Formel für die partielle Integration
Einleitung
Im Gegensatz zu den Ableitungen gibt es keine Formel für die Integration eines Produkts von Funktionen.
Das, was einer Regel für die Integration des Produkts von Funktionen am nächsten kommt, ist die partielle Integration. Interessanterweise basiert sie auf der Formel für die Ableitung eines Produkts von Funktionen.
Bei der partiellen Integration wird jedoch ein Integral eines Produkts in ein anderes Integral umgewandelt. Diese Formel funktioniert nicht für die Integration aller Produkte von Funktionen.
Die Formel für die partielle Integration lautet
Man beachte, dass wir 
ableiten und 
integrieren müssen. Daher ist es praktisch, dass das Integral von vereinfacht ist.
Im Allgemeinen werden Polynom-, Logarithmus- und Arkustangensfunktionen als gewählt. Exponential-, Sinus- und Kosinusfunktionen werden als gewählt.
Herleitung der Formel
Angenommen, wir haben die Funktionen 
und 
. Dann ist ihre Ableitung gegeben durch
Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren, erhalten wir
Wenn wir 
auf die linke Seite bringen, erhalten wir
,
was die gesuchte Formel ist.
Aufgaben
Wir haben ein Produkt aus der Funktion 
und 
. Wie oben erwähnt, werden in solchen Fällen 
und 
gewählt.
Wir leiten ab:
Wir integrieren 
:
Das Integral lautet also wie folgt
Somit
Wir haben ein Produkt aus der Funktion 
und . In diesem Fall wählen wir und 
.
Wir leiten ab:
Wir integrieren :
Das Integral lautet also wie folgt
Somit
Wir haben ein Produkt aus der Funktion 
und 
. Im Allgemeinen wird bei beiden Funktionen gewählt; In diesem Fall hat jedoch der Logarithmus Vorrang und wir wählen 
und 
.
Wir leiten ab (deshalb wählen wir den Logarithmus):
Wir integrieren :
Das Integral lautet also wie folgt
Somit
Wir haben ein Produkt aus der Funktion und 
. In diesem Fall wählen wir wieder y 
(die Logarithmusfunktion wird immer als gewählt).
Wir leiten ab:
Wir integrieren :
Das Integral lautet also wie folgt
Somit
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