Name: Trigonometrie: Integrationsformeln und Aufgaben
Brand: Superprof
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Kapitel

Trigonomie: Integrationsformeln und Aufgaben
Aufgaben

Trigonomie: Integrationsformeln und Aufgaben

1 $\displaystyle\int sen \ x \ dx = -cos \ x + C$

2 $\displaystyle\int cos \ x \ dx = sen \ x + C$

3 $\displaystyle\int sen \ u \cdot u' \ dx = -cos \ u + C$

4 $\displaystyle\int cos \ u \cdot u' \ dx = sen \ u + C$

5 $\displaystyle \int \frac{1}{cos^{2}x} dx =\int sec^{2}x \ dx= \int (1+tg^{2}x)dx=tg \ x + C$

6 $\displaystyle \int \frac{u'}{cos^{2}u} dx =\int sec^{2}u \cdot u' \ dx= \int (1+tg^{2}u)\cdot u'dx=tg \ u + C$

7 $\displaystyle \int \frac{1}{sen^{2}x} \cdot dx =\int cosec^{2}x \ dx= \int (1+cotg^{2}x)dx=-cotg \ x + C$

8 $\displaystyle \int \frac{u'}{sen^{2}u}dx =\int cosec^{2}u \cdot u' dx= \int (1+cotg^{2}u)\cdot u'dx=-cotg \ u + C$

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Los geht's

Aufgaben

Löse das folgende Integral

1 $\displaystyle \int (cos \ x - sen \ x)dx$

1 Teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (cos \ x - sen \ x)dx & = & \displaystyle \int cos \ x \ dx - \displaystyle \int sen \ x \ dx \end{array}$

2 Wende Formel Nr. 1 und 2 an und du erhältst

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos \ x \ dx - \displaystyle \int sen \ x \ dx & = & sen \ x + cos \ x + C \end{array}$

3 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (cos \ x - sen \ x)dx & = & sen \ x + cos \ x + C \end{array}$

2 $\displaystyle \int (3x^{2}-sec^{2}x)dx$

1 Teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf und ziehe den konstanten Faktor gemäß der Faktorrege

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (3x^{2}-sec^{2}x)dx & = & \displaystyle \int 3x^{2} dx - \displaystyle \int sec^{2}x \ dx \\\\ & = & \displaystyle 3 \int x^{2} dx - \displaystyle \int sec^{2}x \ dx \end{array}$

2 Wende Formel Nr. 5 an, um das zweite Integral zu lösen

$\begin{array}{rcl} \displaystyle 3 \int x^{2} dx - \displaystyle \int sec^{2}x \ dx & = & x^3 - tg \ x + C \end{array}$

3 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (3x^{2}-sec^{2}x)dx & = & x^3 - tg \ x + C \end{array}$

3 $\displaystyle \int e^{x} cos \ e^{x} dx$

1 Ein Winkel sei $u = e^x$ . Berechne seine Ableitung

$u' = e^x$

2 Strukturiere die Elemente innerhalb des Integrals und wende Formel Nr. 4 an, um das Integral zu lösen

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int e^{x} cos \ e^{x} dx & = & \displaystyle \int cos \ e^{x}\cdot e^x \ dx \\\\ & = & sen \ e^x + C \end{array}$

4 $\displaystyle \int x \ sen (x^{2}+5)dx$

1 Ein Winkel sei $u = x^{2}+5$ . Berechne seine Ableitung

$u' = 2x$

2 Strukturiere die Elemente innerhalb des Integrals und vervollständige das Integral

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \ sen (x^{2}+5)dx & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \int sen (x^{2}+5) \cdot 2x \; dx \end{array}$

3 Wende Formel Nr. 3 an, um das Integral zu lösen

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{1}{2} \int sen (x^{2} + 5) \cdot 2x \; dx & = & -\cfrac{1}{2} \; cos (x^{2} + 5) + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \ sen (x^{2}+5)dx & = & -\cfrac{1}{2} \; cos (x^{2} + 5) + C \end{array}$

