1Berechne den Wert der Determinante

 

{\left|\begin{array}{rrrr} 2 & 3 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & 6 & 7 \\ 4 & 82 & 0 & 3 \\ 2 & 23 & 2 & 3 \end{array}\right|}

1Die erste Zeile ist ein Vielfaches von 2, das heißt

 

{\left|\begin{array}{rrrr} 2 & 3 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & 6 & 7 \\ 4 & 82 & 0 & 3 \\ 2 & 23 & 2 & 3 \end{array}\right| = 2\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 6 & 7 \\ 2 & 82 & 0 & 3 \\ 1 & 23 & 2 & 3 \end{array}\right|}

 

2Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}, f_{4}} durch {f_{2}-f_{1}, f_{3}-2f_{1}, f_{4}-f_{1}} und du erhältst

 

 2\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 6 & 7 \\ 2 & 82 & 0 & 3 \\ 1 & 23 & 2 & 3 \end{array}\right| = 2\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 76 &-6 & -9 \\ 0 & 20 & -1 & -3 \end{array}\right|}

 

3Zur Berechnung der ersten Spalte wenden wir die obere Dreiecksformel an und erhalten

 

 2\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 76 &-6 & -9 \\ 0 & 20 & -1 & -3 \end{array}\right| = 2(1)\left|\begin{array}{rrr} 0 & 3 & 1 \\ 76 &-6 & -9 \\ 20 & -1 & -3 \end{array}\right|}

 

4Wende die Regel von Sarrus an

 

 2(1)\left|\begin{array}{rrr} 0 & 3 & 1 \\ 76 &-6 & -9 \\ 20 & -1 & -3 \end{array}\right| = 376 }


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2Berechne mithilfe der Rechenregeln für Determinanten:

{A = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right|}

 

{B= \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0& 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|}

 

{C= \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3& 4 \\ 2 & a+3 & b+4 \\ 2 & c+3 & d+4 \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}} durch {f_{2}-f_{1}, f_{3}-f_{2}} und du erhältst

 

{A = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2& 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}\right|}

 

2Da zwei Zeilen genau gleich sind, ist nach der Rechenregel für Determinanten die Lösung gleich Null

 

{A = 0}

 

Determinante B

 

{B= \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0& 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|}

 

1Hier handelt es scih um eine Matrix mit reduzierter Zeilenstufenform. Anhand der Rechenregel für Determinanten erhält man das Ergebnis, indem man die Elemente der Hauptdiagonalen miteinander multipliziert

 

{B= \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0& 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right| = (1)(1)(1) = 1}

 

Determinante C

 

{C= \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3& 4 \\ 2 & a+3 & b+4 \\ 2 & c+3 & d+4 \end{array}\right|}

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}} durch {f_{2}-f_{1}, f_{3}-f_{1}} und du erhältst

 

{C= \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3& 4 \\ 2 & a+3 & b+4 \\ 2 & c+3 & d+4 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3& 4 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{array}\right|}

 

2Für die erste Spalte mit zwei Nullen wenden wir die Regel für Matrizen mit reduzierter Struktur an und erhalten

 

{\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3& 4 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right|}

 

3Berechne die letzte Determinante und du erhältst

 

{2 \left|\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right| = 2(ad-bc)}

3Wende die Rechenregeln für Determinanten an und berechne:

{A=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 9 & 16 & 25 & 36 \\ 16 & 25 & 36 & 49 \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 4 & 16 & 36 & 64 \\ 8 & 64 & 216 & 512 \end{array}\right|}

 

{C=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 &5 \\ 2 & -2 & 1 &-3 \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}, f_{4}} durch {f_{2}-f_{1}, f_{3}-f_{2}, f_{4}-f_{3}} respectivamente y obtenemos

 

{A=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 9 & 16 & 25 & 36 \\ 16 & 25 & 36 & 49 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 3 & 5 & 7 & 9 \\ 5 & 7 & 9 & 11 \\ 7 & 9 & 11 & 13 \end{array}\right|}

 

2Ersetze noch einmal die Zeilen {f_{3}, f_{4}} durch {f_{3}-f_{2}, f_{4}-f_{3}} und du erhältst entsprechend

 

{ \left|\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 3 & 5 & 7 & 9 \\ 5 & 7 & 9 & 11 \\ 7 & 9 & 11 & 13 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 3 & 5 & 7 & 9 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{array}\right|}

 

3Da zwei Zeilen genau gleich sind, ist nach der Rechenregel für Determinanten die Lösung gleich Null, das heißt {A=0}

 

Determinante B

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen columnas {c_{2}, c_{3}, c_{4}} durch {c_{2}-c_{1}, c_{3}-c_{2}, c_{4}-c_{3}} und du erhältst

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 4 & 16 & 36 & 64 \\ 8 & 64 & 216 & 512 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 4 & 12 & 20 & 28 \\ 8 & 56 & 152 & 296 \end{array}\right|}

