Kapitel
Wir erklären, was der unbestimmte Ausdruck "0 mal unendlich" ist und wie diese Art der Unbestimmtheit mit anderen unbestimmten Ausdrücken gleichzusetzen ist.
sowie 
und 
. Unsere Funktion, ausgewertet für 
, wäre also
In diesem Fall sagen wir, dass die Funktion bei unbestimmt ist, da es nicht möglich ist, 
einen beliebigen Wert zuzuordnen. Wir können jedoch eine der folgenden Methoden anwenden, um den Grenzwert der Funktion bei zu finden – beachet, dass der Grenzwert bei nicht mit dem Wert von identisch ist. – :
Der unbestimmte Ausdruck 0 mal unendlich lässt sich am besten vermeiden, indem man ihn in einen unbestimmten Ausdruck der Form unendlich geteilt durch unendlich oder 0 geteilt durch 0 umwandelt.
Unbestimmten Ausdruck in unendlich geteilt durch unendlich umwandeln
Wenn 
gegen 
konvergiert, wenn 
gegen konvergiert, gilt, dass 
gegen 
konvergiert, wenn gegen konvergiert. Als Gleichungen geschrieben:
.
So können wir die ursprüngliche Funktion 
wie folgt schreiben:
,
Wir berechnen den Grenzwert und erhalten
Nachdem der unbestimmte Ausdruck in umgewandelt wurde, können wir wie im Artikel unendlich geteilt durch unendlich beschrieben vorgehen
Beispiele:
1. 
In diesem Beispiel haben wir die Funktion
.
Wir möchten den Grenzwert 
berechnen. Wir stellen fest, dass 
und 
. Somit haben wir 
Da ein Exponentialausdruck viel schneller wächst als ein Polynom, bedeutet dies, dass 
2. 
In diesem Beispiel haben wir die Funktion
.
Wir möchten den Grenzwert 
berechnen. Wir analysieren den Nenner der Funktion und stellen fest, dass 
. Also können wir die Funktion wie folgt schreiben:
.
Wir stellen fest, dass 
und 
. Somit erhalten wir 
Somit wäre gleich 
Wir berechnen den Grenzwert und erhalten 
Unbestimmten Ausdruck 0 geteilt durch 0 umwandeln
Wenn 
gegen konvergiert, wenn gegen konvergiert, konvergiert 
gegen 0, wenn gegen konvergiert. Wir schreiben die Gleichungen wie folgt:
.
Somit können wir die ursprüngliche Funktion wie folgt schreiben:
,
Wir berechnen den Grenzwert und erhalten 
Sobald wir den unbestimmten Ausdruck umgewandelt haben , können wir wie im Artikel 0 geteilt durch 0 vorgehen
Beispiele:
1. 
In diesem Beispiel haben wir die Funktion
.
Wir möchten den Grenzwert 
berechnen. Wir stellen fest, dass 
und 
. So können wir wie folgt schreiben:
Wir erhalten den unbestimmten Ausdruck 0 geteilt durch 0. Um dies zu lösen, wenden wir die Regel von de L’Hospital an und erhalten 
2. 
In diesem Beispiel haben wir die Funktion
.
Wir möchten den Grenzwert 
berechnen. Wir analysieren den Nenner der Funktion und können sehen, dass 
. Somit können wir wie folgt schreiben
.
Wir stellen fest, dass 
und 
. Also wäre gleich 
Wir berechnen den Grenzwert und erhalten 
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
