Kapitel
Rückblick
Anmerkung: Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl, aber nicht jede komplexe Zahl ist eine reelle Zahl.
Formeln für das Rechnen mit komplexen Zahlen:
Addition
Die reellen und imaginären Teile werden einerseits miteinander verbunden und addiert, andererseits die imaginären Teile.
Multiplikation
Erfolgt auf die gleiche Weise wie das Produkt aus 2 Binomen, unter Verwendung der Distributivität, wobei zu beachten ist, dass 
Division
Arithmetik der komplexen Zahlen
Führe folgende Berechnungen durch:
1
Zunächst erhöhen wir den Zähler auf die dritte Potenz.
Wir berechnen den Quotienten
2
Wir wandeln die Zahl 
in die Polarform um
Schließlich berechnen wir die Potenz von 
Wenn wir das Argument auf einen Winkel zwischen 
und 
festlegen, erhalten wir
3
Wir wandeln die Zahl 
in die Polarform um
Schließlich berechnen wir die Potenz von
4
Wir wandeln den Zähler innerhalb der Wurzel in die Polarform um
Nun wandeln wir den Nenner in die Polarform um
Wir berechnen den Quotienten
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las raíces terceras constan entonces de los números
Löse 
und drücke in Polarform aus
Wir wandeln die Zahl 
in die Polarform um
Somit
Um die Wurzeln zu berechnen, benötigen wir den Betrag und die Argumente
Die 5 fünften Wurzeln bestehen dann aus den Zahlen
Berechne die folgende Rechenoperation und gib das Ergebnis in Polarform an.
Wir entfernen die Klammern, um die Operationen im Zähler und Nenner durchführen zu können.
Wir multiplizieren den Zähler und den Nenner mit der Konjugierten des Letzteren
Somit
Für die Polarform ermitteln wir den Betrag und das Argument
Und somit
Berechne den Wert des Quotienten. Berechne die Kubikwurzeln und drücke sie in polarer, trigonometrischer und binomischer Form aus.
1Berechnung des Quotienten
Wir ändern den negativen Exponenten und berechnen
Wir beachten, dass 
und erhalten
Somit
2In Polarform umwandeln
Um die Wurzeln von 
zu erhalten, müssen wir in die Polarform umandeln. Hierzu benötigen wir den Betrag und das Argument
Und somit
3Berechnung der dritten Wurzeln
Wir berechnen den Betrag und das Argument der Wurzeln
Die 3 Kubikwurzeln bestehen dann aus den Zahlen
4Wurzeln in trigonometrischer und binomischer Form
Wurzeln einer Gleichung
Berechne die Wurzeln der folgenden Gleichung: 
Wir bestimmen
Wir ändern die Zahl innerhalb der Wurzel in die Polarform, in diesem Fall -1.
Wir berechnen den Betrag und das Argument der Wurzeln
Die Wurzeln der Gleichung sind dann die Zahlen mit dem Betrag 1 und mit den oben genannten Argumenten, d. h,
Berechne alle Wurzeln der Gleichung:
Wir bestimmen
Wir ändern die Zahl innerhalb der Wurzel in die Polarform
Wir berechnen den Betrag und das Argument der Wurzeln
Die fünften Wurzeln bestehen dann aus den Zahlen
Schreibe eine quadratische Gleichung mit den Lösungen 
und ihrer Konjugierten.
Gegeben ist eine komplexe Zahl und die Konjugierte
Wir können eine Gleichung zweiten Grades ermitteln, deren Lösungen diese Zahlen sind. Diese Gleichung wird wie folgt ausgedrückt
ist die Summe der Wurzeln und 
das Produkt. In diesem Fall
Die gesuchte Gleichung lautet also
Konjugiertes einer komplexen Zahl, Polarform und trigonometrische Form
Schreibe in polarer und trigonometrischer Form die Konjugierten und Gegenzahlen von:
1
Wir berechnen den Betrag und das Argument der Wurzeln
Dann wird in polarer und trigonometrischer Form zu
Die Konjugierte
Die Gegenzahl
2 
Wir berechnen den Betrag und das Argument der Wurzeln
Dann wird in polarer und trigonometrischer Form zu
Die Konjugierte
Die Gegenzahl
Satz von de Moivre und Binomischer Lehrsatz
Drücke in Polar- und Binomialform eine komplexe Zahl aus, die hoch 3 wie folgt ist:
Wir wandeln in Polarform um
Gesucht ist eine Zahl , deren Kubikzahl die obige Zahl ergibt
Wir berechnen den Betrag und das Argument der Wurzeln
Die 3 Kubikwurzeln bestehen dann aus den Zahlen
Umgerechnet in die trigonometrische und binomische Form erhält man
Gib in Funktion von cos α und sin α an:
1 Binomischer Lehrsatz:
Wir wenden den Binomischen Lehrsatz an
Wir berechnen
Wir teilen den Realteil und den Imaginärteil
2 Satz von de Moivre:
Andererseits wissen wir, dass
Unter Verwendung des Ergebnisses, das wir mit dem Binomischen Lehrsatz erzielt haben, setzen wir die Realteile gleich und erhalten
Wir setzen die Imaginärteile gleich und erhalten
Drücke in Funktion von 
und 
aus:
1 Binomischer Lehrsatz:
Wir wenden den Binomischen Lehrsatz an
Wir berechnen
Wir teilen den Realteil und den Imaginärteil
2 Satz von de Moivre:
Andererseits wissen wir, dass
Unter Verwendung des Ergebnisses, das wir mit dem Binomischen Lehrsatz erzielt haben, setzen wir die Realteile gleich und erhalten
Wir setzen die Imaginärteile gleich und erhalten
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