5 $\displaystyle \int \frac{sen(\ln x)}{x} \; dx$

1 Ein Winkel sei $u = \ln x$ . Berechne seine Ableitung

$u' = \cfrac{1}{x}$

2 Strukturiere die Elemente innerhalb des Integrals

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{sen(\ln x)}{x} \; dx & = & \displaystyle \int sen (\ln x) \cdot \cfrac{1}{x} \; dx \end{array}$

3 Wende Formel Nr. 3 an, um das Integral zu lösen

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen (\ln x) \cdot \cfrac{1}{x} \; dx & = & - cos (\ln x) + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{sen(\ln x)}{x} \; dx & = & - cos (\ln x) + C \end{array}$

6 $\displaystyle \int cos^{3}x \; dx$

1 Teile das Integral $cos^3 x = cos^2 x \cdot cos \; x$ auf; wende $cos^2 x = 1 - sen^2 x$ an und vereinfache das Produkt

$\begin{array}{rcl} cos^3 x & = & cos^2 x \cdot cos \; x \\\\ & = & (1 - sen^2 x) \cdot cos \; x \\\\ & = & cos \; x - sen^2 x \cdot cos \; x \end{array}$

2 Setze die Lösung in das Integral ein und bilde die Integraldifferenz

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos^{3}x \; dx & = & \displaystyle \int (cos \; x - sen^2 x \cdot cos \; x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int cos \; x \; dx - \displaystyle \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx \end{array}$

3 Wende Formel Nr. 2 an, um das erste Integral aufzulösen; die Funktion des zweiten Integrals hat die Potenz $u = sen \; x$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos \; x \; dx - \displaystyle \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx & = & sen \; x - \cfrac{1}{3} \; sen^3 x + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos^{3}x \; dx & = & sen \; x - \cfrac{1}{3} \; sen^3 x + C \end{array}$

7 $\displaystyle \int sen^{3}x \; dx$

1 Trenne das Integral $sen^3 x = sen^2 x \cdot sen \; x$ auf; Wende $sen^2 x = 1 - cos^2 x$ an und löse das Produkt auf

$\begin{array}{rcl} sen^3 x & = & sen^2 x \cdot sen \; x \\\\ & = & (1 - cos^2 x) \cdot sen \; x \\\\ & = & sen \; x - cos^2 x \cdot sen \; x \end{array}$

2 Setze die Lösung in das Integral ein und bilde die Integraldifferenz

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{3}x \; dx & = & \displaystyle \int (sen \; x - cos^2 x \cdot sen \; x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int sen \; x \; dx - \displaystyle \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx \end{array}$

3 Wende Formel Nr. 2 an, um das erste Integral zu lösen; die Funktion des zweiten Integrals hat die Potenz $u = cos \; x$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen \; x \; dx - \displaystyle \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx & = & -cos \; x + \cfrac{1}{3} \; cos^3 x + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{3}x \; dx & = & -cos \; x + \cfrac{1}{3} \; cos^3 x + C \end{array}$

8 $\displaystyle \int sen^{5}x \; cos^{2}x \; dx$

1 Teile das Integral $sen^5 x \; cos^2 x = sen \; x \cdot sen^4 x \cdot cos^2 x$ auf; wende die Formel $sen^2 x = 1 - cos^2 x$ an und löse das Produkt

$\begin{array}{rcl} sen^5 x \; cos \; x & = & sen \; x \cdot (1 - cos^2 x)^2 \cdot cos^2 x \\\\ & = & cos^2 x \cdot sen \; x - 2 cos^4 x \cdot sen \; x + cos^6 \cdot sen \; x \end{array}$

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{5}x \; cos^{2}x \; dx & = & \displaystyle \int (cos^2 x \cdot sen \; x - 2 cos^4 x \cdot sen \; x + cos^6 \cdot sen \; x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx - \displaystyle 2 \int cos^4 x \cdot sen \; x \; dx + \displaystyle \int cos^6 \cdot sen \; x \; dx \end{array}$

