbarkeit durch 4
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre beiden letzten Ziffern 0 oder ein Vielfaches von 4 sind.
Beispiel:
36, 400, 1028, ...
Kriterium der Teilbarkeit durch 6
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 oder 3 teilbar ist.
Beispiel:
72, 324, 2400, ...
Kriterium der Teilbarkeit durch 8
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern 0 oder ein Vielfaches von 8 sind.
Beispiel:
4000, 1048, 1512, ...
Kriterium der Teilbarkeit durch 9
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme ein Vielfaches von 9 ist.
Beispiel:
81 8 + 1 = 9
3663 3 + 6 + 6 + 3 = 18 18 ist ein Vielfaches von 9
Kriterium der Teilbarkeit durch 10
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl 0 ist.
Beispiel:
130, 1440, 10230, ...
Kriterium der Teilbarkeit durch 25
Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern 0 oder ein Vielfaches von 25 sind.
Beispiel:
500, 025, 1875, ...
Kriterium der Teilbarkeit durch 125
Eine Zahl ist durch 125 teilbar, wenn ihre 3 letzten Ziffen 0 oder ein Vielfaches von 125 sind.
Beispiel:
1000, 1125, 4250, ...
Primzahlen
Eine Zahl ist eine Primzahl, wenn sie nur zwei Teiler hat: sich selbst und die Einheit.
Zusammengesetzte Zahl
Diese Zahl hat mehr als zwei Teiler
Faktorisierung
Faktorisieren oder eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen, bedeutet, dass die Zahl als Produkt von Primzahlen ausgedrückt wird.
Um eine Zahl zu faktorisieren, teilen wir sie nacheinander durch ihre Primteiler, bis wir eine 1 als Quotient erhalten.
Größter gemeinamer Teiler
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von zwei oder mehr Zahlen ist die größte Zahl, durch die geteilt werden kann und mit der die Division aufgeht.
Berechnung des ggT
1 Die Zahlen werden in Primfaktoren zerlegt.
2 Es werden die gemeinsamen Faktoren mit dem niedrigsten Exponenten genommen.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen, mit Ausnahme der 0.
Berechnung des kgV
1 Die Zahlen werden in Primfaktoren zerlegt.
2 Es werden die gemeinsamen Faktoren mit dem höchsten Exponenten genommen.
Euklidischer Algorithmus
Der Euklidsche Algorithmus ist ein Verfahren zur Berechnung des ggT zweier Zahlen. Die Schritte sind:
1 Die größere Zahl wird durch die kleinere geteilt.
2 Wenn:
Die Division geht genau auf, der Teiler ist der ggT.
Die Division geht nicht genau auf. Wir teilen den Divisor durch den erhaltenen Rest und fahren auf diese Weise fort, bis die Division genau aufgeht, wobei der letzte Divisor der ggT ist.
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