 

2Wende für die Berechnung der ersten Zeile mit drei Nullen die Regel für reduzierte Matrizen an

 

{\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 4 & 12 & 20 & 28 \\ 8 & 56 & 152 & 296 \end{array}\right| = (1) \left|\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2 \\ 1 2& 20 & 28 \\ 56 & 152 & 296 \end{array}\right|}

 

3Die erste Zeile ist ein Vielfaches von 2, das heißt

 

{(1)\left|\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2 \\ 1 2& 20 & 28 \\ 56 & 152 & 296 \end{array}\right| = (1)(2) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 2& 20 & 28 \\ 56 & 152 & 296 \end{array}\right|}

 

4Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Spalten {c_{2}, c_{3}} durch {c_{2}-c_{1}, c_{3}-c_{2}} und du erhältst

 

{(1)(2) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 2& 20 & 28 \\ 56 & 152 & 296 \end{array}\right| = (1)(2) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 2& 8 & 8 \\ 56 & 96 & 144 \end{array}\right|}

 

5Wende für die Berechnung der ersten Zeile mit zwei Nullen die Regel für reduzierte Matrizen an

 

{(1)(2) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 2& 8 & 8 \\ 56 & 96 & 144 \end{array}\right| = (1)(2)(1) \left|\begin{array}{cc} 8 & 8 \\ 96 & 144 \end{array}\right| }

 

6Berechne die Determinante der {2 \times 2}-Matrix

 

{(1)(2)(1) \left|\begin{array}{cc} 8 & 8 \\ 96 & 144 \end{array}\right| = (1)(2)(1)(8\cdot 144 -8\cdot 96) = 768}

 

Determinante C

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen {f_{3}, f_{4}} durch {f_{3} + f_{1}, f_{4} - 2f_{1}} und du erhältst

 

{C=\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 &5 \\ 2 & -2 & 1 &-3 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & 8 \\ 0 & -6 & -3 & -9 \end{array}\right|}

 

2Wende für die Berechnung der ersten Spalte mit drei Nullen die Regel für reduzierte Matrizen an

 

{\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & 8 \\ 0 & -6 & -3 & -9 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrr} 3 & 4 & 1 \\ 4 & 4 & 8 \\ -6 & -3 & -9 \end{array}\right|}

 

3Die zweite Zeile ist ein Vielfaches von 4 und die dritte ein Vielfaches von -3, das heißt

 

{ \left|\begin{array}{rrr} 3 & 4 & 1 \\ 4 & 4 & 8 \\ -6 & -3 & -9 \end{array}\right| = -3 \cdot 4 \left|\begin{array}{rrr} 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right| }

 

4Berechne die letzte Determinante

 

{ -3 \cdot 4 \left|\begin{array}{rrr} 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right| = -72 }

4Berechne den Wert der folgenden Dreiecksdeterminanten:

{A=\left|\begin{array}{cccc} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a &1 \\ 1 & 1 & 1 &a \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Spalten {c_{1}} durch {c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4}} und du erhältst

 

{A=\left|\begin{array}{cccc} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a &1 \\ 1 & 1 & 1 &a \end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrrr} a + 3 & 1 & 1 & 1 \\ a + 3 & a & 1 & 1 \\ a + 3 & 1 & a &1 \\ a + 3 & 1 & 1 &a \end{array}\right|}

 

2Die erste Spalte ist ein Vielfaches von a + 3, das heißt

 

{\left|\begin{array}{rrrr} a + 3 & 1 & 1 & 1 \\ a + 3 & a & 1 & 1 \\ a + 3 & 1 & a &1 \\ a + 3 & 1 & 1 &a \end{array}\right| = (a+3)\left|\begin{array}{crrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a &1 \\ 1 & 1 & 1 &a \end{array}\right|}

 

3Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen {f_2, f_{3}, f_{4}} durch {f_2 - f_1, f_{3} - f_{1}, f_{4} - f_{1}} und du erhältst

 

{(a+3)\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{array}\right| = (a+3)\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 \end{array}\right| }

 

4Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente ihrer Diagonalen

 

{(a + 3)\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 \end{array}\right| = (a + 3)(a - 1)^3 }

 

Determinante B

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen {f_2, f_{3}, f_{4}, f_5} durch {f_2 - f_1, f_{3} - f_{2}, f_{4} - f_{3}, f_5 - f_4} und du erhältst

 

{B=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right|}

 

2Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente ihrer Diagonalen

 

{\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right| = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16}

5Berechne die Vandermondesche Determinante:

{A=\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} &d^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} &d^{3} \end{array}\right|}

 

Determinante A

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Spalten {c_{2}, c_{3}} durch {c_{2} - a \cdot c_{1}, c_{3} - a \cdot c_{2}} und du erhältst

 

