Kapitel
Rationale Zahlen
Rationale Zahlen sind Zahlen, die durch den Quotienten zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können, oder genauer gesagt, die als Quotient einer ganzen Zahl und einer positiven natürlichen Zahl dargestellt werden können. Das heißt, wir können sie als 
mit 
ganzen Zahlen schreiben und 
.
Irrationale Zahlen
Eine Zahl ist irrational, wenn sie unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen hat und daher nicht als Bruch mit ganzen Zahlen ausgedrückt werden kann und .
Reelle Zahlen
Die Menge der rationalen und irrationalen Zahlen ist die Menge der reellen Zahlen und wird mit 
angegeben.
Es gibt zum Beispiel Rechenoperationen, die in der Menge der reellen Zahlen nicht möglich sind. Zum Beispiel:
- Wurzelziehen mit geradem Wurzelexponenten und negativem Radikanden. In diesem Fall gibt es keine Lösung in der Menge der reellen Zahlen
- Division durch 0. Wenn der Divisor 0 ist, ist das Ergebnis unbestimmt.
Intervalle
Intervalle werden durch zwei Zahlen bestimmt, die als Extremwerte bezeichnet werden. In einem Intervall gibt es alle Zahlen, die zwischen den beiden liegen, und auch die Extremwerte können enthalten sein.
Es gibt verschiedene Arten von Intervallen:
1 Offenes Intervall: Menge aller reellen Zahlen, die größer als a und kleiner als b sind
2 Abgeschlossenes Intervall: este incluye los extremos del intervalo y los valores entre ellos, se expresa
3 Halboffenes Intervall: In halboffenen Intervallen wird nur ein Extremwert einbezogen und der andere ausgeschlossen. Wir haben
- Linksoffenes Intervall
- Rechtsoffenes Intervall
4 Unendliche Intervalle:
- wenn
,
- wenn
,
- wenn
,
- wenn
,
Eigenschaften
Wenn 
und 
reelle Zahlen sind
,
,
.
Wir können den Betrag mit Begriffen wie dem Abstand zwischen zwei Punkten auf der Zahlengerade verknüpfen. In diesem Fall wäre der Abstand zwischen zwei reellen Zahlen und , angegeben mit 
,
Umgebungen
Das offene Intervall 
wird als Umgebung mit dem Zentrum Se llama entorno de centro und dem Radius 
bezeichnet. Sie wird mit 
oder 
angegeben. Das heißt 
.
Es gibt verschiedene Umgebungen
1 Seitliche Umgebungen:
- auf der linken Seite
- auf der rechten Seite
2 Eingeschränkte Umgebung: Sie wird verwendet, wenn man wissen möchte, was in der Nähe des Punktes passiert, ohne sich dafür zu interessieren, was am Punkt selbst passiert
Potenzen
Eine Potenz ist ein Ausdruck der Form 
, wobei die Basis und 
der Exponent ist.
Ganzzahliger Exponent
Wenn der Exponent eine natürliche Zahl ist, gibt dies an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Zum Beispiel
Wenn eine positive ganze Zahl ist,
Rationaler Exponent
Wenn der Exponent rational ist, gilt
Eigenschaften
Wurzeln
Eine Wurzel ist ein Ausdruck der Form 
, wobei 
und 
. Außerdem ist der Radikand und der Wurzelexponent. Damit die Rechenoperation in den reellen Zahlen gültig ist, wenn negativ ist, muss ungerade sein.
Äquivalente Wurzeln
Beachte, dass eine Potenz mit einem rationalen Exponenten mit einer Wurzel gleichzusetzen ist. Unter Berücksichtigung dieser Tatsache und der Eigenschaft von Brüchen, die besagt, dass der Bruch äquivalent ist, wenn man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert, ergibt sich Folgendes
mit 
und
Multipliziert oder dividiert man den Wurzelexponenten und den Exponenten des Radikanden durch dieselbe natürliche Zahl, so erhält man eine weitere äquivalente Wurzel.
Vereinfachung von Wurzeln
Wenn es eine natürliche Zahl gibt, die den Wurzelexponenten und den Exponenten des Radikanden teilt, erhält man eine vereinfachte Wurzel.
