Manchmal stelle ich mir den Moment vor, als einer unserer Vorfahren einen Stein sah und ihm seine Einsatzmöglichkeiten durch den Kopf gingen – zum Beispiel als Werkzeug oder Waffe…
Wie muss der eigene Kopf funktionieren, um in etwas so Gewöhnlichem das Potenzial zu erkennen?
Ähnlich ist es auch mit dem Erkennen von Formen, die womöglich immer wieder in Mustern auftauchen.
Zugegebenermaßen findet man in der Natur keine Dreiecke, Quadrate und Parallelogramme. Die geometrische Form, die wohl am häufigsten zu finden ist, ist der Kreis oder die Kugelform.
Honigwaben und die Augen von Fliegen sind die stetige Wiederholung von Sechsecken….
Dennoch fragt man sich: Wie kam es, dass Vierecke und Vielecke aller Arten allgemeine Anerkennung als grundlegende geometrische Formen fanden?
In diesem Artikel sehen wir uns an, wie sich die Geometrie von ihren ersten Tagen bis heute entwickelt hat – eine Disziplin, die solch ein grundlegender Bestandteil unseres Lebens ist.
Hier findest du eine Einführung in die Geometrie.
Wie alles begann
Euklid wird weitläufig als Vater der Geometrie anerkannt, es gab allerdings Studien der Geometrie lange bevor er seine Beobachtungen aufschrieb.
Bereits 2.500 Jahre bevor Euklid geboren wurde, untersuchten die antiken Mesopotamier stumpfwinklige Dreiecke. Die Babylonier hatten empirische Daten zu Winkeln, Längen, Flächen und Volumen gesammelt, um ihre fantastischen Städte zu bauen und astronomischen Studien voranzubringen.
Einige der Prinzipien, die sie begründeten, waren so fortschrittlich, dass die heutigen Experten der Geometrie komplizierte Berechnungen bräuchten, um dieselben Schlüsse zu ziehen wie diese frühen Mathematiker.
Zur selben Zeit wie die babylonischen Studien wurden auch in Indien Fortschritte im Bereich der Geometrie gemacht. Um 800 v. Chr. gehörte das, was später als Satz des Pythagoras bekannt wurde, zur vedischen Mythologie in ihren Anweisungen zum Bau eines Gebetsaltars.
Auf der anderen Seite des arabischen Halbmonds machten die Ägypter ebenso Fortschritte im Bereich der Geometrie. Natürlich brauchten sie geometrisches Verständnis, wie hätten sie sonst die Pyramiden bauen können?
Schließlich nahmen die Griechen die Sache in die Hand.
Heute schreiben wir Thales den Ursprung der mathematischen Ableitung zu, leider ist keine seiner Arbeit bis heute erhalten. Es wird allerdings postuliert, dass Pythagoras einer seiner Schüler gewesen sein muss, da ein Großteil seiner Arbeit die Ideen seines vermeintlichen Lehrers widerspiegelt.
Wusstest du, dass Pythagoras nicht nur verrückt nach Dreiecken, sondern auch ein Weltreisender war? Er machte seinen Weg nach Babylon und hörte nicht auf, bis er in Ägypten ankam.
Manche spekulieren, dass er weniger ein Forscher der Geometrie war, sondern vielmehr ein Sammler und Bündler bereits bestehender Informationen war. Eins ist jedoch klar: Er war der erste, der das bewies, was wir heute als Satz des Pythagoras kennen.
Ein Jahrhundert zuvor in Griechenland war der großartige Philosoph Platon ebenso ein Fan der Geometrie. Da er so einflussreich war, übernahmen Mathematiker schnell sein Credo, dass Geometrie keine anderen Instrumenten als einen Zirkel und ein Lineal verwenden sollte.
Nun kommen wir endlich zu Euklid.
Es wird angenommen, dass er ein Schüler von Platon war, seine 13-seitige Abhandlung mit dem Titel Die Elemente, in der er bestimmte “Wahrheiten” – Ideen – über Geometrie, die allgemein als korrekt angesehen werden, beschreibt.
