Kapitel
Herleitung der Formel
Um ein Integral der Form
berechnen zu können, müssen wir beachten, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion wie folgt gegeben ist
Daher wird das Integral von 
wie folgt berechnet:
Somit kommen wir zu dem Schluss, dass die Integralformel für 
lautet:
Für den speziellen Fall, dass 
(Eulersche Zahl) ist, haben wir
Schließlich gilt für eine Funktion 
die folgende Substitutionsformel:
Und wenn die Basis 
ist, haben wir
Wir stellen fest, dass 
mit dem Differential multipliziert werden muss.
Beispiele
Berechne das folgende Integral
Wir stellen fest, dass die Basis der Exponentialfunktion ist. Somit müssen wir 
berechnen. Da 
, müssen wir das Differential mit 2 multiplizieren:
Damit können wir bereits das Integral berechnen:
Berechne das folgende Integral
Wir stellen fest, dass die Basis 5 ist. Außerdem ist das Argument der Exponentialfunktion ganz einfach 
. Somit können wir die Formel direkt mit 
anwenden:
Berechne das folgende Integral des Produkts der Exponentialfunktionen:
Wir beachten, dass 
da sie denselben Exponenten haben. Das Integral wird also wie folgt berechnet
Es ist wichtig zu beachten, dass man zwar mithilfe der Methode der partiellen Integration zum gleichen Ergebnis gelangen könnte, das Verfahren jedoch mühsamer wäre.
Berechne das folgende Integral
Wir stellen fest, dass 
und 
. Somit müssen wir 
nehmen. Wir multiplizieren also das Differential mit 3 (gleichzeitig muss durch 3 geteilt werden, damit die Funktion dieselbe bleibt):
Das Integral lautet also
Berechne das folgende Integral
Es gibt zwei Möglichkeiten, diese Integralrechnung zu lösen. Am einfachsten ist es, 
zu nehmen:
Die Definitionsmenge von 
ist 
. Die Lösung ist daher ebenfalls auf diese Definitionsmenge beschränkt.
Da wir jedoch die Formel der Integralexponentialfunktion verwenden, können wir diese auch anwenden und sollten zum gleichen Ergebnis kommen. In diesem Fall beachten wir, dass 
. Und somit ist 
(was bereits mit dem Differential multipliziert wird), das heißt,
Und somit
Aber da , haben wir
,
da .
Berechne das folgende Integral
Wir stellen fest, dass 
. Somit
,
was bereits mit dem Differential multipliziert ist. Daher
Berechne das folgende Integral
Wir stellen fest, dass 
. Daher ist dieses Integral recht einfach, wenn wir uns daran erinnern, dass
Das Integral lautet also
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