Problemstellungen mit Lösungen zu reellen Zahlen – Teil 2

Wir nehmen ein Rechteck mit der Basis 3 und der Seite 2. Nach dem Satz des Pythagoras wissen wir dann, dass die Diagonale ist. In der Tat bedeutet dies, dass , wobei und somit . Man nimmt einfach dieses Maß und transponiert es mit dem Zirkel (wobei der Mittelpunkt bei liegt und der Radius die Diagonale unseres Rechtecks ist). Wir stellen also auf der Zahlengeraden die Zahl dar.

Für jeden dieser Fälle lösen wir den Betrag und zeichnen dann das Segment, das er darstellt:

1 Zunächst verwenden wir die Definition des Betrags, dann addieren wir zu den beiden Ungleichungen. Schließlich erhalten wir das gesuchte Intervall:

2 Zunächst verwenden wir die Definition des Betrags, dann addieren wir zu den beiden Ungleichungen. Schließlich erhalten wir das gesuchte Intervall:

3 Zunächst verwenden wir die Definition des Betrags, dann addieren wir zu den beiden Ungleichungen. Schließlich erhalten wir das gesuchte Intervall:

4 Zunächst verwenden wir die Definition des Betrags, dann addieren wir zu den beiden Ungleichungen. Schließlich erhalten wir das gesuchte Intervall:

Wir zerlegen die Radikanden in Faktoren: Bei den ersten beiden Summanden extrahieren wir Faktoren, beim dritten vereinfachen wir die Wurzel, indem wir den Wurzelexponenten und den Exponenten des Radikanden durch dividieren, und den letzten rationalisieren wir, indem wir mit der Kubikwurzel von multiplizieren und dividieren

Da alle Wurzeln gleich sind, können wir ihre Koeffizienten addieren

Zunächst berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzelexponenten. Dies ist dann unser gemeinsamer Wurzelexponent

Wir dividieren den gemeinsamen Wurzelexponenten durch die einzelnen Wurzelexponenten und jedes erhaltene Ergebnis multiplizieren wir mit den entsprechenden Exponenten

Wir entfernen die Klammern, vereinfachen den Bruch und multiplizieren im Zähler die Potenzen mit der gleichen Basis

Wir vereinfachen die Wurzel, indem wir den Wurzelexponenten und den Exponenten der Wurzel durch dividieren

Schließlich berechnen wir

Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners

Wir schreiben den Zähler als Potenz

Im Zähler haben wir eine quadrierte Differenz, die gleich dem Quadrat des ersten, minus dem Doppelten des ersten mal dem zweiten, plus dem Quadrat des zweiten ist

Wir berechnen wie folgt

Und

Wir vereinfachen den Bruch

Zunächst schreiben wir die Zahl als Bruch , und zerlegen diesen Bruch in Potenzen von Primzahlen. Schließlich wenden wir die Eigenschaft des Logarithmus einer Division an:

In jeder der Aufgaben führen wir die notwendigen Berechnungen durch, um den Wert von zu erhalten.

1

2

3

4

5

6

7

Wir führen die jeweiligen Berechnungen durch, um den gesuchten Wert zu ermitteln

1 Wir schreiben die Zahl als Bruch und wenden im Anschluss die Eigenschaften des Logarithmus einer Division und einer Potenz an

2 Wir schreiben die Zahl als Potenz und wenden die Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz an

3 Wir schreiben die Zahl als Bruch und wenden die Eigenschaft des Logarithmus einer Division an

Wir führen die jeweiligen Berechnungen durch, um den gesuchten Wert zu ermitteln

1 Wir wenden die folgenden Eigenschaften der Logarithmen an: Logarithmus einer Division, Logarithmus eines Produkts, Logarithmus einer Potenz:

2 Wir wenden die folgenden Eigenschaften von Logarithmen an: Logarithmus einer Division, Logarithmus eines Produkts, Logarithmus eines Produkts:

3 Wir wenden die folgenden Eigenschaften von Logarithmen an: Logarithmus eines Produkts, Logarithmus einer Potenz mit Potenz , Logarithmus eines Produkts, Logarithmus einer Potenz mit Potenz , Logarithmus eines Produkts, Logarithmus einer Potenz mit Potenz , Logarithmus eines Produkts, Logarithmus einer Potenz mit Potenz :

Wir führen die jeweiligen Berechnungen durch, um den gesuchten Wert zu ermitteln

1 Wir wenden auf beiden Seiten den Logarithmus an Wir wenden den Logarithmus einer Potzenz an Wir bestimmen den Gegenalgorithmus

2 Wir wenden auf beiden Seiten den Logarithmus an Wir wenden den Logarithmus einer Division an Wir wenden den Gegenlogarithmus an

3 Wir wenden auf beiden Seiten den Logarithmus an Wir wenden den Logarithmus einer Division, den Logarithmus eines Produkts und den Logarithmus einer Potenz an Wir wenden auf beiden Seiten den Logarithmus an