{A=\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & b - a & b^{2} - ab \\ 1 & c - a & c^{2} - ac \end{array}\right|}

 

2Wende für die Berechnung der ersten Zeile mit drei Nullen die Regel für reduzierte Matrizen an

 

{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & b - a & b^{2} - ab \\ 1 & c - a & c^{2} - ac \end{array}\right| = \left|\begin{array}{rr} b - a & b(b - a)  \\ c - a & c(c - a) \end{array}\right|}

 

3Die Elemente der ersten Zeile haben einen gemeinsamen Faktor. Ebenso die der zweiten Zeile. Ziehe diese gemeinsamen Faktoren aus der Determinante und löse die Determinante:

 

{\left|\begin{array}{rr} b - a & b(b - a) \\ c - a & c(c - a) \end{array}\right| = (b - a)(c - a)\left|\begin{array}{rr} 1 & b \\ 1 & c \end{array}\right| = (b - a)(c - a)(c - b)}

 

Determinante B

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}, f_4} durch {f_{2} - a \cdot f_{1}, f_{3} - a \cdot f_{2}, f_4 - a \cdot f_3} und du erhältst

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} &d^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} &d^{3} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & b - a & c - a & d - a \\ 0 & b^{2} - ab & c^{2} - ac &d^{2} - ad \\ 0 & b^{3} - ab^2 & c^{3} - ac^2 &d^{3} - ad^2 \end{array}\right|}

 

2Wende für die Berechnung der ersten Spalte mit drei Nullen die Regel für reduzierte Matrizen an

 

{\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & b - a & c - a & d - a \\ 0 & b^{2} - ab & c^{2} - ac &d^{2} - ad \\ 0 & b^{3} - ab^2 & c^{3} - ac^2 &d^{3} - ad^2 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} b - a & c - a & d - a \\ b(b - a) & c(c - a) & d(d - a) \\ b^{2}(b - a) & c^{2}(c - a) & d^{2}(d - a) \end{array}\right|}

 

3Ziehe den gemeinsamen Faktor aus jeder einzelnen der Spalten und löse die Determinante

 

{\left|\begin{array}{ccc} b - a & c - a & d - a \\ b(b - a) & c(c - a) & d(d - a) \\ b^{2}(b - a) & c^{2}(c - a) & d^{2}(d - a) \end{array}\right| = (b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b & c & d \\ b^{2} & c^{2} & d^{2} \end{array}\right|}

 

4Ersetze {f_{2}, f_{3} durch {f_{2} - b \cdot f_{1}, f_{3} - b \cdot f_{2}} und du erhältst

 

{(b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b & c & d \\ b^{2} & c^{2} & d^{2} \end{array}\right| = (b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & c - b & d - b \\ 0 & c^{2} - bc & d^{2} - bd \end{array}\right|}

 

5Wende für die Berechnung der ersten Spalte mit drei Nullen die Regel für reduzierte Matrizen an

 

{(b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & c - b & d - b \\ 0 & c^{2} - bc & d^{2} - bd \end{array}\right| = (b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{cc} c - b & d - b \\ c(c - b) & d(d - b) \end{array}\right|}

 

6Ziehe den gemeinsamen Faktor aus der ersten und zweiten Spaltn und löse die Determinante

 

{\begin{array}{rcl}(b - a)(c - a)(d - a) \left|\begin{array}{cc} c - b & d - b \\ c(c - b) & d(d - b) \end{array}\right| & = & (b - a)(c - a)(d - a)(c - b)(d - b) \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ c & d \end{array}\right| \\\\ & = & (b - a)(c - a)(d - a)(c - b)(d - b)(d - c) \end{array}}

6Berechne den Wert der folgenden Determinanten:

A=\left|\begin{array}{ccccc} 3 & a & a & a & a \\ a & 3 & a & a & a \\ a & a & 3 & a & a \\ a & a & a & 3 & a \\ a & a & a & a & 3 \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} &5^{2} \\ 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} & 5^{3} \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Spalten {c_{1}} durch {c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4} + c_5} und du erhältst

 

{A = \left|\begin{array}{ccccc} 3 & a & a & a & a \\ a & 3 & a & a & a \\ a & a & 3 & a & a \\ a & a & a & 3 & a \\ a & a & a & a & 3 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccccc} 4a + 3 & a & a & a & a \\ 4a + 3 & 3 & a & a & a \\ 4a + 3 & a & 3 & a & a \\ 4a + 3 & a & a & 3 & a \\ 4a + 3 & a & a & a & 3 \end{array}\right|}

 

2Die erste Spalte ist ein Vielfaches von 4a + 3, das heißt

 

