Die Geometrie ist ein Fachbereich der Mathematik. Dort geht es vor allem um das Berechnen und Messen von Abständen, Strecken, Winkeln, Formen wie Vierecke und Körpern wie Pyramiden. Ursprünglich stammt das Wort Geometrie aus dem Griechischen. In der Antike war damit die Erdmessung oder Landmessung gemeint.
Diese wirst du heute im Matheunterricht oder in der Nachhilfe Mathematik natürlich nicht mehr lernen. Worum es stattdessen geht, haben wir dir in diesem Artikel grundlegend zusammengefasst.
Wichtige Grundkonzepte der Geometrie
Zentral für sämtliche Konzepte und Berechnungen in der Geometrie ist ein Punkt. Einen Punkt kennst du vielleicht aus dem Alltag als Treffpunkt, an dem du dich mit deinen Freunden verabredest. Oder als Ausgangspunkt für Wanderungen oder Radtouren.
Der geometrische Punkt unterscheidet sich im Prinzip gar nicht so sehr davon, nur dass es sich eben um eine mathematische Betrachtungsweise handelt. So ist ein Punkt ein einzelner Punkt im Koordinatensystem, der weder über Länge, Breite, noch Höhe verfügt. Es ist ein einziger, nicht-dimensionaler Punkt.
Dieser ist dann aber Ausgangspunkt für sämtliche weitere Figuren, Formen und Konzepte der Geometrie: Mehrere Punkte bilden gemeinsame Formen oder Geraden.
Die direkte Verbindung zweier Punkte ist beispielsweise eine Strecke. Die Länge dieser Strecke stellt den Abstand der beiden Punkte zueinander dar. Geht die Linie zwischen den Punkten über diese hinaus, handelt es sich um eine Gerade, die anhand der Punktkoordinaten exakt bestimmt werden kann. Geht die Linie nur über einen der beiden Punkte hinaus, so spricht man von einem Strahl oder einer Halbgeraden.
Diese beiden Halbgeraden mit Ursprung im selben Punkt bilden in ihrer Mitte einen Winkel - ein weiteres elementares Konstrukt der Geometrie. Der Punkt wird dann auch Scheitelpunkt genannt. Schneiden sich zwei Geraden in einem Punkt, so ist dies der Schnittpunkt der Geraden.
Aus drei, vier, fünf etc. Punkten kannst du wiederum eindeutig ein Dreieck, Viereck, Fünfeck etc. bilden. Die Position der Punkte zueinander ist ausschlaggebend für die genaue Form und die Eigenschaften der jeweiligen Figur.
Die Dimensionen der Geometrie
Wichtig für das Verständnis weiterführender geometrischer Rechnungen in Mathe sind die unterschiedlichen Dimensionen, die gelten können.
Auf geraden Linien und Strecken kannst du dich jeweils nur vor oder zurück bewegen. Nicht aber zur Seite oder nach oben oder unten. Daher sind Geraden, Strahlen und Strecken eindimensionale Gebilde der Geometrie.
Eine weitere Dimension kommt hinzu, wenn du es mit Vielecken oder Kreisen zu tun hast. Diese liegen auf einer Ebene, es gibt neben einer Länge auch eine Breite. Daher spricht man hier von zweidimensionalen Figuren oder Formen.
Nehmen wir nun eine weitere Dimension, die Höhe, hinzu, ergeben sich dreidimensionale Körper. Dazu zählen Würfel, Kugeln, Quader, Pyramiden... Im Prinzip sämtliche Gegenstände, die du in die Hand nehmen kannst. 3D kennst du vielleicht auch aus dem Kino, wenn einem Film eine Tiefe hinzugefügt wird, durch die du das Gefühl hast, mitten im Geschehen zu sein.
Winkel in der Geometrie
Wie bereits erwähnt, bilden zwei Strahlen, die im selben Punkt beginnen, einen gemeinsamen Winkel. Sie stehen also in einer bestimmten Neigung zueinander. Gleichermaßen bilden auch Geraden, die sich schneiden, um diesen Schnittpunkt herum gemeinsame Winkel.
