Aufgaben zu Integralen 2

Um das Integral zu lösen, erhöhen wir den Nenner und vereinfachen die Potenzen. Dann wenden wir das unmittelbare Integral von Potenzen an, d. h. .

Wir beginnen mit der Trennung des Integrals und wenden die entsprechenden unmittelbaren Integrale an, d. h,
y .

Wir trennen das Integral in zwei Teile, wandeln die Wurzel in eine Potenz um und wenden schließlich das Integral einer Potenz an

Wir beginnen mit der Trennung des Integrals und der Vereinfachung der Ausdrücke und wenden schließlich das Integral einer Potenz an

Wir beginnen mit der Trennung des Integrals und wenden das unmittelbare Integral einer Potenz an

Wir trennen das Integral und vereinfachen die Ausdrücke

Um das folgende Integral zu lösen, substituieren wir

Um das folgende Integral zu lösen, substituieren wir

Wir faktorisieren den gemeinsamen Term und wenden an

Wir substituieren

Um das folgende Integral zu lösen, substituieren wir

Um das folgende Integral zu lösen, substituieren wir ,

Um das folgende Integral zu lösen, substituieren wir ,

Um das folgende Integral zu lösen, substituieren wir ,

Um das folgende Integral zu lösen, substituieren wir ,

Um das folgende Integral zu lösen, substituieren wir ,

Um das folgende Integral zu lösen, substituieren wir ,

Wir schreiben die Wurzel in ihrer Exponentialform und vereinfachen

Wir schreiben die Wurzel in ihrer Exponentialform und vereinfachen

Wir substituieren

Wir können den Ausdruck wie folgt vereinfachen und substituieren schließlich

Wir substituieren

Wir substituieren

Wir substituieren und wenden das unmittelbare Integral an: 

Wir wenden die Definition an und substituieren . Schließlich wenden wir das unmittelbare Integral an:

Wir wenden und an, vereinfachen, substituieren und wenden das unmittelbare Integral an:

Wir wenden die Definition an und substituieren . Schließlich wenden wir das unmittelbare Integral an:

Wir wenden die Definition an und substituieren . Schließlich wenden wir das unmittelbare Integral an:

Wir substituieren und wenden das unmittelbare Integral an:

Wir trennen das Integral und wenden die entsprechenden unmittelbaren Integrale an:

Wir trennen und vereinfachen das Integral, substituieren und wenden das unmittelbare Integral an:

Wir substituieren und wenden das unmittelbare Integral an:

Wir substituieren und wenden das unmittelbare Integral an:

Wir beginnen mit der Definition , substituieren und wenden das unmittelbare Integral an:

Um das folgende Integral zu lösen, faktorisieren wir den Exponenten und können so das unmittelbare Integral anwenden:

Wir substituieren und wenden das unmittelbare Integral an:

Wir substituieren und wenden das unmittelbare Integral an:

Um das folgende Integral zu lösen, beginnen wir mit der Definition , substituieren und wenden schließlich das unmittelbare Integral an

Um das Integral zu lösen, substituieren wir zunächst , um das unmittelbare Integral anzuwenden:

Um das Integral zu lösen, substituieren wir zunächst und wenden schließlich das umittelbare Integral an

Um das Integral zu lösen, substituieren wir zunächst und wenden schließlich das umittelbare Integral an

Um das folgende Integral zu lösen, trennen wir das Integral, substituieren entsprechend und , und wenden schließlich das unmittelbare Integral an

Um das folgende Integral zu lösen, vereinfachen wir zunächst den Ausdruck und wenden das unmittelbare Integral an:

Um das folgende Integral zu lösen, trennen wir zunächst das Integral und wenden die unmittelbaren Integrale an: y

Um das folgende Integral zu lösen, trennen wir zunächst das Integral und wenden die unmittelbaren Integrale an: y

Um das folgende Integral zu lösen, beginnen wir mit der Substitution und wenden das unmittelbare Integral an:

Um das folgende Integral zu lösen, beginnen wir mit der Substitution und wenden das unmittelbare Integral an:

Um das folgende Integral zu lösen, beginnen wir mit der Substitution und wenden das unmittelbare Integral an:

Um das Integral zu lösen, wenden wir an, trennen die Integrale, substituieren und wenden die unmittelbaren Integrale an: y

