1

Berechne , so dass die komplexe Zahl, die wir durch die folgende Division erhalten, auf der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten dargestellt wird

Lösung

1 Damit sich der Koeffizient der komplexen Zahl im 1. Quadranten befindet, muss gelten: . Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit der Konjugierten des Nenners, um den Quotienten zu berechnen

2 Wir schreiben den Realteil und den Imaginärteil und denken dabei daran, dass

3 Wir setzen die beiden Teile gleich, da ihr Nenner gleich ist und somit auch ihr Zähler

Somit ist der gesuchte Wert

2

Ermittle den Wert von , so dass der Quotient eine rein imaginäre Zahl und eine reelle Zahl ist

Lösung

1 Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit der Konjugierten des Nenners, um den Quotienten zu berechnen

2 Wir schreiben den Realteil und den Imaginärteil und denken dabei daran, dass

3 Um eine rein imaginäre Zahl zu erhalten, muss der Realteil gleich 0 sein

Damit die Zahl eine rein imaginäre Zahl ist, muss sein

4 Um eine reelle Zahl zu erhalten, muss der Imaginärteil 0 sein

Damit also die Zahl eine reelle Zahl ist, muss sein

3

Wir nehmen die komplexe Zahl , die Zeiger der Uhr werden um um den Koordiantenursprung gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Berechne die komplexe Zahl, die man nach der Umdrehung erhält.

Lösung

1 Wir schreiben eine Zahl in Polarform

entonces

2 Wir multiplizieren mit einer komplexen Zahl vom Betrag 1 und Argument

Die gesuchte Zahl ist

4

Ermittle die Koordinaten der Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, wobei zu beachten ist, dass einer der Eckpunkte der Koeffizient der komplexen Zahl ist.

Lösung

1 Die Eckpunkte sind die Koeffizienten der 6. Wurzel einer anderen komplexen Zahl

2 Wir berechnen die 6. Wurzeln

3 Wir berechnen die Werte für

4 Die gesuchten Koordinaten sind

5

Ermittle den Wert von und , so dass der Quotient gleich ist

Lösung

1 Wir drücken als komplexe Zahl aus

2 Wir setzen den Quotienten mit dem vorherigen Ausdruck gleich, multiplizieren beide Seiten mit und lösen

3 Wir setzen den Imaginärteil beider Seiten gleich und erhalten

4 Wir setzen den Realteil beider Seiten gleich und erhalten

6

Wie lauten die Koordinaten des Punktes, den man erhält, wenn man den Koeffizienten der komplexen Zahl gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung dreht?

Lösung

1 Wir wissen, dass

2 Wir multiplizieren mit der komplexen Zahl vom Betrag 1 und Argument

Die gesuchten Koordinaten sind

7

Ermittle die Koordinaten der Eckpunkte eines Quadrats, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, wobei einer der Eckpunkte der Punkt ist.

Lösung

1 Wir schreiben in Polarform

2 Die Eckpunkte sind die Koeffizienten der 4. Wurzeln einer anderen komplexen Zahl

3 Wir berechnen die 4. Wurzeln

4 Wir berechnen die Werte für

5 Die gesuchten Koordinaten sind

8

Die Summe der Realteile zweier konjugierter komplexer Zahlen ist 6, und die Summe ihrer Beträge ist 10. Ermittle diese komplexen Zahlen in Binom- und Polarform.

Lösung

1 Wir schreiben die komplexe Zahl in Polarform

2 Wir schreiben ihre konjugierte Zahl in Polarform

3 Die Summe der Realteile ist 6. Daraus erhalten wir

4 Die Summe der Beträge ist 10. Daraus erhalten wir

5 Aus dem Ausdruck des Betrags ergibt sich

5 Wir berechnen das Argument

Somit lauten die komplexen Zahlen

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Katrin S.

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.