3 Löse die Integrale mit $u = cos \; x$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx - \displaystyle 2 \int cos^4 x \cdot sen \; x \; dx + \displaystyle \int cos^6 \cdot sen \; x \; dx & = & -\cfrac{1}{3} \; cos^3 x + \cfrac{2}{5} \; cos^5 x - \cfrac{1}{7} \; cos^7 x + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{5}x \; cos^{2}x \; dx & = & -\cfrac{1}{3} \; cos^3 x + \cfrac{2}{5} \; cos^5 x - \cfrac{1}{7} \; cos^7 x + C \end{array}$

9 $\displaystyle \int \frac{dx}{sen \; x \; cos \; x}$

1 Führe ein Ersatzverfahren mit $sen^2 x + cos^2 x = 1$ durch

$\displaystyle \int \frac{dx}{sen \; x \; cos \; x} = \displaystyle \int \frac{sen^2 x + cos^2 x}{sen \; x \; cos \; x}\; dx$

2 Teile das Integral auf, indem du den Nenner hinter jedes Element des Zählers stellst

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{sen^2 x + cos^2 x}{sen \; x \; cos \; x}\; dx & = & \displaystyle \int \frac{sen \; x}{cos \; x}\; dx + \displaystyle \int \frac{cos \; x}{sen \; x}\; dx \end{array}$

3 Löse das Integral auf

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{sen \; x}{cos \; x}\; dx + \displaystyle \int \frac{cos \; x}{sen \; x}\; dx & = & - \ln(cos \; x) + \ln(sen \; x) + C \\\\ & = & \ln (tg \; x) + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{dx}{sen \; x \; cos \; x} & = & \ln (tg \; x) + C \end{array}$

10 $\displaystyle \int sen^{2} 4x \; dx$

1 Wende die Integralregel an

$\begin{array}{rcl} sen^2 4x & = & \cfrac{1 - cos \; 8x}{2} \\\\ & = & \cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{2}cos \; 8x \end{array}$

2 Setze die Lösung in das Integral ein und löse auf

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{2} 4x \; dx & = & \displaystyle \int \left (\cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{2}cos \; 8x \right) dx \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \int \; dx - \cfrac{1}{2}\displaystyle \int cos \; 8x \; dx \\\\ & = & \cfrac{1}{2} \; x - \cfrac{1}{16} \; sen \; 8x + C \end{array}$

11 $\displaystyle \int cos^{5}x \; dx$

1 Teile das Integral $cos^5 x = cos^4 x \cdot cos \; x$ auf; wende die Formel $cos^2 x = 1 - sen^2 x$ an und löse das Produkt

$\begin{array}{rcl} cos^5 x & = & cos^4 x \cdot cos \; x \\\\ & = & (1 - sen^2 x)^2 \cdot cos \; x \\\\ & = & cos \; x - 2 sen^2 x \cdot cos \; x + sen^4 \cdot cos \; x \end{array}$

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos^{5}x \; dx & = & \displaystyle \int (cos \; x - 2 sen^2 x \cdot cos \; x + sen^4 \cdot cos \; x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int cos \; x \; dx - \displaystyle 2 \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx + \displaystyle \int sen^4 x \cdot cos \; x \; dx \end{array}$

3 Wende Formel Nr. 2 an, um das erste Integral zu lösen; die Funktion des zweiten Integrals hat die Potenz $u = sen \; x$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos \; x \; dx - \displaystyle 2 \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx + \displaystyle \int sen^4 x \cdot cos \; x \; dx & = & sen \; x - \cfrac{2}{3} \; sen^3 x + \cfrac{1}{5} \; sen^5 x + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos^{5}x \; dx & = & sen \; x - \cfrac{2}{3} \; sen^3 x + \cfrac{1}{5} \; sen^5 x + C \end{array}$

12 $\displaystyle \int sec^{4} x \; dx$

1 Teile das Integral $sec^4 x = sec^2 x \cdot sec^2 x$ auf; wende die Formel $sec^2 x = 1 + tg^2 x$ an und löse das Produkt

$\begin{array}{rcl} sec^4 x & = & sec^2 x \cdot sec^2 x \\\\ & = & (1 + tg^2 x) \cdot sec^2 x \\\\ & = & sec^2 x + tg^2 x \cdot sec^2 x \end{array}$