{\left|\begin{array}{ccccc} 4a + 3 & a & a & a & a \\ 4a + 3 & 3 & a & a & a \\ 4a + 3 & a & 3 & a & a \\ 4a + 3 & a & a & 3 & a \\ 4a + 3 & a & a & a & 3 \end{array}\right| = (4a + 3) \left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & a & a \\ 1 & 3 & a & a & a \\ 1 & a & 3 & a & a \\ 1 & a & a & 3 & a \\ 1 & a & a & a & 3 \end{array}\right|}

 

3Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen {f_2, f_{3}, f_{4}, f_5} durch {f_2 - f_1, f_{3} - f_{1}, f_{4} - f_{1}, f_5 - f_1} und du erhältst

 

{(4a + 3) \left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & a & a \\ 1 & 3 & a & a & a \\ 1 & a & 3 & a & a \\ 1 & a & a & 3 & a \\ 1 & a & a & a & 3 \end{array}\right| = (4a + 3) \left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & a & a \\ 0 & 3 - a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 - a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 -a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 - a \end{array}\right| }

 

4Die determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente ihrer Diagonalen

 

{(4a + 3) \left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & a & a \\ 0 & 3 - a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 - a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 -a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 - a \end{array}\right| = (4a + 3)(3 - a)^4 }

 

Determinante B

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen {f_{2}, f_3, f_4} durch {f_2 -2 f_1, f_3 - 2 f_2, f_4 -2 f_3} und du erhältst

 

{B=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} &5^{2} \\ 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} & 5^{3} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \cdot 4 & 3 \cdot 5 \\ 0 & 3^{2} & 2 \cdot 4^{2} & 3 \cdot 5^{2} \end{array}\right|}

 

2Wende für die Berechnung der ersten Spalte mit drei Nullen die Regel für reduzierte Matrizen an

 

{\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \cdot 4 & 3 \cdot 5 \\ 0 & 3^{2} & 2 \cdot 4^{2} & 3 \cdot 5^{2} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 \cdot 4 & 3 \cdot 5 \\ 3^{2} & 2 \cdot 4^{2} & 3 \cdot 5^{2} \end{array}\right|}

 

3Die zweite Spalte ist ein Vielfaches von 2 und die dritte Spalte ein Vielfaches von 3, das heißt

 

{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 \cdot 4 & 3 \cdot 5 \\ 3^{2} & 2 \cdot 4^{2} & 3 \cdot 5^{2} \end{array}\right| = 2 \cdot 3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 3^{2} & 4^{2} & 5^{2} \end{array}\right|}

 

4Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Zeilen {f_{2}, f_3} durch {f_2 -3 f_1, f_3 - 3 f_2} und du erhältst

 

{2 \cdot 3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 3^{2} & 4^{2} & 5^{2} \end{array}\right| = 2 \cdot 3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \cdot 5 \end{array}\right|}

 

5Wende für die Berechnung der ersten Spalte mit zwei Nullen die Regel für reduzierte Matrizen an

 

{\begin{array}{rcl} 2 \cdot 3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \cdot 5 \end{array}\right| & = & 2 \cdot 3 \left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 4 & 2 \cdot 5 \end{array}\right| \\\\ & = & 12  \end{array}}

7Beweise ohne aufzulösen, dass der Wert der folgenden Determinanten gleich Null ist:

{A=\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b+c \\ 1 & b & a+c \\ 1 & c & a+b \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} a & 3a & 4a \\ a & 5a & 6a \\ a & 7a & 8a \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Da sich der Wert der Determinante bei einer Linearkombination nicht verändert, ersetze die Spalten {c_{3}} durch {c_{3} + c_{2}} und du erhältst

 

{A=\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b+c \\ 1 & b & a+c \\ 1 & c & a+b \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a + b + c \\ 1 & b & a+ b + c \\ 1 & c & a + b + c \end{array}\right|}

 

2Die dritte Spalte enthält einen gemeinsamen Faktor, das heißt

 

{\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a + b + c \\ 1 & b & a+ b + c \\ 1 & c & a + b + c \end{array}\right| = (a + b + c)\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{array}\right|}

 

3Die erste und dritte Spalte sind gleich, das heißt, die Determinante ist gleich Null

 

{(a + b + c)\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{array}\right| = 0}

 

Determinante B

 

1Die dritte Spalte ist gleich die Summe der ersten und zweiten, das heißt, die Determinante ist gleich Null

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} a & 3a & 4a \\ a & 5a & 6a \\ a & 7a & 8a \end{array}\right| = 0}

8Gegeben sei die Determinante

{A=\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ p & q & r \\ u & v & w \end{array}\right|=25.}

 

Berechne den Wert von

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} 2a & 2c & 2b \\ 2u & 2w & 2v \\ 2p & 2r & 2q \end{array}\right|}

1Da die Zeilen 2 als gemeinsamen Faktor haben, ist

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} 2a & 2c & 2b \\ 2u & 2w & 2v \\ 2p & 2r & 2q \end{array}\right| = 2\cdot 2 \cdot 2 \left|\begin{array}{ccc} a & c & b \\ u & w & v \\ p & r & q \end{array}\right|}

