Aufgaben mit Lösungen
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten 
und 
.
Zuerst berechnen wir die Vektoren der beiden Seiten
.
.
Wir berechnen das Vektorprodukt von 
und 
.
Wir berechnen die Größe von 
.
Der gesuchte Flächeninhalt ist
.
Berechne das Volumen des Tetraeders mit den Eckpunkten 
und 
.
Das Tetraeder wird durch die folgenden Vektoren gebildet
Wir wenden die Formel für die Berechnung des Volumens an
Wir berechnen zunächst das gemischte Produkt
Das Volumen ist
Berechne den Abstand zwischen den folgenden Geraden: 
y
Für die Gerade 
bestimmen wir wie folgt
Für die Gerade 
bestimmen wir wie folgt
Wir berechnen den Vektor 
Wir berechnen das Volumen des Parallelepipeds
Wir berechnen die Fläche der Basis des Parallelepipeds. Hierfür benötigen wir das Vektorprodukt der Richtungsvektoren
Der Flächeninhalt ist
Der Abstand ist gegeben durch
Berechne den Symmetriepunkt des Punktes 
in Bezug auf die Ebene 
.
Zunächst berechnen wir , die die Gerade ist, die durch 
verläuft und senkrecht zu 
steht.
Wir ermitteln den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene 
Wir lösen und erhalten den Punkt 
.
Wenn wir die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments kennen, können wir den Endpunkt 
. 
bestimmen und somit
Berechne die Fläche des Dreiecks, dessen Eckpunkte die Schnittpunkte der Ebene 
mit den Koordinatenachsen sind.
Zunächst berechnen wir die Eckpunkte des Dreiecks unter Berücksichtigung der Ebene und ihres Schnittpunkts mit den Koordinatenachsen.
Also sind die Eckpunkte 
und 
.
Nun berechnen wir, ähnlich wie in der ersten Aufgabe, die Vektoren der beiden Seiten
.
.
Wir berechnen das Vektorprodukt von und
Wir berechnen die Größe von
Somit lautet die gesuchte Fläche
Gegeben ist die Ebene mit der Gleichung 
und der Punkt 
. Berechne die Koordinaten des Fußpunkts der von auf diese Ebene gezogenen Senkrechten (d. h. die orthogonale Abbildung von darauf).
Wir suchen die Gerade senkrecht zu , die durch verläuft.
Der Normalenvektor der Ebene ist parallel zu dieser Geraden. Deshalb nehmen wir ihn als Richtungsvektor:
Nun suchen wir den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene, indem wir die parametrischen Gleichungen der Geraden in die Gleichung der Ebene einsetzen:
Wir setzen in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Punktes zu erhalten, und erhalten 
Bestimme die Gleichung der Ebene , die einen Abstand von 
vom Ursprung hat und parallel zu der Ebene ist, deren Gleichung 
lautet.
Da sie parallel zur Ebene ist, hat diese die Form
Außerdem liegt sie dista 
Einheiten von Ursprung entfertn und somit 
Daraus folgt, dass 
. Wir haben also zwei mögliche Ebenen 
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt 
und der Geraden im ersten Oktanten.
Der erste Oktant ist der Bereich, der im positiven Bereich der Achsen liegt; daher verläuft die Diagonale dieses Oktanten durch den Ursprung, d. h. den Punkt 
, und hat den Richtungsvektor 
.
Wir wenden an: 
mit 
. Also
Wir berechnen die Größe von 
y
Und somit
Mit KI zusammenfassen:
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