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sec^{4}x \; dx & = & \displaystyle \int (sec^2 x + tg^2 x \cdot sec^2 x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int sec^2 x \; dx + \displaystyle \int tg^2 x \cdot sec^2 x \; dx \end{array}$

3 Wende die Formel Nr. 5 an, um das erste Integral zu lösen; die Funktion des zweiten Integrals hat die Potenz $u = tg \; x$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sec^2 x \; dx + \displaystyle \int tg^2 x \cdot sec^2 x \; dx & = & tg \; x + \cfrac{1}{3} \; tg^3 x + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sec^{4}x \; dx & = & tg \; x + \cfrac{1}{3} \; tg^3 x + C \end{array}$

13 $\displaystyle \int tg^{2} x \; dx$

1 Strukturiere das Integral $tg^2 x = 1 + tg^2 x - 1$ um; wende die Formel $sec^2 x = 1 + tg^2 x$ an

$\begin{array}{rcl} tg^2 x & = & 1 + tg^2 x - 1 \\\\ & = & (1 + tg^2 x) - 1 \\\\ & = & sec^2 x - 1 \end{array}$

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int tg^{2}x \; dx & = & \displaystyle \int (sec^2 x - 1) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int sec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx \end{array}$

3 Wende die Formel Nr. 5 an, um das erste Integral zu lösen

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx & = & tg \; x - x + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int tg^{2}x \; dx & = & tg \; x - x + C \end{array}$

14 $\displaystyle \int cosec^{2}(3x+1)dx$

1 Ein Winkel sei $u = 3x + 1$ ; berechne die Ableitung

$u' = 3$

2 Vervollständige das Integral

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^{2}(3x+1)dx & = & \cfrac{1}{3} \displaystyle \int cosec^2 (3x + 1) \cdot 3 \; dx \end{array}$

3 Wende die Formel Nr. 7 an, um das Integral zu lösen

$\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{3} \displaystyle \int cosec^2 (3x + 1) \cdot 3 \; dx & = & - \cfrac{1}{3} cotg(3x + 1) + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^{2}(3x+1)dx & = & - \cfrac{1}{3} cotg(3x + 1) + C \end{array}$

15 $\displaystyle \int cosec^{4} x \; dx$

1 Teile das Integral $cosec^4 x = cosec^2 x \cdot cosec^2 x$ auf; wende die Formel $cosec^2 x = 1 + cotg^2 x$ an und löse das Produkt

$\begin{array}{rcl} cosec^4 x & = & cosec^2 x \cdot cosec^2 x \\\\ & = & (1 + cotg^2 x) \cdot cosec^2 x \\\\ & = & cosec^2 x + cotg^2 x \cdot cosec^2 x \end{array}$

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^{4}x \; dx & = & \displaystyle \int (cosec^2 x + cotg^2 x \cdot cosec^2 x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int cosec^2 x \; dx + \displaystyle \int cotg^2 x \cdot cosec^2 x \; dx \end{array}$

3 Wende die Formel Nr. 7 an, um das erste Integral zu lösen; die Funktion des zweiten Integrals hat die Potenz $u = cotg \; x$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^2 x \; dx + \displaystyle \int cotg^2 x \cdot cosec^2 x \; dx & = & - cotg \; x - \cfrac{1}{3} \; cotg^3 x + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^{4}x \; dx & = & - cotg \; x - \cfrac{1}{3} \; cotg^3 x + C \end{array}$

16 $\displaystyle \int cotg^{2} x \; dx$

1 Strukturiere das Integral $cotg^2 x = 1 + cotg^2 x - 1$ ; wende die Formel $cosec^2 x = 1 + cotg^2 x$ an

$\begin{array}{rcl} cotg^2 x & = & 1 + cotg^2 x - 1 \\\\ & = & (1 + cotg^2 x) - 1 \\\\ & = & cosec^2 x - 1 \end{array}$

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cotg^{2}x \; dx & = & \displaystyle \int (cosec^2 x - 1) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int cosec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx \end{array}$

3 Wende die Formel Nr. 5 an, um das erste Integral zu lösen

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx & = & -cotg \; x - x + C \end{array}$

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cotg^{2}x \; dx & = & -cotg \; x - x + C \end{array}$

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.

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