Trigonomie: Integrationsformeln und Aufgaben

 

1\displaystyle\int sen \ x \ dx = -cos \ x + C

 

2\displaystyle\int cos \ x \ dx = sen \ x + C

 

3\displaystyle\int sen \ u \cdot u' \ dx = -cos \ u + C

 

4\displaystyle\int cos \ u \cdot u' \ dx = sen \ u + C

 

5\displaystyle \int \frac{1}{cos^{2}x} dx =\int sec^{2}x \ dx= \int (1+tg^{2}x)dx=tg \ x + C

 

6\displaystyle \int \frac{u'}{cos^{2}u} dx =\int sec^{2}u \cdot u' \ dx= \int (1+tg^{2}u)\cdot u'dx=tg \ u + C

 

7\displaystyle \int \frac{1}{sen^{2}x} \cdot dx =\int cosec^{2}x \ dx= \int (1+cotg^{2}x)dx=-cotg \ x + C

 

8\displaystyle \int \frac{u'}{sen^{2}u}dx =\int cosec^{2}u \cdot u' dx= \int (1+cotg^{2}u)\cdot u'dx=-cotg \ u + C

 

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Los geht's

Aufgaben

Löse das folgende Integral

1 \displaystyle \int (cos \ x - sen \ x)dx

1 Teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (cos \ x - sen \ x)dx & = & \displaystyle \int cos \ x \ dx - \displaystyle \int sen \ x \ dx \end{array}

 

2 Wende Formel Nr. 1 und 2 an und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos \ x \ dx - \displaystyle \int sen \ x \ dx & = & sen \ x + cos \ x + C \end{array}

 

3 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (cos \ x - sen \ x)dx & = & sen \ x + cos \ x + C \end{array}

 

2 \displaystyle \int (3x^{2}-sec^{2}x)dx

1 Teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf und ziehe den konstanten Faktor gemäß der Faktorrege

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (3x^{2}-sec^{2}x)dx & = & \displaystyle \int 3x^{2} dx - \displaystyle \int sec^{2}x \ dx \\\\ & = & \displaystyle 3 \int x^{2} dx - \displaystyle \int sec^{2}x \ dx \end{array}

 

2 Wende Formel Nr. 5 an, um das zweite Integral zu lösen

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle 3 \int x^{2} dx - \displaystyle \int sec^{2}x \ dx & = & x^3 - tg \ x + C \end{array}

 

3 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (3x^{2}-sec^{2}x)dx & = & x^3 - tg \ x + C \end{array}

 

3 \displaystyle \int e^{x} cos \ e^{x} dx

1 Ein Winkel sei u = e^x. Berechne seine Ableitung

 

u' = e^x

 

2 Strukturiere die Elemente innerhalb des Integrals und wende Formel Nr. 4 an, um das Integral zu lösen

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int e^{x} cos \ e^{x} dx & = & \displaystyle \int cos \ e^{x}\cdot e^x \ dx \\\\ & = & sen \ e^x + C \end{array}

 

4 \displaystyle \int x \ sen (x^{2}+5)dx

1 Ein Winkel sei u = x^{2}+5. Berechne seine Ableitung

 

u' = 2x

 

2 Strukturiere die Elemente innerhalb des Integrals und vervollständige das Integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \ sen (x^{2}+5)dx & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \int sen (x^{2}+5) \cdot 2x \; dx \end{array}

 

3 Wende Formel Nr. 3 an, um das Integral zu lösen

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{1}{2} \int sen (x^{2} + 5) \cdot 2x \; dx & = & -\cfrac{1}{2} \; cos (x^{2} + 5) + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \ sen (x^{2}+5)dx & = & -\cfrac{1}{2} \; cos (x^{2} + 5) + C \end{array}

 

5 \displaystyle \int \frac{sen(\ln x)}{x} \; dx

1 Ein Winkel sei u = \ln x. Berechne seine Ableitung

 

u' = \cfrac{1}{x}

 

2 Strukturiere die Elemente innerhalb des Integrals

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{sen(\ln x)}{x} \; dx & = & \displaystyle \int sen (\ln x) \cdot \cfrac{1}{x} \; dx \end{array}

