Aufgaben zum Erwartungswert

Bei einem Zufallsexperiment wird ein Würfel geworfen, bei dem die erreichten Punktzahlen notiert werden sollen. Berechne:

a Die Funktion der Wahrscheinlichkeit und ihre Darstellung

b Die Funktion der Verteilung und ihre Darstellung

c Den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung

Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable , deren Wahrscheinlichkeitsfunktion wie folgt ist:

1 Berechne die Verteilungsfunktion und stelle sie grafisch dar

2 Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

Gegeben ist die folgende Funktion der Verteilung

,

wobei und . Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Da und , haben wir das folgende Gleichungssystem

Die Lösung ist und .Schließlich ergibt sich für die Verteilungsfunktion, dass

Wir setzen die Werte von und ein und lösen nach auf. Wir erhalten . Daraus folgt:

Aus der obigen Verteilungsfunktion lässt sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion ableiten, die wie folgt gegeben ist

Ein Spieler wirft zwei Münzen. Er gewinnt oder €, wenn einmal oder zweimal Kopf erscheint. Andererseits verliert er €, wenn Kopf nicht erscheint. Ermittle den Erwartungswert und ob dieser günstig ist.

Der Erwartungswert ist durch gegeben. Er ist somit nicht günstig.

Es wird ein Paar Würfel geworfen. Bestimme die Zufallsvariable als die Summe der erhaltenen Punktzahlen. Ermittle die Wahrscheinlichkeitsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz

Ein Spieler würfelt mit einem gewöhnlichen Würfel. Wenn oder eine Primzahl gewürfelt wird, gewinnt er so viele Hundert Euro, wie der Würfel Punkte zeigt. Wenn aber keine Primzahl gewürfelt wird, verliert er so viele Hundert Euro, wie der Würfel Punkte zeigt. Ermittle die Wahrscheinlichkeitsfunktion und den Erwartungswert des Spiels.

Wenn eine Person ein Lotterielos kauft, bei dem sie entweder € oder einen zweiten Preis von € gewinnen kann, mit Wahrscheinlichkeiten von: und . Was wäre ein angemessener Preis für das Los?

Der Preis ist durch den Erwartungswert gegeben

€