Flächen von Funktionen – Aufgaben mit Lösungen

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch den Graphen von und die -Achse begrenzt ist.

1 Zunächst ermitteln wir die Schnittpunkte mit der -Achse, um den Graphen darstellen zu können und die Integrationsgrenzen zu bestimmen.

1 Anschließend wird das Integral berechnet:

Berechne die Fläche der Ebene, die durch den Schnittpunkt des Graphen mit der -Achse und dem Punkt  auf der x-Achse begrenzt ist.

1 Als Erstes berechnen wir den Schnittpunkt mit der x-Achse.

2 Das Integral wird mit der partiellen Integration gelöst

Berechne die Fläche, die durch die Gerade , die -Achse und die Ordinaten und begrenzt ist.

Berechne die Fläche, die durch den Graphen und die x-Achse begrenzt ist.

1 Wir berechnen die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse

2 Wir stellen das Integral auf und lösen

Berechne die Fläche der Bereiche, die durch den Graphen f(x) = x³ − 6x² + 8x und die x-Achse begrenzt sind.

1 Wir berechnen die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse.

Berechne die Fläche des Kreises mit dem Radius

1 Wir gehen von der Kreisgleichung aus und bestimmen

2 Die Fläche des Kreises ist viermal so groß wie die Fläche des 1. Quadranten, so dass

3 Wir berechnen das unbestimmte Integral durch Substitution.

4 Wir bestimmen die neuen Integrationsgrenzen und substituieren

[

1 Wir gehen von der Ellipsengleichung aus

2 Da die Ellipse ein symmetrischer Graph ist, beträgt die geforderte Fläche das -fache der vom 1. Quadranten und den Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche.

3 Wir lösen das Integral mit der Substitution

4 Wir ermitteln die neuen Integrationsgrenzen und substituieren

Berechne die Fläche, die durch den Graphen und die Gerade begrenzt ist.

1 Zunächst bestimmen wir die Schnittpunkte der beiden Funktionen, um die Integrationsgrenzen zu ermitteln.

1 Von bis befindet sich die Gerade über der Parabel, sodass

Berechne die Fläche, die durch die Parabel und die Gerade begrenzt ist.

1 Wir berechnen die Schnittpunkte der Funktionen

2 Von bis bleibt die Parabel über der Geraden, sodass

Berechne die Fläche, die von den Graphen der Funktionen und begrenzt wird.

1 Zunächst stellen wir die Parabeln ausgehend vom Scheitelpunkt und den Schnittpunkten mit den Achsen dar.

2 Außerdem ermitteln wir die Schnittpunkte der Funktionen, die uns die Integrationsgrenzen angeben.

Berechne die Fläche, die durch die Parabeln , begrenzt wird.

1 Wir stellen die Parabeln ausgehend vom Scheitelpunkt und den Schnittpunkten mit den Achsen dar.

2 Wir betrachten die Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse, um die Gesamtfläche zu berechnen

1

Zunächst analysieren wir den Schnittpunkt der beiden Graphen. Man beachte, dass für die Punkte gilt
Dann ist die Funktion im vorgeschlagenen Intervall immer größer als oder gleich .
2

Nun berechnen wir das Integral von im Intervall, um die Fläche zu ermitteln:

1

Zunächst analysieren wir die Schnittpunkte dieser Graphen. Beachte, dass für die Punkte gilt

2

Nun berechnen wir das Integral von im Intervall, um die Fläche zu ermitteln:

1

Zunächst analysieren wir die Schnittpunkte dieser Graphen. Beachte, dabeachte, dass für die Punkte gilt
Einfach ausgedrückt, gilt für alle . Genauer gesagt, . Um die Fläche zu berechnen, müssen wir also das Integral an diesem Punkt abtrennen, an dem die Änderung der Hauptfunktion (diejenige mit dem größten Wert) zu finden ist.

2

Wie wir oben festgestellt haben, ist im Intervall , aber dann ist im Intervall . Die Fläche zwischen den Graphen ist also

1

Zunächst analysieren wir die Schnittpunkte dieser Graphen. Beachte, dass für die Punkte gilt
Wir beachten, dass bei gilt: .
2

Somit ist die Fläche unter dem Graphen das Integral von im Intervall plus das Integral von im Intervall :