 

3 Wende Formel Nr. 3 an, um das Integral zu lösen

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen (\ln x) \cdot \cfrac{1}{x} \; dx & = & - cos (\ln x) + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{sen(\ln x)}{x} \; dx & = & - cos (\ln x) + C \end{array}

 

6 \displaystyle \int cos^{3}x \; dx

1 Teile das Integral cos^3 x = cos^2 x \cdot cos \; x auf; wende cos^2 x = 1 - sen^2 x an und vereinfache das Produkt

 

\begin{array}{rcl} cos^3 x & = & cos^2 x \cdot cos \; x \\\\ & = & (1 - sen^2 x) \cdot cos \; x \\\\ & = & cos \; x - sen^2 x \cdot cos \; x \end{array}

 

2 Setze die Lösung in das Integral ein und bilde die Integraldifferenz

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos^{3}x \; dx & = & \displaystyle \int (cos \; x - sen^2 x \cdot cos \; x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int cos \; x \; dx - \displaystyle \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx \end{array}

 

3 Wende Formel Nr. 2 an, um das erste Integral aufzulösen; die Funktion des zweiten Integrals hat die Potenz u = sen \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos \; x \; dx - \displaystyle \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx & = & sen \; x - \cfrac{1}{3} \; sen^3 x + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos^{3}x \; dx & = & sen \; x - \cfrac{1}{3} \; sen^3 x + C \end{array}

 

7 \displaystyle \int sen^{3}x \; dx

1 Trenne das Integral sen^3 x = sen^2 x \cdot sen \; x auf; Wende sen^2 x = 1 - cos^2 x an und löse das Produkt auf

 

\begin{array}{rcl} sen^3 x & = & sen^2 x \cdot sen \; x \\\\ & = & (1 - cos^2 x) \cdot sen \; x \\\\ & = & sen \; x - cos^2 x \cdot sen \; x \end{array}

 

2 Setze die Lösung in das Integral ein und bilde die Integraldifferenz

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{3}x \; dx & = & \displaystyle \int (sen \; x - cos^2 x \cdot sen \; x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int sen \; x \; dx - \displaystyle \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx \end{array}

 

3 Wende Formel Nr. 2 an, um das erste Integral zu lösen; die Funktion des zweiten Integrals hat die Potenz u = cos \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen \; x \; dx - \displaystyle \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx & = & -cos \; x + \cfrac{1}{3} \; cos^3 x + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{3}x \; dx & = & -cos \; x + \cfrac{1}{3} \; cos^3 x + C \end{array}

 

8 \displaystyle \int sen^{5}x \; cos^{2}x \; dx

1 Teile das Integral sen^5 x \; cos^2 x = sen \; x \cdot sen^4 x \cdot cos^2 x auf; wende die Formel sen^2 x = 1 - cos^2 x an und löse das Produkt

 

\begin{array}{rcl} sen^5 x \; cos \; x & = & sen \; x \cdot (1 - cos^2 x)^2 \cdot cos^2 x \\\\ & = & cos^2 x \cdot sen \; x - 2 cos^4 x \cdot sen \; x + cos^6 \cdot sen \; x \end{array}

 

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{5}x \; cos^{2}x \; dx & = & \displaystyle \int (cos^2 x \cdot sen \; x - 2 cos^4 x \cdot sen \; x + cos^6 \cdot sen \; x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx - \displaystyle 2 \int cos^4 x \cdot sen \; x \; dx + \displaystyle \int cos^6 \cdot sen \; x \; dx \end{array}

 

3 Löse die Integrale mit u = cos \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx - \displaystyle 2 \int cos^4 x \cdot sen \; x \; dx + \displaystyle \int cos^6 \cdot sen \; x \; dx & = & -\cfrac{1}{3} \; cos^3 x + \cfrac{2}{5} \; cos^5 x - \cfrac{1}{7} \; cos^7 x + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{5}x \; cos^{2}x \; dx & = & -\cfrac{1}{3} \; cos^3 x + \cfrac{2}{5} \; cos^5 x - \cfrac{1}{7} \; cos^7 x + C \end{array}

