Aufgaben zur Berechnung der Normalverteilung und der Wahrscheinlichkeit

In diesem Fall arbeiten wir mit einer Standardnormalverteilung, für deren Lösung wir die folgende Formel verwenden werden:

Nun müssen wir in unserer Normalverteilungstabelle den Wert suchen, bei dem ist. Wir benötigen allerdings den Wert, bei dem und rechnen also . So erhalten wir . Da die Normalverteilung außerdem symmetrisch ist, gilt: .

Die Wahrscheinlichkeit liegt somit bei der Werte für .

Wir wenden die Formel an und setzen den Wert des Mittelwerts () und die Standardabweichung ( ) ein.

Wir vereinfachen und erhalten:

Hieraus ergibt sich

Nun suchen wir in der Normalverteilungstabelle den Wert und sehen, dass er entspricht. Somit:

Wir wenden die Formel an und setzen den Wert des Mittelwerts () und die Standardabweichung ( ) ein.

Wir suchen die entsprechenden Werte in der Normalverteilungstabelle:

Deshalb gilt

Das bedeutet, dass im Juni nur an Tagen Temperaturen zwischen Grad und Grad erreicht werden.

1

Wir setzen ein:

Wir suchen die Werte in der Normalverteilungstabelle:

Wenn wir also die Wahrscheinlichkeit

Von den Schüler*innen wiegen zwischen und kg.

2

Wir setzen ein und vereinfachen:

Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit mit und erhalten

.

Es wiegt also kein*e Schüler*in mehr als kg.

3

Wir setzen ein und vereinfachen:

Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit mit und erhalten

Schüler*innen, die weniger als kg wiegen.

4

Bei einer stetigen Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable einen exakten Wert hat, immer null (). Somit gilt

.

5

Angesichts der oben genannten Ergebnisse:

Es gibt null Schüler*innen, die genau kg wiegen und Schüler*innen, die weniger als kg wiegen. Somit gibt es Schüler*innen, die kg oder weniger wiegen.

\displaystyle 500 \cdot P(X < 64) = 500 \cdot P(X \leq 64) = 11[/latex].

1

Wir setzen die Werte in die Formel ein:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person eine Punktzahl von mehr als in der Prüfung erreicht, liegt bei .

2

Wir setzen die Werte in die Formel ein:

Wir suchen die Wahrscheinlickeit in der Tabelle der Normalverteilung. Diese ist , was bedeutet, dass

Wir bestimmen :

Wir berechnen für :

Der Prozentsatz der Studierenden, die bestehen und deren Punktzahl Punkte oberhalb der Grenze zum Nichtbestehen liegen, beträgt .

3

Wir setzen ein:

Aus der ersten Fragestellung dieser Aufgabe wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in der Prüfung mehr als Punkte erreicht, beträgt.

Nun wenden wir die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit an:

Wir setzen ein:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die mehr als Punkte erreicht, auch mehr als Punkte erreicht, liegt bei .

Wir suchen in unserer Tabelle den Parameter entsprechend der Wahrscheinlichkeit , der ist:

Wenn also , gilt

Wir suchen nun in unserer Tabelle den Parameter entsprechend der Wahrscheinlichkeit , der ist. Diese bedeutet, dass

Wenn also ist, gilt

Geringe Allgemeinbildung bis Punkte.

Akzeptable Allgemeinbildung zwischen und .

Ausgezeichnete Allgemeinbildung ab Punkten.

Verschiedene Intelligenztests ergeben eine Punktzahl, die einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von und einer Standardabweichung von folgt.

1

Wir setzen die Werte in die Formel ein:

Der Prozentsatz der Bevölkerung, der einen IQ zwischen und hat, beträgt .

2

Da wir der Mitte der Bevölkerung nehmen möchten, nutzen wir das Intevall zwischen und .

Wir suchen in unserer Tabelle den Paramter entsprechend der Wahrscheinlichkeit und

Wir setzen ein und bestimmen

und

Somit ist das Intervall: .

Das zentrierte Intervall, das der Bevölkerung umfasst, liegt zwischen und Punkten.

3

Wir setzen die Werte in die Formel ein, berechnen den Parameter und suchen die Wahrscheinlichkeit in der Tabelle

Diese Wahrscheinlichkeit multiplizieren wir mit den Personen. Wir erhalten:

Von den Personen haben voraussichtlich Personen einen IQ höher als .

n: Anzahl der zur Auswahl stehenden Haushalte.
p: Wahrscheinlichkeit, einen Haushalt auszuwählen, der ein Telefon besitzt.
q: Komplement der Wahrscheinlichkeit.
Um diese Art von Aufgabe zu lösen, wenden wir den Satz von Moivre-Laplace an:

Wenn eine binomialverteilte Zufallsvariable der Parameter und ist, , dann kann einer Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung (wobei ) angenähert werden. Es müssen die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein:

Bedingung 1.  .
Bedingung 2.  .
Dann würde die binomialverteilte Variable mit der Binomialverteilung angenähert werden.

Da , ist Bedingung 1 erfüllt.

Somit ist Bedingung 2 erfüllt.

Wir wenden die Formel an.

Wir setzen ein:

Nun wenden wir die Formel der Normalverteilung an

Wir setzen ein, berechnen und suchen den Wert der Wahrscheinlichkeit in unserer Normalverteilungstabelle:

Bei einer Zufallsauswahl von besteht eine Wahrscheinlichkeit von , dass mindestens Haushalte, die ein Telefon besitzen, ausgewählt wurden.

Wir wenden den Satz von Moivre-Laplace an:

Wir überprüfen die Bedingungen:

Erste Bedingung:

Zweite Bedingung: 

Da beide Bedingungen erfüllt sind, wenden wir die Formel an

.

Wir setzen ein:

Nun wenden wir an

Bei der zufälligen Beantwortung eines Multiple-Choice-Tests besteht eine Wahrscheinlichkeit von , den Test zu bestehen.

1

Wir wenden den Satz von Moivre-Laplace an und überprüfen die Bedingungen:

Da beide Bedingungen erfüllt sind, wenden wir die Formel an.

Wir setzen ein:

Wir wenden an: .

Und setzen ein:

2

Wir wenden die Formel an und setzen den Wert des Mittelwerts ein

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen und Haushalten mindestens Fernseher besitzen, liegt bei .