In der Geometrie gibt man einem Winkel einen griechischen Buchstaben als Namen, beispielsweise Alpha, Beta oder Gamma. Die den Winkel einschließenden Strahlen sind die sogenannten Schenkel des Winkels und der Ursprungspunkt der Scheitelpunkt bzw. Winkelscheitel. Die Maßeinheit für einen Winkel ist Grad, es gibt zum Beispiel 30°-Winkel oder 100°-Winkel. Denkbar ist jedes Winkelmaß zwischen 0 und 360°.
Es gibt dabei eine Klassifizierung in unterschiedliche Winkelarten:
- Nullwinkel = 0°
- spitzer Winkel = 0 - 90°
- rechter Winkel = 90°
- stumpfer Winkel = 90 - 180°
- gestreckter Winkel = 180°
- überstumpfer Winkel = 180 - 360°
- Vollwinkel = 360°
Vielleicht kannst du dir einen Winkel auch gut als ein Kreisausschnitt oder Kuchenstück vorstellen. Der gesamte Kuchen ist ein Vollwinkel, der halbe Kuchen ein gestreckter Winkel. Ein rechter Winkel wäre genau ein Viertel des Kuchens. Ein "normales" Kuchenstück ist ein spitzer Winkel, usw.
Zur Berechnung sowie zum Zeichnen von Winkeln hilft dir, alternativ zu geometrischen Formeln, ein Geodreieck. Auf diesem findest du die Winkelmaße eingezeichnet. Wenn du die Hypotenuse des Geodreiecks an einen der Winkelschenkel legst und der Scheitelpunkt sich genau bei der Nullstelle befindet, kannst du am Schnittpunkt des zweiten Schenkels mit dem Geodreieck das Winkelmaß ablesen.
Um auf mathematische Weise Winkel zu berechnen, benötigst du Sinus, Cosinus oder Tangens. Bei diesen Berechnungen müsst ihr zum einen die Begriffe Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete kennen (der Satz des Pythagoras lässt grüßen) sowie den Taschenrechner einsetzen. Das aber nur am Rande, für unseren Grundlagenartikel ist das oben Erklärte ausreichend.
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Geometrische Figuren berechnen
Bei geometrischen Figuren handelt es sich also um Formen, die durch bestimmte Punkte definiert werden und auf einer zweidimensionalen Ebene liegen. Berechnungen rund um diese Figuren drehen sich meist um den Flächeninhalt oder den Umfang einer Figur.
Berechnung eines Rechtecks
Ein Rechteck ist ein Viereck mit jeweils zwei zueinander parallelen Seiten. Parallel bedeutet, dass die Seiten an allen Punkten denselben Abstand zueinander haben, sie sich also niemals schneiden werden. Das führt dazu, dass alle vier Winkel in einem Rechteck rechte Winkel sind - daher wohl auch der Name. Eine besondere Form des Rechtecks ist das Quadrat. Bei diesem sind alle vier Seiten gleich lang.
Der Umfang (U) des Rechtecks berechnet sich im Grunde, in dem du die Länge aller vier Seiten zusammen addierst, also a + b + c + d. Du kannst es dir aber etwas leichter machen mit der Formel: U = 2*a + 2*b. Der Umfang eines Quadrats lautet dann sogar U = 4*a.
Der Flächeninhalt (A) beschreibt die Fläche innerhalb des Rechtecks. Das ist im Alltag zum Beispiel relevant, wenn du die Größe deiner Wohnung bestimmen möchtest um herauszufinden, wie viele Bodenplatten du benötigst.
Die Formel dazu lautet für ein Rechteck A = a*b bzw. für ein Quadrat A = a².
Berechnung eines Dreiecks
Wie der Name schon sagt, hat ein Dreieck drei Ecken und wird dementsprechend durch drei Punkte definiert. Es gibt unterschiedliche Arten von Dreiecken, je nach Größe der Winkel oder Länge der Seiten:
- gleichwinkliges Dreieck: Alle drei Winkel sind gleich groß.
- gleichseitiges Dreieck: Alle drei Seiten sind gleich lang.
- gleichschenkliges Dreieck: Zwei der Seiten, die beiden Schenkel, sind gleich lang.
- rechtwinkliges Dreieck: Ein Winkel des Dreiecks beträgt genau 90°.
Für die Berechnung von Umfang und Flächeninhalt eines Dreiecks gelten die folgenden Formeln:
Umfang (U)= a + b + c
Flächeninhalt (A) = 0,5 * a * h
Der Buchstabe h steht für die Höhe des Dreiecks. Diese erhältst du, wenn du von der Grundseite a eine Strecke zum gegenüberliegenden Punkt C ziehst, welche im 90°-Winkel zu a liegt.
