Zur Erinnerung: Ein bestimmtes Integral bezieht sich auf ein bestimmtes Intervall eines Integrals, sodass sich der Vorgang sehr einfach zusammenfassen lässt:

Schritt 1: Führe die Integration der Funktion mithilfe der definierten Formeln durch.

Schritt 2: Werte das Ergebnis deiner Integration an beiden Grenzwerten aus.

Schritt 3 : Vom Ergebnis des größten Punktes des Intervalls musst du das Ergebnis des kleinsten Punktes des Intervalls subtrahieren.

Beispiel:

Wir wenden die Formeln an, um die Funktion zu integrieren:

Nun muss diese Funktion an den Punkten 0 und 2 ausgewertet werden:

Wir subtrahieren jetzt vom höchsten Grenzwert den niedrigsten Grenzwert des Intervalls.

Das bestimmte Integral in diesem Intervall ist 6. Das bedeutet, dass die Fläche unter dem Graphen dieser Gleichung allein in diesem Intervall 6 Einheiten beträgt.

1

Bestimmtes Integral eines Bruchs

Lösung

Wir wenden die Formel für die Integration von Brüchen an:

2

Bestimmtes Integral eines Polynom 3. Grades

Lösung

Da es sich um ein Polynom handelt, d. h. um unterschiedliche algebraische Terme, die addiert oder subtrahiert werden, können wir einen nach dem anderen integrieren:

Nachdem wir das Ergebnis bei 1 und -1 ausgewertet haben, führen wir die Addition durch:

3

Bestimmtes Integral von 1 bis e

Lösung

Beachte:

Somit können wir für das Integral die folgende Formel verwenden:

Wir werten bei 1 und e aus. Im Anschluss subtrahieren wir

4

Bestimmtes Integral einer Sinusfunktion

Lösung

Die Formel für die Integration des Sinus lautet:

Und somit:

5

Bestimmtes Integral von trigonometrischen Funktionen

Lösung

6

Bestimmtes Integral eines Logarithmus

Lösung

7

Bestimmtes Integral im Intervall [0 , n²]

Lösung

Wir berechnen das bestimmte Integral durch Substitution.

Wir ermitteln die neuen Integrationsgrenzen.

Wir integrieren partiell.

Dies kann auch ohne Umwandlung der Integrationsgrenzen und Rückkehr zur Ausgangsvariablen erfolgen.

8

Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen
1

2

Lösung

1 

2 

9

Mittelwertsatz der Integralrechnung


Kann bei der folgenden Funktion der Mittelwertsatz der Interalrechnung im Intervall [0, 1] angewendet werden?

Lösung

Kann bei der folgenden Funktion der Mittelwertsatz der Interalrechnung im Intervall [0, 1] angewendet werden?

Da die Funktion bei [0, 1] stetig ist, kann der Mittelwertsatz angewendet werden.

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Katrin S.

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.