Euklids fünf Grundsätze sind:
- zwei Punkte können immer mit einer gerade Linie verbunden werden
- eine begrenzte Linie kann zusammenhängend gerade verlängert werden
- mit jedem Mittelpunkt und Radius kann ein Kreis gezeichnet werden
- alle rechten Winkel sind einander gleich
- zwei parallele Linien wenn sie von einer geraden Linie geschnitten wird, innenseitige Winkel entstehen lassen…das ist als Parallelenaxiom bekannt
Diese Grundsätze wurden im Laufe der Zeit immer wieder als Grundlage der Disziplin angesehen, die wir heute als Geometrie kennen.
Heute werden viele der Konzepte, die Euklid als Geometrie ausdrückte, mehr als Algebra angesehen als reine Geometrie. Das zeigt unweigerlich, wie alle Arten der Mathematik miteinander in Verbindung stehen.
Hier sind einige der grundlegenden Berechnungen und Formeln der Geometrie für dich erklärt.
Die Entwicklung der Studien der Geometrie
Die klassischen griechischen Studien, darunter Geometrie, machten schließlich ihren Weg in die weitere Welt, insbesondere in Europa, wo einige der größten Denker der Zeit zu finden waren.
Viel des Vermächtnisses der Blütezeit des Islam, einer Periode zwischen dem 8. und 14. Jahrhundert, tauchten in den größten königlichen Höfen der auf.
Almagest von Ptolomäus, eine mathematische/astronomische Abhandlung, die bis heute als einer der einflussreichsten wissenschaftlichen Texte aller Zeiten angesehen wird, wurde König William I, dem zweiten König von Sizilien, als Geschenk übergeben.
Diese Arbeit und andere wurden von Euklid übersetzt, was die Weiterentwicklung der Geometrie und algebraischen Geometrie förderte. Das resultierte in neuen Theorien und Konzepten.
Zu dieser Zeit war die italienische Renaissance bereits in vollem Gange. Künstler wurden zu unerwarteten Profiteuren der Fortschritte in der Geometrie. Ihre Malereien gewannen Tiefe und Dimension aufgrund der geometrischen Methode der Perspektive.
Denke nur an Leonardo da Vincis berühmteste Arbeit, der Vitruvianische Mensch: die präzisen menschlichen Proportionen, die perfekt in einem Kreis enthalten sind, der in sich wieder ein Quadrat enthält – auch hier findet sich wieder die Herausforderung nur einen Kompass und einen Zirkel und ein Lineal zu verwenden.
Informationen verbreiten sich allerdings langsam, nicht jeder Künstler oder Gelehrte der Renaissance gewann Zugang zu den neuesten Ideen bezüglich Formen und Gleichungen.
Mathematiker und Philosoph René Descartes leistete einen großen Beitrag, indem er Koordinaten und Gleichungen in die Geometrie einführte – das ist heute bekannt als analytische Geometrie.
Die zweite große Veränderung in den Studien der Geometrie der Zeit war die projektive Geometrie – wie Punkte sich verbinden lassen ohne Messungen.
Derr französische Mathematiker Poncelet öffnete das Gebiet der projektiven Geometrie, es war jedoch erst als Isaac Newton und Gottfried Leibniz getrennt voneinander eine Berechnung entwickelten, die als Grundlage für die hartnäckigsten Probleme der Geometrie diente.
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Geometrie heute
Nicht alles, was Euklid postulierte, stimmte. Das Parallelenaxiom stellte sich als unmöglich zu beweisen heraus. Das wiederum ermöglichte eine neue Art der Geometrie, die die Unmöglichkeit dieses Postulats beweist. Sie wurde bekannt als Nichteuklidische Geometrie.
Andere Theorien und Entdeckungen folgten. Eine von Bernard Riemann wandte Berechnungen auf glatte Oberflächen an, was einen neuen Zweig der Nichteuklidischen Geometrie ermöglichte und die Grundlage für die bekannteste Gleichung der Welt legte: e=mc2.