 

2Tausche die Spalten 2 und 3 miteinander aus

 

{2\cdot 2 \cdot 2 \left|\begin{array}{ccc} a & c & b \\ u & w & v \\ p & r & q \end{array}\right| = -8 \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ u & v & w \\ p & q & r \end{array}\right|}

 

3Tausche die Spalten 2 und 3 miteinander aus

 

\begin{array}{rcl}{-8 \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ u & v & w \\ p & q & r \end{array}\right| & = & (-1)(-8) \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ p & q & r \\ u & v & w \end{array}\right| \\\\ & = & 8 \cdot 25 \\\\ & = & 200 \end{array}}

9Gegeben sei {|A|=5}. Berechne die folgenden Determinanten:

{A=\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} 2x & 2y & 2z \\ \cfrac{3}{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|}

 

{C=\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 3x+3 & 3y & 3z+2 \\ x+1 & y+1 & z+1 \end{array}\right|}

Determinante B

 

1Zeile eins und zwei besitzen einen gemeinsamen Faktor

 

{\begin{array}{rcl} B & = & \left|\begin{array}{ccc} 2x & 2y & 2z \\ \cfrac{3}{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| \\\\ & = & 2 \cdot \cfrac{1}{2} \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|  \\\\ & = & 5 \end{array}}

 

Determinante C

 

1Ersetze die Zeilen f_2, f_3 durch f_2 - 3f_1, f_3 - f_1

 

{\begin{array}{rcl} C & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 3x+3 & 3y & 3z+2 \\ x+1 & y+1 & z+1 \end{array}\right| \\\\ & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| \\\\ & = & 5 \end{array}}

10Beweise ohne aufzulösen, dass die folgenden Determinanten Vielfache von 5 bzw. 4 sind

{A=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 7 & 1 & 3 \end{array}\right|}

 

{B=\left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|}

Determinante A

 

1Ersetze die Spalte c_1 durch c_1 + c_2 - c_3

 

{ A=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 7 & 1 & 3 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right| }

 

2Die Spalte c_1 hat 5 als gemeinsamen Faktor

 

{ \left|\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right| = 5 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right| }

 

Die Determinante ist ein Vielfaches von 5

 

Determinante B

 

1Ersetze die erste Spalte c_1 durch c_1 + c_2 + c_3

 

{ B=\left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \end{array}\right| }

 

2Die Spalte c_1 hat 4 als gemeinsamen Faktor

 

{ \left|\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \end{array}\right| = 4 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right| }

 

Die Determinante ist ein Vielfaches von 4.

11Beweise ohne aufzulösen, dass die folgende Determinante ein Vielfaches von 15 ist:

{A=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 5 \end{array}\right|}

1Ersetze die Spalte c_3 durch 100 c_1 + 10 c_2 + c_3

 

{ A = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 5 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 150 \\ 2 & 2 & 225 \\ 2 & 5 & 255 \end{array}\right| }

 

2Die Spalte c_3 hat 15 als gemeinsamen Faktor

 

{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 150 \\ 2 & 2 & 225 \\ 2 & 5 & 255 \end{array}\right| = 15 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 10 \\ 2 & 2 & 15 \\ 2 & 5 & 17 \end{array}\right| }

 

Die Determinante ist ein Vielfaches von 15.

12Beweise, das die folgende Determinante durch 21 teilbar ist:

 

{A = \left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1\\ 3 & 4 & 5 &6 & 1 & 2\\ 4 & 5 & 6 &1 & 2 & 3 \\ 5& 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array}\right|}

1Ersetze die Spalte c_6 durch  c_1 + c_2 + c_3 + c_4 + c_5 + c_6

 

{ A = \left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1\\ 3 & 4 & 5 &6 & 1 & 2\\ 4 & 5 & 6 &1 & 2 & 3 \\ 5& 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 21 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 21 \\ 3 & 4 & 5 &6 & 1 & 21 \\ 4 & 5 & 6 &1 & 2 & 21 \\ 5& 6 & 1 & 2 & 3 & 21 \\ 6& 1 & 2 & 3 & 4 & 21 \end{array}\right| }

 

2Die Spalte c_6 hat 21 als gemeinsamen Faktor

 

{ \left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 21 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 21 \\ 3 & 4 & 5 &6 & 1 & 21 \\ 4 & 5 & 6 &1 & 2 & 21 \\ 5& 6 & 1 & 2 & 3 & 21 \\ 6& 1 & 2 & 3 & 4 & 21 \end{array}\right| = 21 \left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \\ 3 & 4 & 5 &6 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 6 &1 & 2 & 1 \\ 5& 6 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 6& 1 & 2 & 3 & 4 & 1 \end{array}\right| }

 

Die Determinante ist ein Vielfaches von 21, das heißt, sie ist durch 21 teilbar.

