Kapitel
Wie berechnen wir die Fläche zwischen zwei Funktionen?
Die Fläche zwischen zwei Funktionen ist gleich der Fläche der oberen Funktion minus der Fläche der unteren Funktion.
Beispiel mit Lösung der Fläche zwischen zwei Funktionen
Berechne die durch den Graphen
und die Gerade
begrenzte Fläche.
Zunächst ermitteln wir die Schnittpunkte der beiden Funktionen, um die Integrationsgrenzen zu kennen.
Dazu lösen wir die folgende Gleichung
,
das heißt, wir setzen die Funktionen gleich.
Von 
bis 
verläuft die Gerade oberhalb der Parabel. Somit ist die Fläche gegeben durch:
Aufgaben zur Fläche zwischen zwei Funktionen
Berechne die durch die Parabel 
und die Gerade 
begrenzte Fläche
Wir beginnen mit der Ermittlung der Integrationsgrenzen durch Gleichsetzen der Funktionen:
Von 
bis 
vereläuft die Parabel oberhalb der Geraden.
Somit ist die Fläche gegeben durch:
Berechne die durch die Parabel 
und die Gerade 
begrenzte Fläche
Wir beginnen mit der Ermittlung der Integrationsgrenzen durch Gleichsetzen der Funktionen:
Von 
bis 
verläuft die Gerade oberhalb der Parabel.
Somit ist die Fläche gegeben durch:
Berechne die Fläche, die durch die Parabel und die Gerade 
begrenzt ist
Wir beginnen mit der Ermittlung der Integrationsgrenzen durch Gleichsetzen der Funktionen:
Von 
bis verläuft die Gerade oberhalb der Parabel.
Somit ist die Fläche gegeben durch:
Berechne die durch die Parabeln und 
begrenzte Fläche
Wir beginnen mit der Ermittlung der Integrationsgrenzen durch Gleichsetzen der Funktionen:
Von bis verläuft die Parabel 
oberhalb der Parabel 
.
Somit ist die Fläche gegeben durch:
Berechne die durch die Graphen 
und begrenzte Fläche
Wir beginnen mit der Ermittlung der Integrationsgrenzen durch Gleichsetzen der Funktionen:
Von bis 
verläuft die Parabel 
oberhalb der Geraden 
.
Somit ist die Fläche gegeben durch:
Berechne die durch die Parabel 
und die Gerade begrenzte Fläche
Wir beginnen mit der Ermittlung der Integrationsgrenzen durch Gleichsetzen der Funktionen:
Von bis verläuft die Parabel 
unterhalb der Geraden .
Somit ist die Fläche gegeben durch:
Berechne die durch die Parabel 
und die Gerade begrenzte Fläche
Wir beginnen mit der Ermittlung der Integrationsgrenzen durch Gleichsetzen der Funktionen:
Von bis 
verläuft die Parabel 
unterhalb der Geraden .
Somit ist die Fläche gegeben durch:
Berechne die Fläche, die durch die Graphen der Funktionen 
begrenzt ist.
Zunächst stellen wir die Parabeln ausgehend vom Scheitelpunkt und den Schnittpunkten mit den Achsen dar.
Wir ermitteln auch die Schnittpunkte der Funktionen, die uns die Integrationsgrenzen angeben.
Von bis verläuft die Parabel 
oberhalb der Parabel 
.
Somit ist die Fläche gegeben durch:
Ermittle die Fläche der Figur in der Ebene, die durch die Parabeln 
begrenzt ist.
Wir stellen die Parabeln ausgehend vom Scheitelpunkt und den Schnittpunkten mit den Achsen dar.
Wir ermitteln auch die Schnittpunkte der Funktionen, die uns die Integrationsgrenzen angeben.
Von bis befindet sich ein Teil der Fläche zwischen den Funktionen unterhalb der x-Achse.
Von bis berechnen wir die Fläche unterhalb der Parabel 
.
Von bis berechnen wir die Fläche unterhalb der Parabel .
Von bis haben wir einen Flächenüberschuss, der der Fläche unterhalb der Parabel 
entspricht.
Schließlich führen wir die entsprechenden Berechnungen durch.
Ermittle den Flächeninhalt des Bereichs, der durch die Funktionen 
begrenzt ist.
Zunächst ermitteln wir den Schnittpunkt der Funktionen:
Der Kosinusgraph liegt auf dem Integrationsintervall oberhalb des Sinusgraphs..
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