Wurzeln gleichnamig machen
1Wir ermitteln das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzelexponenten. Dies ist dann unser Wurzelexponent
2Wir dividieren den gemeinsamen Wurzelexponenten durch jeden der Wurzelexponenten. Jedes Ergebnis multiplizieren wir dann mit dem entprechenden Exponenten.
Faktoren außerhalb der Wurzel
Zunächst wird der Radikand in Faktoren zerlegt und wenn:
1 Ein Exponent kleiner als der Wurzelexponent ist: Der entsprechende Faktor bleibt im Radikanden.
2 Ein Exponent gleich dem Wurzelexponenten ist: Der entsprechende Faktor verlässt den Radikanden.
3 Ein Exponent größer als der Wurzelexponent ist: Dieser Exponent wird durch den Wurzelexponenten dividiert. Der erhaltene Quotient ist der Exponent des Faktors außerhalb des Radikanden und der Rest ist der Exponent des Faktors innerhalb des Radikanden.
Faktoren unter die Wurzel bringen
Um Faktoren unter eine Wurzel zu bringen, werden die Faktoren auf den Wurzelexponenten der Wurzel angehoben
Rechnen mit Wurzeln
1 Addition: Zwei Wurzeln können nur dann addiert (oder subtrahiert) werden, wenn es sich um ähnliche Wurzeln handelt, d. h. wenn es sich um Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten und demselben Radikanden handelt.
2 Multiplikation:
- Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten: zur Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten multipliziert man die Radikanden und lässt den Wurzelexponenten unverändert
- Wurzeln mit unterschiedlichem Wurzelexponenten: Zunächst werden sie auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten gebracht und dann multipliziert.
3 Division:
- Wurzeln gleichem Wurzelexponenten: Um Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten zu dividieren, dividiert man die Radikanden und lässt den Wurzelexponenten gleich.
- Wurzeln mit unterschiedlichem Wurzelexponenten: Zunächst werden sie auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten gebracht und dann dividiert.
4 Potenzen: Um eine Wurzel auf eine Potenz zu erhöhen, wird der Radikand auf diese Potenz erhöht und der Wurzelexponent bleibt gleich
4 Wurzelziehen: Die Wurzel Wurzel ist eine andere Wurzel mit gleichem Radikanden, deren Wurzelexponent das Produkt der beiden Wurzelexponenten ist
Rationalisieren
Hierbei werden die Wurzeln aus dem Nenner entfernt, was die Berechnung von Rechenoperationen wie der Addition von Brüchen erleichtert.
Wir können drei Fälle unterscheiden:
1Rationalisieren vom Typ 
;
Der Zähler und der Nenner werden mit 
multipliziert
2 Rationalisieren vom Typ 
Der Zähler und der Nenner werden mit 
multipliziert
3Rationalisieren vom Typ 
und ganz allgemein, wenn der Nenner ein Binom mit mindestens einer Wurzel ist. Der Zähler und der Nenner werden mit dem konjugierten Wert des Nenners multipliziert.
Logarithmen
Der Logarithmus einer Zahl zu einer bestimmten Basis ist der Exponent, auf den die Basis erhöht werden muss, um die Zahl zu erhalten
,
wobei die Basis, 
die Zahl, 
der Logarithmus ist.
Aus der Definition des Logarithmus können wir ableiten:
- Es gibt keinen Logarithmus einer Zahl mit einer negativen Basis.
- Den Logarithmus einer negativen Zahl gibt es nicht.
- Es gibt keinen Logarithmus von 0
- Der Logarithmus von 1 ist 0
- Der Logarithmus zur Basis von ist 1
- Der Logarithmus zur Basis einer Potenz zur Basis ist gleich dem Exponenten
Eigenschaften von Logarithmen
Eigenschaften
1 Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren:
2 Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich dem Logarithmus des Dividenden minus dem Logarithmus des Divisors:
3 Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis:
4 Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Quotienten aus dem Logarithmus des Radikanden und dem Wurzelexponenten:
5 Änderung der Basis:
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