13Zu beweisen sei die Gleichheit der folgenden Determinanten, ohne diese aufzulösen:

 

{\left|\begin{array}{ccc} x+y & y+z & z+x \\ p+q & q+r & r+p \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right| = 2\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{array}\right| }

 

{\left|\begin{array}{ccc} a^{2} & a & bc \\ b^{2} & b & ca\\ c^{2} & c& ab \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a^{3} & a^{2} & 1 \\ b^{3} & b^{2} & 1 \\ c^{3} & c^{2} & 1 \end{array}\right| }

 

Erste Gleichheit

 

1Die Spalten der ersten Determinante enthalten jeweils zwei Summanden, das heißt, man kann die Determinante als Addition aus zwei Determinanten mit jeweils einem der Summanden aus der ersten Spalte schreiben. Alle restlichen Elemente bleiben gleich. Führe dies für die erste Spalte durch:

 

{ \left|\begin{array}{ccc} x+y & y+z & z+x \\ p+q & q+r & r+p \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} x & y+z & z+x \\ p & q+r & r+p \\ a & b+c & c+a \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} y & y+z & z+x \\ q & q+r & r+p \\ b & b+c & c+a \end{array}\right| }

 

2Führe diesen Vorgang nun für alle anderen Spalten durch

 

{ \begin{array}{rcl} \left|\begin{array}{ccc} x & y+z & z+x \\ p & q+r & r+p \\ a & b+c & c+a \end{array}\right| & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z+x \\ p & q & r+p \\ a & b & c+a \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & z & z+x \\ p & r & r+p \\ a & c & c+a \end{array}\right| \\\\ & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & y & x \\ p & q & p \\ a & b & a \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & z & z \\ p & r & r \\ a & c & c \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & z & x \\ p & r & p \\ a & c & a \end{array}\right| \end{array} }

 

{ \begin{array}{rcl} \left|\begin{array}{ccc} y & y+z & z+x \\ q & q+r & r+p \\ b & b+c & c+a \end{array}\right| & = & \left|\begin{array}{ccc} y & y & z+x \\ q & q & r+p \\ b & b & c+a \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} y & z & z+x \\ q & r & r+p \\ b & c & c+a \end{array}\right| \\\\ & = & \left|\begin{array}{ccc} y & y & z \\ q & q & r \\ b & b & c \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} y & y & x \\ q & q & p \\ b & b & a \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} y & z & z \\ q & r & r \\ b & c & c \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} y & z & x \\ q & r & p \\ b & c & a \end{array}\right| \end{array} }

 

3Wenn zwei gleiche Spalten in einer Determinante vorkommen, ist diese gleich Null, das heißt man erhält

 

{ \begin{array}{rcl} \left|\begin{array}{ccc} x & y+z & z+x \\ p & q+r & r+p \\ a & b+c & c+a \end{array}\right| & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{array}\right| \end{array} }

 

{ \begin{array}{rcl} \left|\begin{array}{ccc} y & y+z & z+x \\ q & q+r & r+p \\ b & b+c & c+a \end{array}\right| & = & \left|\begin{array}{ccc} y & z & x \\ q & r & p \\ b & c & a \end{array}\right| \\\\ & = & \left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{array}\right| \end{array} }

 

4Die Gleichheit der beiden ursprünglichen Determinanten ist also bewiesen.

 

{\left|\begin{array}{ccc} x+y & y+z & z+x \\ p+q & q+r & r+p \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right| = 2\left|\begin{array}{ccc} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{array}\right| }

 

Zweite Gleichheit

 

1Multipliziere die erste Zeile mit a, die zweite mit b und die dritte mit c. Um die Gleichheit beizubehalten, multipliziere mit \cfrac{1}{abc}

 

{ \left|\begin{array}{ccc} a^{2} & a & bc \\ b^{2} & b & ca\\ c^{2} & c& ab \end{array}\right| = \cfrac{1}{abc}\left|\begin{array}{ccc} a^{3} & a^2 & abc \\ b^{3} & b^2 & abc \\ c^{3} & c^2 & abc \end{array}\right| }

 

2In der dritten Spalte liegt ein gemeinsamer Faktor vor

 

{ \cfrac{1}{abc}\left|\begin{array}{ccc} a^{3} & a^2 & abc \\ b^{3} & b^2 & abc \\ c^{3} & c^2 & abc \end{array}\right| = \cfrac{abc}{abc}\left|\begin{array}{ccc} a^{3} & a^2 & 1 \\ b^{3} & b^2 & 1 \\ c^{3} & c^2 & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a^{3} & a^2 & 1 \\ b^{3} & b^2 & 1 \\ c^{3} & c^2 & 1 \end{array}\right| }

14Löse die folgenden Gleichungen ohne die Determinante aufzulösen

 

