Kapitel
Was ist ein Integral und wozu dient es?
Das Integral ist vor allem als Umkehrung der Ableitung bekannt, deren Hauptfunktion die Berechnung der Fläche unter einem Graphen ist, und steht in engem Zusammenhang mit dem Thema Infinitesimalrechnung.
Lustige Tatsache:
Ist dir schon einmal aufgefallen, dass wir beim Lösen eines Integrals immer einen konstanten Wert hinzufügen?
Zum Beispiel:
Wenn man darüber nachdenkt, macht das sehr viel Sinn, da die Ableitung einer beliebigen Konstanten 
ist. Dies bedeutet, dass wenn wir eine Konstante ableiten, diese verschwindet. Logisch ist also, dass wenn wir die umgekehrten Schritte auf die Ableitung anwenden, das heißt, wenn wir den Wert integrieren, wir als Ergebnis eine Konstante erhalten.
Über die Methoden zur Lösung von Integralen
Wie bei den Ableitungen gibt es auch bei den Integralen 2 allgemeine Vorgehensweisen:
1 Durch das Konzept des Grenzwerts
2 Durch Formeln für spezifische Fälle
Man könnte sagen, dass es für jeden Weg, eine Ableitung zu lösen, auch einen Weg gibt, ein Integral zu lösen.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion 
Ihre Ableitung ist 
und das Integral wäre 
Vorgeschlagene Aufgaben zur Integration
Integriere folgende Funktion:
Wir integrieren diese Funktion partiell.
Das heißt:
Wir entscheiden, welcher Teil der Funktion 
und welcher 
sein wird. Wir nehmen
und
Diese Werte setzen wir in die Formel der partiellen Integration ein und erhalten
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren diese Funktion partiell.
Das heißt:
Wir entscheiden, welcher Teil der Funktion und welcher sein wird. Wir nehmen
und
Diese Werte setzen wir in die Formel der partiellen Integration ein und erhalten
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren diese Funktion partiell.
Das heißt:
Wir entscheiden, welcher Teil der Funktion und welcher sein wird. Wir nehmen
und
Diese Werte setzen wir in die Formel der partiellen Integration ein und erhalten
Wir wenden wieder die partielle Integration an, um zu integrieren
in diesem Fall sind 
und
und
Zum Schluss wenden wir wieder die partielle Integration, um zu integrieren
in diesem Fall sind und
und
Wir setzen dies in unser 1. Integral ein und erhalten
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren diese Funktion partiell.
Das heißt:
Wir entscheiden, welcher Teil der Funktion und welcher sein wird. Wir nehmen
und
Wir setzen diese Werte in die Formel der partiellen Integration ein und erhalten
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren diese Funktion partiell.
Das heißt:
Wir entscheiden, welcher Teil der Funktion und welcher sein wird. Wir nehmen
und
Wir setzen diese Werte in die Formel der partiellen Integration ein und erhalten
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren diese Funktion partiell.
Das heißt:
Wir entscheiden, welcher Teil der Funktion und welcher sein wird. Wir nehmen
und
Wir setzen diese Werte in die Formel der partiellen Integration ein und erhalten
Wir wenden erneut die partielle Integration an, um zu integrieren
in diesem Fall sind und
und
Wenn wir all das in unser 1. Integral einsetzen, erscheint das Integral, das wir auf der rechten und linken Seite berechnen möchten, mit negativem Vorzeichen. Wir müssen also nur das Integral bestimmen, das wir ermitteln möchten
Integriere folgende Funktion
Um diese Funktion zu integrieren, müssen wir sie zunächst vereinfachen
Zur Vereinfachung auf einen leicht zu integrierenden Ausdruck wenden wir Partialbrüche an. Die Theorie der Partialbrüche wird nicht im Detail erklärt, aber es soll versucht werden, jeden Schritt genau zu beschreiben.
Da der Nenner ein Polynom der 1. Ordnung zur dritten Potenz ist, kann unser Ausdruck im Allgemeinen wie folgt geschrieben werden
Für bestimmte reelle Zahlen 
, 
und 
muss man, um die Werte dieser Unbekannten zu bestimmen, diese addieren und dann die Koeffizienten der Terme gleichen Grades gleichsetzen, d. h.
daraus folgt, dass
Die Zähler sind deshalb gleich
und die Koeffizienten der Terme gleichen Grades sind ebenfalls gleich. Das heißt
Die 1. Ungleichung ergibt direkt 
. Wir setzen den Wert für in die 2. Ungleichung ein und erhalten
Wir setzen den Wert für und 
in die 3. Ungleichung ein und erhalten
Unsere Funktion entspricht somit
Nun können wir mit der Integration fortfahren. Wir verwenden den Variablentausch wie folgt
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren mit der Methode des Variablentauschs. Wir nehmen
Wir stellen außerdem fest, dass 
. Somit können wir in das ursprüngliche Integral einsetzen
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren mit der Methode des Variablentauschs. Wir nehmen
Wir stellen außerdem fest, dass 
. Somit können wir in das ursprüngliche Integral einsetzen
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren mit der Methode des Variablentauschs. Wir nehmen
Wir stellen außerdem fest, dass . Somit können wir in das ursprüngliche Integral einsetzen
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren mit der Methode des Variablentauschs. Wir nehmen
Nun bestimmen wir die Differentiale
Somit können wir in das ursprüngliche Integral einsetzen
Wir wenden Partialbrüche an, um diesen Bruch zu vereinfachen und ihn als Summe von Brüchen auszudrücken, die leicht zu integrieren ist. Wir erhalten
Wir berechnen die letzte Summe und erhalten
Indem wir die Zähler gleichsetzen, erhalten wir 
, woraus direkt folgt, dass
Wir stellen fest, dass aus der 1. Ungleichung direkt folgt, dass 
und aus der 2. ergibt sich 
, weshalb
Und somit
Dies setzen wir in das Integral ein
Daraus folgt, dass wenn wir den Wert von durch 
ersetzen, also 
, Folgendes erhalten
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren mit der trigonometrischen Substitution und nehmen
Diese Werte setzen wir in das Integral ein
Wenn wir nun substituieren, nehmen wir 
und können so bestimmten
wir substituieren und erhalten
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren mit der Methode des Variablentauschs und nehmen
Wir setzen diese Werte in das Integral ein und erhalten
Nun können wir den Ausdruck innerhalb des Integrals mit der Partialbruchzerlegung vereinfachen. Wir erhalten
Dadurch erhalten wir folgendes Gleichungssystem
Daraus ergibt sich, dass 
, 
, 
, 
, 
und 
. Unser Ausdruck ist somit
Wir setzen in das ursprüngliche Integral ein und erhalten
Nun müssen wir den Ausdruck nur noch in Bezug auf schreiben. Wir nehmen 
und erhalten somit 
. Schließlich substituieren wir
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren mit der Methode des Variablentauschs und nehmen
Unser Variablentausch ist
Daraus ergibt sich, dass
Da wir im Integral 
haben, müssen wir diese Funktion in Bezug auf 
schreiben, um die Funktion in Bezug auf zu substituieren. Wir erinnern uns an folgende trigonomische Identität
und somit
Wir setzen in das ursprüngliche Integral ein und erhalten
Integriere folgende Funktion
Wir integrieren mit der Methode des Variablentauschs und nehmen
Aus dem Differential ergibt sich, dass 
. Wir setzen nun in unser ursprüngliches Integral ein und erhalten
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