 

9 \displaystyle \int \frac{dx}{sen \; x \; cos \; x}

1 Führe ein Ersatzverfahren mit sen^2 x + cos^2 x = 1 durch

 

\displaystyle \int \frac{dx}{sen \; x \; cos \; x} = \displaystyle \int \frac{sen^2 x + cos^2 x}{sen \; x \; cos \; x}\; dx

 

2 Teile das Integral auf, indem du den Nenner hinter jedes Element des Zählers stellst

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{sen^2 x + cos^2 x}{sen \; x \; cos \; x}\; dx & = & \displaystyle \int \frac{sen \; x}{cos \; x}\; dx + \displaystyle \int \frac{cos \; x}{sen \; x}\; dx \end{array}

 

3 Löse das Integral auf

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{sen \; x}{cos \; x}\; dx + \displaystyle \int \frac{cos \; x}{sen \; x}\; dx & = & - \ln(cos \; x) + \ln(sen \; x) + C \\\\ & = & \ln (tg \; x) + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{dx}{sen \; x \; cos \; x} & = & \ln (tg \; x) + C \end{array}

 

10 \displaystyle \int sen^{2} 4x \; dx

1 Wende die Integralregel an

 

\begin{array}{rcl} sen^2 4x & = & \cfrac{1 - cos \; 8x}{2} \\\\ & = & \cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{2}cos \; 8x \end{array}

 

2 Setze die Lösung in das Integral ein und löse auf

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{2} 4x \; dx & = & \displaystyle \int \left (\cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{2}cos \; 8x \right) dx \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \int \; dx - \cfrac{1}{2}\displaystyle \int cos \; 8x \; dx \\\\ & = & \cfrac{1}{2} \; x - \cfrac{1}{16} \; sen \; 8x + C \end{array}

 

11 \displaystyle \int cos^{5}x \; dx

1 Teile das Integral cos^5 x = cos^4 x \cdot cos \; x auf; wende die Formel cos^2 x = 1 - sen^2 x an und löse das Produkt

 

\begin{array}{rcl} cos^5 x & = & cos^4 x \cdot cos \; x \\\\ & = & (1 - sen^2 x)^2 \cdot cos \; x \\\\ & = & cos \; x - 2 sen^2 x \cdot cos \; x + sen^4 \cdot cos \; x \end{array}

 

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos^{5}x \; dx & = & \displaystyle \int (cos \; x - 2 sen^2 x \cdot cos \; x + sen^4 \cdot cos \; x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int cos \; x \; dx - \displaystyle 2 \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx + \displaystyle \int sen^4 x \cdot cos \; x \; dx \end{array}

 

3 Wende Formel Nr. 2 an, um das erste Integral zu lösen; die Funktion des zweiten Integrals hat die Potenz u = sen \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos \; x \; dx - \displaystyle 2 \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx + \displaystyle \int sen^4 x \cdot cos \; x \; dx & = & sen \; x - \cfrac{2}{3} \; sen^3 x + \cfrac{1}{5} \; sen^5 x + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos^{5}x \; dx & = & sen \; x - \cfrac{2}{3} \; sen^3 x + \cfrac{1}{5} \; sen^5 x + C \end{array}

 

12 \displaystyle \int sec^{4} x \; dx

1 Teile das Integral sec^4 x = sec^2 x \cdot sec^2 x auf; wende die Formel sec^2 x = 1 + tg^2 x an und löse das Produkt

 

\begin{array}{rcl} sec^4 x & = & sec^2 x \cdot sec^2 x \\\\ & = & (1 + tg^2 x) \cdot sec^2 x \\\\ & = & sec^2 x + tg^2 x \cdot sec^2 x \end{array}

 

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sec^{4}x \; dx & = & \displaystyle \int (sec^2 x + tg^2 x \cdot sec^2 x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int sec^2 x \; dx + \displaystyle \int tg^2 x \cdot sec^2 x \; dx \end{array}

 