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Berechnung eines Kreises
Um einen Kreis zu ziehen bzw. zu definieren, benötigst du den Mittelpunkt M sowie das Kreismaß, den Radius r. Der Radius ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Kreislinie und bestimmt die Größe des Kreises. Ein weiteres wichtiges Maß für den Kreis ist der Durchmesser d. Dieser ist das doppelte des Radius und verbindet zwei gegenüberliegende Punkte auf der Kreislinie sowie den Mittelpunkt auf direktem Weg.
Um weiterführende Berechnungen an einem Kreis durchführen zu können, benötigst du die Kreiszahl Pi bzw. π. Pi entspricht in etwa 3,14159.... Dein Taschenrechner wird in der Regel eine Pi-Taste haben, welche dann den konkreten Wert einsetzt.
Die Formeln für Umfang und Flächeninhalt eines Kreises lauten dann:
U = 2 * r * π oder auch d * π
A = r² * π
Geometrische Körper berechnen
Bei geometrischen Körpern nehmen wir nun die Dimension der Tiefe hinzu und erhalten dreidimensionale Gebilde wie Zylinder, Kugeln, Pyramiden etc. Von diesen wirst du im Matheunterricht oder allgemein in der Geometrie insbesondere Volumen (das Pendant zum Flächeninhalt) sowie die Oberfläche (das Pendant zum Umfang) berechnen wollen.
Kugel berechnen
Geläufige Beispiele für eine Kugel sind ein Fußball, eine Bowling-Kugel oder ein Tennisball. Eine Mandarine könnte einer Kugel angenähert werden, ist aber in der Realität keine perfekte Kugel.
Um Volumen und Oberfläche einer Kugel berechnen zu können, brauchst du in erster Linie wieder Radius, Durchmesser und Pi.
Diese Formeln solltest du zur Berechnung einer Kugel kennen:
Volumen (V) = 4/3 * π * r³
Oberfläche (O) = 4 * π * r² oder π * d²
Pyramide
Pyramiden kennst du sicherlich aus dem alten Ägypten. Es gibt eine quadratische Grundfläche und von allen vier Ecken des Quadrats zieht eine Linie in den gemeinsamen Punkt nach oben. Die vier weiteren Seiten einer Pyramide sind Dreiecke. Aufgeschlüsselt wird eine Pyramide also aus einem Viereck und vier Dreiecken gebildet.
Wichtige Maße zur Berechnung von Pyramiden sind die Länge einer Seite des Quadrats (a), die Höhe (h) und die Seitenlänge (s).
Die Formeln für Volumen und Oberflächeninhalt lauten:
V = 1/3 * a² * h
O = a² + 2 * a * ha
Die Bezeichnung ha steht hier für die Höhe eines der Dreiecke, die die Seitenflächen der Pyramide bilden. Also nicht um die Höhe der Pyramide selbst. Wenn du genauer hinsiehst, erkennst du, dass die Oberfläche der Pyramide im Prinzip die Summe der Flächeninhalte der fünf Seitenflächen ist. Das Quadrat der Grundfläche ist a² und die vier Dreiecke ergeben 4 * (0,5 * a * ha) = 2 * a * ha.
Kegel berechnen
Ein Kegel hat einen Kreis als Grundseite, von wo der Körper ähnlich wie bei einer Pyramide spitz nach oben in einen Punkt zusammenläuft. Eine Eiswaffel oder Eistüte hat beispielsweise die Form eines Kegels.
Die Formeln für einen Kegel lauten:
V = 1/3 * π * r² * h
O = π * r² + π * r * s
Quader berechnen/ Würfel
Ein Quader hat zum Beispiel die Form einer Schuhbox. Es handelt sich um einen dreidimensionalen Körper mit ausschließlich Rechtecken als Grundflächen und rechten Winkeln. Eine besondere Form des Quaders ist der Würfel, bei dem alle Seitenkanten gleich lang sind.
Für viele ist der Quader der am einfachsten zu berechnende geometrische Körper. Die Formeln lauten:
V = a * b * c oder bei einem Würfel V = a³
O = 2 * a* b + 2 * a * c + 2 * b * c oder bei einem Würfel O = 6 * a²
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