Kapitel
Fall 1: Fläche zwischen einer positiven Funktion und der x-Achse
Wenn die Funktion auf einem Intervall 
positiv ist, dann liegt der Graph der Funktion über der x-Achse. Der Flächeninhalt der Funktion ist gegeben durch:
Um die Fläche zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:
1 Wir berechnen die Schnittpunkte mit der 
-Achse, indem wir 
setzen und lösen die Gleichung.
2 Die Fläche ist gleich dem la bestimmten Integral der Funktion, deren Integrationsgrenzen die Schnittpunkte sind.
Beispiel
1 Berechne den Flächeninhalt des Abschnitts, der durch den Graphen 
und die -Achse definiert ist.
Zunächst ermitteln wir die Schnittpunkte mit der -Achse, um den Graphen darzustellen und die Integrationsgrenzen zu bestimmen.
Da die Parabel symmetrisch zur 
-Achse ist, entspricht die Fläche gleich dem Doppelten der Fläche zwischen 
und 
.
2 Berechne die durch den Graphen 
, die -Achse und folgende Geraden begrenzte Fläche: 
, 
.
3 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten 
.
Gleichung der Gerade, die durch 
verläuft:
Gleichung der Geraden, die durch 
verläuft:
Fall 2: Fläche zwischen einer negativen Funktion und der x-Achse
Wenn die Funktion auf dem Intervall negativ ist befindet sich der Graph der Funktin unterhalb der x-Achse. Der Flächeninhalt der Funktion ist gegeben durch:
Beispiele
1 Berechne die Fläche zwischen dem Graphen 
und der -Achse.
2 Berechne die Fläche zwischen dem Graphen el área limitada por la curva 
und der -Achse im Bereich von 
und 
.
Fall 3: Die Funktion nimmt positive und negative Werte an
In diesem Fall befindet sich der Bereich oberhalb und unterhalb der x-Achse. Um die Fläche der Funktion zu berechnen gehen wir wie folgt vor:
1 Wir berechnen die Schnittpunkte mit der -Achse, indem wir 
setzen und die Gleichung lösen.
2 Wir orden die Nullstellen von klein nach groß und erhalten somit unsere Integrationsgrenzen.
3 Der Flächeninhalt ist gleich der la Summe der bestimmten Integrale im Betrag jedes Intervalls.
Beispiele
1 Berechne die Fläche zwischen der Geraden 
, der x-Achse und den entsprechenden Ordinaten zu 
und 
.
2 Berechne den Flächeninhalt des Bereichs der Ebene, der durch den Kreis 
begrenzt wird..
Die Fläche des Kreises ist das Vierfache der Fläche, die vom ersten 1. Quadranten und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird.
Bestimme die neuen Integrationsgrenzen.
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