3 Wende die Formel Nr. 5 an, um das erste Integral zu lösen; die Funktion des zweiten Integrals hat die Potenz u = tg \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sec^2 x \; dx + \displaystyle \int tg^2 x \cdot sec^2 x \; dx & = & tg \; x + \cfrac{1}{3} \; tg^3 x + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sec^{4}x \; dx & = & tg \; x + \cfrac{1}{3} \; tg^3 x + C \end{array}

 

13 \displaystyle \int tg^{2} x \; dx

1 Strukturiere das Integral tg^2 x = 1 + tg^2 x - 1 um; wende die Formel sec^2 x = 1 + tg^2 x an

 

\begin{array}{rcl} tg^2 x & = & 1 + tg^2 x - 1 \\\\ & = & (1 + tg^2 x) - 1 \\\\ & = & sec^2 x - 1 \end{array}

 

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int tg^{2}x \; dx & = & \displaystyle \int (sec^2 x - 1) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int sec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx \end{array}

 

3 Wende die Formel Nr. 5 an, um das erste Integral zu lösen

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx & = & tg \; x - x + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int tg^{2}x \; dx & = & tg \; x - x + C \end{array}

 

14 \displaystyle \int cosec^{2}(3x+1)dx

1 Ein Winkel sei u = 3x + 1; berechne die Ableitung

 

u' = 3

 

2 Vervollständige das Integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^{2}(3x+1)dx & = & \cfrac{1}{3} \displaystyle \int cosec^2 (3x + 1) \cdot 3 \; dx \end{array}

 

3 Wende die Formel Nr. 7 an, um das Integral zu lösen

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{3} \displaystyle \int cosec^2 (3x + 1) \cdot 3 \; dx & = & - \cfrac{1}{3} cotg(3x + 1) + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^{2}(3x+1)dx & = & - \cfrac{1}{3} cotg(3x + 1) + C \end{array}

 

15 \displaystyle \int cosec^{4} x \; dx

1 Teile das Integral cosec^4 x = cosec^2 x \cdot cosec^2 x auf; wende die Formel cosec^2 x = 1 + cotg^2 x an und löse das Produkt

 

\begin{array}{rcl} cosec^4 x & = & cosec^2 x \cdot cosec^2 x \\\\ & = & (1 + cotg^2 x) \cdot cosec^2 x \\\\ & = & cosec^2 x + cotg^2 x \cdot cosec^2 x \end{array}

 

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^{4}x \; dx & = & \displaystyle \int (cosec^2 x + cotg^2 x \cdot cosec^2 x) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int cosec^2 x \; dx + \displaystyle \int cotg^2 x \cdot cosec^2 x \; dx \end{array}

 

3 Wende die Formel Nr. 7 an, um das erste Integral zu lösen; die Funktion des zweiten Integrals hat die Potenz u = cotg \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^2 x \; dx + \displaystyle \int cotg^2 x \cdot cosec^2 x \; dx & = & - cotg \; x - \cfrac{1}{3} \; cotg^3 x + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^{4}x \; dx & = & - cotg \; x - \cfrac{1}{3} \; cotg^3 x + C \end{array}

 

16 \displaystyle \int cotg^{2} x \; dx

1 Strukturiere das Integral cotg^2 x = 1 + cotg^2 x - 1; wende die Formel cosec^2 x = 1 + cotg^2 x an

 

\begin{array}{rcl} cotg^2 x & = & 1 + cotg^2 x - 1 \\\\ & = & (1 + cotg^2 x) - 1 \\\\ & = & cosec^2 x - 1 \end{array}

 

2 Setze die Lösung in das Integral ein und teile das Integral mithilfe der Differenzregel auf

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cotg^{2}x \; dx & = & \displaystyle \int (cosec^2 x - 1) \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int cosec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx \end{array}

 

3 Wende die Formel Nr. 5 an, um das erste Integral zu lösen

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx & = & -cotg \; x - x + C \end{array}

 

4 Das Ergebnis des Integrals ist folglich

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cotg^{2}x \; dx & = & -cotg \; x - x + C \end{array}

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Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan, ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können (den Verlauf einer Kurve, die Richtung eines Vektors, etc.) verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen. Jedes Element einer Formel ist definiert und anhand der Definitionen lassen sich komplexe Rechenaufgaben strukturiert lösen.