Ab diesem Moment folgten weitere Entwicklungen in der algebraischen Geometrie, was wiederum zur endlichen Geometrie führte, auf welcher die Theorie des Codierens und die Kryptographie aufbauten.
Topologie, die Studie der Eigenschaften eines geometrischen Objektes, betrachtet größere Aspekte von Formen, wie beispielsweise ihre Verbundenheit und Grenzen.
Heute bestimmen Computeranwendungen so viele Aspekte des menschlichen Lebens und das hat zur Entwicklung neuer Bereiche der Geometrie geführt. Einige beschäftigen sich mit geometrischen Algorithmen, während andere sich mit einzelnen geometrischen Datensätzen befassen (digitale Geometrie).
Hier sind ein paar Online-Quellen für Geometrie, mit denen du üben und lernen kannst.
Praktische Anwendungen der Geometrie
Es scheint schon nahezu schade, dass das Feld der Geometrie so weit fortgeschritten ist. Die Tage von Euklid und Descartes sind lange vorbei.
Heutzutage gehört der Satz des Pythagoras fest zum Schulstoff und immer neue Generationen von Schülern und Schülerinnen raufen sich die Haare darüber und fragen sich, warum sie diese theoretischen Grundlagen lernen müssen, wenn ihnen so viele Werkzeuge und Hilfsmittel zur Verfügung stehen.
Diese Ansicht ist jedoch sehr kurzsichtig.
Du musst vielleicht niemals selbst ein Haus oder ein Möbelstück bauen, du solltest jedoch wertschätzen können, dass alle Personen, die an dem Bau beteiligt sind, etwas von Geometrie verstehen müssen. Sei es der Architekt des Hauses, der Schreiner oder der Tischler. Hätten sie dieses Wissen nicht, würden Häuser zusammenfallen und Stühlen zusammenbrechen, wenn sich jemand darauf setzt.
Alles vom Volumen eines Glases zu den Reifen an einem Auto folgt den Prinzipien der Geometrie.
Was wenn du dich einfach nicht für gerade Linien und geometrische Formen interessierst?
Wenn eine Zukunft für dich im Bereich des Codierens siehst, dann ist ebenfalls dabei Geometrie inbegriffen.
Wenn du der nächste große Videospielentwickler werden möchtest, dann musst du etwas von Vektorgrafik und den Polygonen verstehen, die die tatsächliche Spielumgebung ausmachen.
Auch im Bereich Satellitennavigation, GPS und sogar dein Flachbildfernseher nutzen alle Geometrie, um die Position von Pixeln zu berechnen und die deine Position mitzuteilen oder das Bild richtig zu berechnen.
Aktuell schlägst du dich womöglich damit rum, wie due den Umfang eines Kreis oder das Volumen einer Pyramide berechnest, je mehr du jedoch über Geometrie lernst, umso mehr Anwendungsgebiete tun sich dir auf. Damit wird es auch ein spannendes Gebiet der Mathematik.
Wenn du Mathe Nachhilfe brauchst, erfährst du hier, wie du den richtigen Lehrer für deine Bedürfnisse findest. Darunter kannst du auch wichtige Informationen für einen Mathe Abi Vorbereitungskurs finden.
Geometrie ist zweifelsohne so viel mehr als stumpfwinklige Dreiecke und stumpfe Winkel, die von stumpfen Lehrern erklärt werden… Du musst dich nur darauf einlassen!
Um dir den Einstieg zu erleichtern, haben wir dir grundlegende Formeln der euklidischen Geometrie in dieser Tabelle zusammengestellt.
| Form | Umfang | Fläche |
|---|---|---|
| Quadrat | 4a | a2 (zum Quadrat) |
| Kreis | 2 x pi x r | pi x r 2 (zum Quadrat) |
| Andere Vierecke als das Quadrat | 2l + 2b | a2 (zum Quadrat) |
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Fläche von anderen Vierecken als das Quadrat ist nicht a^2 (also a mal a)! Des Rechtecks z.B. ist l mal b.
Es ist gut geschrieben, aber habe leider trotzdem nichts verstanden….*traurig*