{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x^{2} \end{array}\right|=0}

 

{\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a & x & c\\ a & b & x} \end{array}\right|=0}

Erste Gleichung

 

1Ersetze die Zeilen f_2, f_3 durch  f_2 - f_1, f_3 - f_1

 

{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x^{2} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x - 1 & 0 \\ 0 & 0 & x^{2} - 1 \end{array}\right| }

 

2Hier liegt eine Dreiecksmatrix vor, das heißt, die Determinante ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalen

 

{ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x - 1 & 0 \\ 0 & 0 & x^{2} - 1 \end{array}\right| = (x - 1) \left ( x^2 - 1 \right ) }

 

3Da die Determinante gleich Null ist, erhält man x = \pm 1

 

Zweite Gleichung

 

1Die erste Spalte enthält einen gemeinsamen Faktor

 

{ \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a & x & c\\ a & b & x \end{array}\right| = a \left|\begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 1 & x & c\\ 1 & b & x \end{array}\right| }

 

2Ersetze die Zeilen f_2, f_3 durch f_1 - f_2, f_1 - f_3

 

{ a \left|\begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 1 & x & c\\ 1 & b & x \end{array}\right| = a \left|\begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 0 & b - x & 0\\ 0 & 0 & c - x \end{array}\right| }

 

3Hier liegt eine Dreiecksmatrix vor, das heißt, die Determinante ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalen

 

{ a \left|\begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 0 & b - x & 0\\ 0 & 0 & c - x \end{array}\right| = a (b - x) \left ( c - x \right ) }

 

4Da die Determinante gleich Null ist, ist x = b und x = c

15Finde die inverse Matrix von:

 

{A=\left ( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{array} \right ) }

1Berechne die Determinante

 

{det \, A=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{array}\right| = 54}

 

2Berechne die adjunkte Matrix

 

{ A^* = \left ( \begin{array}{ccc} 25 & -9 & 4 \\ 7 & -9 & -14\\ -1 & 9 & 2 \end{array}\right ) }

 

3Berechne die Transponierte

 

{ \left ( A^* \right )^t = \left ( \begin{array}{ccc} 25 & 7 & -1 \\ -9 & -9 & 9 \\ 4 & -14 & 2 \end{array}\right ) }

 

4Die Inverse setzt sich aus A^{-1} = \cfrac{1}{det \, A} \left ( A^* \right )^t zusammen

 

{ A^{-1} = \cfrac{1}{54}\left ( \begin{array}{ccc} 25 & 7 & -1 \\ -9 & -9 & 9 \\ 4 & -14 & 2 \end{array}\right ) }

16Für welche Werte von x gibt es zur Matrix

 

{A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & x & x \\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{array}\right)}

 

keine inverse Matrix?

1Berechne die Determinante, indem du sie auf Basis der dritten Spalte vereinfachst

 

{\begin{array}{rcl} det \, A & = & \left|\begin{array}{ccc} 3 & x & x \\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{array}\right| \\\\ & = & x \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{array}\right| \\\\ & = & x \end{array} }

 

2Eine Matrix besitzt keine Inverse, wenn ihre Determinante gleich Null ist. Das heißt, die Matrix A hat keine Inverse für x = 0

17Für welche Werte von m besitzt die Matrix

 

{A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & m \\ m & 0 & -1\\ 6 & -1 & 0 \end{array}\right)}

 

keine inverse Matrix?

1Berechne die Determinante

 

{\begin{array}{rcl} det \, A & = & \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & m \\ m & 0 & -1\\ 6 & -1 & 0 \end{array}\right| \\\\ & = & -m^2 - 7 \end{array} }

 

2Eine Matrix besitzt keine Inverse, wenn ihre Determinante gleich Null ist. Die Determinante -m^2 - 7 ist für jeden reellen Wert von m negativ. Das heißt, die Matrix A besitzt immer eine Inverse, unabhängig vom reellen Wert von m

18Berechne den Rang der folgenden Matrizen:

 

{A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 &6 \\ -1 & -2 & 0 & -3\\ 3 & 5 & 1 & 9 \end{array}\right)}

 

{B = \left(\begin{array}{cccc} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 &2\\ 1& -1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 &2\\ 0 & 1 &-1 & 3 \end{array}\right)}

 

{C = \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 3 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 5 &0& 3 & 3\\ 1 & 6 & 0 & 3 & 4 \end{array}\right)}

Rang von A

 

1Berechne die Determinanten der Untermatrizen ersten Ranges

 

{\left| \begin{array}{c} 2 \end{array}\right|  \neq 0}

 

2Berechne die Determinanten der Untermatrizen zweiten Ranges

 

{\left |\begin{array}{cc} 2 & 3  \\ -1 & -2 \end{array}\right| = -1 \neq 0}

 

3Berechne die Determinanten der Untermatrizen dritten Ranges

 

{\left |\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & 1 \end{array}\right | = 0}

 

{\left |\begin{array}{cccc} 2 & 3  & 6 \\ -1 & -2 & -3\\ 3 & 5  & 9 \end{array}\right | = 0}

 

{ \left |\begin{array}{cccc} 2 & 6 & 1  \\ -1 & -3 & 0 \\ 3 & 9 & 1 \end{array}\right | = 0}

 

{\left |\begin{array}{cccc} 6 & 3 & 1  \\ -3 & -2 & 0 \\ 9 & 5 & 1 \end{array}\right | = 0}

 

4Der Rang der Matrix ist folglich 2.

