In diesem Artikel haben wir mehrere Aufgaben, bei denen das Integral eine Rolle spielt, auch wenn wir direkt aufgefordert werden, eine Funktion zu „integrieren“. In den meisten Fällen wird der Begriff „Stammfunktion“ erwähnt. Falls du dir über diesen Begriff nicht im Klaren bist, laden wir dich ein, unsere diesbezüglichen Artikel zu lesen. Ebenso wird in den ersten Übungen kurz erwähnt, was eine Stammfunktion ist.
Welche der unendlich vielen Stammfunktionen der Funktion 
hat den Wert 
, wenn sie für 
ausgewertet wird?
Zunächst sei daran erinnert, dass die Stammfunktion einer Funktion 
eine Funktion 
ist, die die Bedingung 
erfüllt. Nun wollen wir die allgemeine Form der Stammfunktion der Funktion ermitteln. Die Stammfunktionen werden durch unbestimmte Integrale berechnet:
Daher haben wir 
. Wir sollen jedoch die Stammfunktion finden, die erfüllt, dass 
ist. Wir tun dies, indem wir die allgemeine Stammfunktion auswerten und den genauen Wert von 
finden, der diese Gleichheit gewährleistet. Somit
Wir haben unseren Wert für 
gefunden, die gesuchte Stammfunktion ist also
Ermittle die Stammfunktion der Funktion 
, die durch den Punkt 
verläuft.
Die allgemeine Form der Stammfunktionen erhalten wir durch das Integral mit unbestimmten Grenzwerten, d. h.
Wir haben also 
. Es geht jedoch darum, die Stammfunktion zu finden, die durch den Punkt verläuft, d. h., dass 
. Wir tun dies, indem wir die allgemeine Stammfunktion auswerten und den genauen Wert von finden, der diese Gleichheit gewährleistet. Somit
Wir haben unseren Wert für 
gefunden, also lautet die gesuchte Stammfunktion
Finde eine Funktion , die für 
den Wert 
annimmt und deren Ableitung 
ist.
Die Aufgabe sagt uns, dass eine Stammfunktion von ist. Um zu finden, müssen wir also zunächst die Stammfunktionen von ermitteln, was wir durch Integration tun
Nun muss erfüllen, dass 
. Wir werten aus und stellen fest, dass diese Gleichheit erfüllt
Unsere gesuchte Funktion ist also
Finde eine Gerade, deren Steigung 
ist und die durch den Punkt 
verläuft.
Obwohl dieses Problem direkt mit der allgemeinen Formel für die Gerade gelöst werden kann, werden wir hier das Integral anwenden. Erstens ist die Ableitung einer Geraden ihre Steigung. Sie ist konstant, d. h. wenn wir also folgende Gerade haben,
Ihre Ableitung ist ihre Steigung 
. Da die Steigung der Geraden ist, d. h. ihre Ableitung , müssen wir die Stammfunktionen dieser Konstante ermitteln
dann haben alle Geraden mit der Steigung die Form 
; diese Gerade muss aber durch den Punkt 
verlaufen, also
Die gesuchte Gerade ist also gegeben durch
Ermittle die Stammfunktion der Funktion
,
die für null wird.
Um dieses Problem zu lösen, müssen wir zunächst die Stammfunktionen von finden. Wir ermitteln die Stammfunktionen durch das Integral und integrieren nach der Substitutionsmethode. Wir nehmen
Wir substituieren und erhalten
Nun stellen wir fest, dass der Graph für 0 wird. , Das bedeutet, dass er bei den Wert 
annimmt. Somit ist 
und wir können den Wert für ermitteln
Somit ist unser Graph
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