Um das Integral zu lösen, wenden wir und an

Wir trennen die Integrale und substituieren , und wenden das unmittelbare Integral an:

Wir schreiben das Integral wie folgt um: Wir substituieren und erhalten

Wir erweitern

Durch Rücksubstitution erhalten wir

Wir schreiben das Integral wie folgt um:

Wir substituieren , und erhalten

Wir substituieren erneut und erhalten

Wir schreiben das Integral wie folgt um:

Diese letzten Integrale sind gleich

Wir schreiben das Integral wie folgt um: Wir substituieren  und erhalten

Nun erweitern wir

Durch Rücksubstitution erhalten wir

Wir substituieren und und erhalten

Durch Rücksubstitution erhalten wir

Wir schreiben das Integral wie folgt um: Wir substituieren , und erhalten

Durch Rücksubstitution erhalten wir

Wir substituieren , und erhalten

Wir erweitern

Durch Rücksubstitution erhalten wir

Wir schreiben das Integral wie folgt um:

Wir substituieren , und erhalten

Wir substituieren erneut und erhalten

Wir nutzen die folgende trigonometrische Identität: Das Integral hat folgende Form

Da

lautet das Ergebnis

Wir schreiben das Integral wie folgt um:

Wir substituieren , und erhalten

Da

,

ist das ursprüngliche Integral gleich

Durch Rücksubstitution erhalten wir

Zunächst substituieren wir , , Wir integrieren partiell und erhalten

Da

somit

Durch Rücksubstitution erhalten wir

Wir schreiben den Integranden wie folgt um: , somit

Da

Das ursprüngliche Integral ist gleich

Wir schreiben den Integranden wie folgt um: , somit

Da

Das ursprüngliche Integral ist gleich

Wir wenden folgende trigonometrische Identität an: und schreiben das Integral um

Wir schreiben das Integral wie folgt um: Nun substituieren wir , und erhalten

Nun wenden wir das folgende trigonometrische Integral an

Durch Rücksubstitution erhalten wir

Wir erweitern den Integranden wie folgt: Somit

Da

Das ursprüngliche Integral lautet

Wir schreiben das Integral wie folgt um: Nun substituieren wir , und erhalten

Nun wenden wir das trigonometrische Integral an

Durch Rücksubstitution erhalten wir

Wir substituieren zunächst , , entonces Nun wenden wir das trigonometrische Integral mit und an. Wir erhalten

Durch Rücksubstitution erhalten wir

Wir substituieren zunächst , und erhalten Da

folgt daraus:

Durch Rücksubstitution erhalten wir

Gegeben ist Wir nehmen den folgenden Wert für die Konstante . Durch den Fundamentalsatz der Analysis erhalten wir

Wir integrieren in und erhalten

Wir werten für und erhalten

Gegeben ist Wir nehmen den folgenden Wert für die Konstante . Durch den Fundamentalsatz der Analysis erhalten wir

Wir integrieren in und erhalten

Schließlich werten wir für aus und erhalten

Wir wissen, dass die Punkt-Steigungsform einer Geraden wie folgt gegeben ist: wobei die Steigung der Geraden und der Schnittpunkt mit der -Achse ist. Auch die Ableitung der Funktion, die die Gerade darstellt, ist die Steigung der Geraden. Somit

Außerdem wissen wir, dass und somit

Bei diesem Problem müssen wir erneut den Fundamentalsatz der Analysis zur Lösung anwenden. Gegeben ist Wir nehmen den folgenden Wert für die Konstante . Durch den Fundamentalsatz der Analysis erhalten wir nun

Wir integrieren in und erhalten

Schließlich werten wir für auf. Der Graph von verläuft durch ,

Wir erinnern uns, dass die Ableitung die Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt darstellt, so dass wir eine Stammfunktion der Funktion finden müssen. Gegeben ist Das durch verlaufen muss, nehmen wir den folgenden Wert für die Konstante . Durch den Fundamentalsatz der Analysis erhalten wir nun

Wir integrieren in und erhalten

Schließlich werten wir für aus und erhalten

Die Antwort lautet

Gegeben ist Wir nehmen den folgenden Wert für die Konstante . Durch den Fundamentalsatz der Analysis erhalten wir nun

Wir integrieren in und erhalten

Schließlich werten wir für aus. Der Graph von verläuft durch ,

Die gesuchte Stammfunktion ist also wie folgt gegeben