 

Rang von B

 

1Berechne die Determinanten der Untermatrizen ersten Ranges

 

{\left| \begin{array}{c} 3 \end{array}\right| = 3 \neq 0}

 

2Berechne die Determinanten der Untermatrizen zweiten Ranges

 

{\left |\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right| = 1 \neq 0}

 

3Berechne die Determinanten der Untermatrizen dritten Ranges

 

{\left |\begin{array}{cccc} 3 & 2 & 4  \\ 1 & 1 & 0 \\ 1& -1 & 1 \end{array}\right | = -7 \neq 0}

 

4Berechne die Determinanten der Untermatrizen vierten Ranges

 

{\left |\begin{array}{cccc} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 &2\\ 1& -1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 &2\\ 0 & 1 &-1 & 3 \end{array}\right | = -99 \neq 0}

 

5Der Rang der Matrix ist folglich 4.

 

Rang von C

 

1Eliminiere die dritte Spalte, da sie gleich Null ist, die vierte, da sie proportional zur ersten ist und die fünfte, da sie eine Linearkombination der ersten und zweiten ist c_5 = -2c_1 + c_2

 

{C = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 3 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 5 &0& 3 & 3\\ 1 & 6 & 0 & 3 & 4 \end{array}\right ) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1  \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 5 \\ 1 & 6 \end{array}\right ) }

 

2Berechne die Determinanten der Untermatrizen ersten Ranges

 

{\left| \begin{array}{c} 1 \end{array}\right| = 1 \neq 0}

 

3Berechne die Determinanten der Untermatrizen zweiten Ranges

 

{\left |\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = 1 \neq 0}

 

4Der Rang der Matrix ist folglich 2.

19Löse die folgenden Matrixgleichungen

 

{A \cdot X = B}

 

{A = \left ( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right )}

 

{B = \left(\begin{array}{cc} 3& 1 \\ 2 & -5 \end{array}\right)}

 

{X \cdot A + B = C}

 

{A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)}

 

{B = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)}

 

{C = \left ( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)}

Erste Gleichung

 

1Die Determinante von A ist ungleich Null, das heißt, sie besitzt eine Inverse

 

{A^{-1} = \left(\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right)}

 

2Löse die Gleichung

 

{\begin{array}{rcl} A \cdot X & = & B \\\\ A^{-1} \cdot A \cdot X & = & A^{-1} \cdot B \\\\ I \cdot X & = & A^{-1} \cdot B \\\\ X & = & \left(\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{cc} 3& 1 \\ 2 & -5 \end{array}\right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{cc} 0 & 17 \\ 1 & -11 \end{array} \right ) \end{array}}

 

Zweite Gleichung

 

1Die Determinante von A ist ungleich Null, das heißt, sie besitzt eine Inverse

 

{A^{-1} = \left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)}

 

2Löse die Gleichung

 

{\begin{array}{rcl} X \cdot A + B & = & C \\\\ X \cdot A + B - B & = & C - B \\\\ X \cdot A  & = & C - B \\\\ X \cdot A \cdot A^{-1} & = & (C - B) \cdot A^{-1} \\\\ X & = & (C - B) \cdot A^{-1} \\\\ X & = & \left [ \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \right ] \cdot \left ( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right ) \\\\ & = & \left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 4 & -3 \end{array} \right ) \end{array}}

20Löse die folgende Matrixgleichung

 

{A \cdot X + 2B = 3C}

 

{A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)}

 

{B = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}

 

{C = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)}

1Die Determinante von A ist ungleich Null, das heißt, sie besitzt eine Inverse

 

{A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)}

 

2Löse die Gleichung

 

{\begin{array}{rcl} A \cdot X + 2B & = & 3C \\\\ A \cdot X + 2B - 2B & = & 3C - 2B \\\\ A \cdot X & = & 3C - 2B \\\\ A^{-1} \cdot A \cdot X & = & A^{-1}(3C - 2B) \\\\ X & = & A^{-1} \cdot (3C - 2B)  \\\\ X & = & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \left [ 3 \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) - 2 \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right ) \right ] \\\\ & = & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \left [ \left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0\\ 3 & 0 & 3 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right ) \right ] \\\\ & = & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{array} \right ) \end{array}}

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.