Manche Menschen sagen vielleicht, dass Geometrie keinen attraktives Thema ist. Im Allgemeinen ist es weniger aufregend oder unterhaltsam, Winkel, Volumen und Flächen zu berechnen.
Könnte das Gegenteil jedoch wahr sein?
Hier findest du eine Einführung in die Geometrie.
In den letzten zehn Jahren hat sich die Mathematik zusehends mehr in Film und Fernsehen eingeschlichen: Sendungen wie The Big Bang Theory sind ein wunderbares Beispiel dafür. Zugegebenermaßen sind Gleichungen kein zentraler Bestandteil der Geschichte und nur die erste paar Folgen waren wirklich sehr Mathe-lastig. Später tauchte Algebra nur hier und da mal wieder auf.
Nichtsdestoweniger ist es schön zu sehen, dass komplexe Berechnungen für die breite Masse zugänglich gemacht werden und dass sowohl männliche als auch weibliche Charaktere mit den Gleichungen herumspielen. Es ist erst 20 Jahre her, dass der Mathematiker im Kino oder Fernsehen immer männlich war.
Jetzt bist du dran, grundlegende geometrische Gleichungen zu beherrschen und dazu möchtest du den effizientesten Weg kennen. Oder vielleicht bist du auch ein Fan von Descartes und möchtest die analytische Geometrie weiterentwickeln, wofür du zunächst eine solide Grundlage brauchst.
Hier kannst du mehr zur Entwicklung der Disziplin erfahren.
Die grundlegenden Formen
Man kann dabei leicht an den Kreis, das Dreieck und das Quadrat denken und läge damit richtig.
Jede dieser geometrischen Formen ist einer der folgenden Kategorien zuzuordnen:
- Dreieckehaben drei Seiten, die gleich lang (gleichseitiges Dreieck) oder unterschiedlich lang (unregelmäßiges Dreieck) sein können.
- Ein Viereck ist ein vierseitiges Vieleck. Dazu gehören Rechtecke, Quadrate, Rauten, Trapeze, etc.
- das Parallelogramm hat zwei Seiten, die gleich lang sind und gehört auch zu den Vierecken.
- Vielecke: wie der Name schon sagt, umfasst diese Kategorie viele verschiedene Formen, dazu zählen, Dreiecke, Vierecke, Fünfecke, Sechsecke etc. Jede Form, die gerade Seiten hat, kann als Vieleck bezeichnet werden.
- Kreise sind eine Klasse für sich, da sie keine geraden Seiten haben.
Die individuellen Eigenschaften dieser Formen sind:
- Quadrate haben vier Seiten, die gleich lang sind
- Rechtecke haben vier Seiten, jeweils die gegenüberliegenden sind gleich lang
- Ein Trapez hat nur ein Paar paralleler Seiten
- Rauten: die gegenüberliegenden Seiten und Winkel sind gleich lang/groß
- Das gleichschenklige Dreieck hat zwei Seiten, die gleich lang sind
- Rechtwinklige Dreiecke haben einen 90-Grad-Winkel gegenüber der Hypotenuse.
Zu jeder dieser Formen gibt es Formeln zur Berechnung ihres Umfangs, ihrer Fläche und ihrer Winkel. Manche sind dir womöglich bekannt, wie zum Beispiel der Satz des Pythagoras, andere sind dir vielleicht nicht so gut in Erinnerung geblieben.
Sehen wir sie uns einmal an.
Hier sind ein paar Online-Quellen für Geometrie, mit denen du üben und lernen kannst.
Die Berechnung von Dreiecken
Fangen wir bei der Form mit den wenigsten Seiten an.
Die einfachste Berechnung des Umfangs eines jeden Dreiecks ist a+b+c, wobei jeder Buchstabe eine Seite des Dreiecks repräsentiert. Dieser Formel ist wunderbar einfach und leicht anzuwenden, solange die Länge aller Seiten bekannt ist.
Angenommen dein Dreieck hat die Maße: a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm,
dann wäre der Umfang 3+4+5=12 cm.
Offensichtlich handelt es sich hier um ein Dreieck, das weder gleichseitig noch gleichschenklig ist. Wie könnten wir den Umfang berechnen, wenn wir nur zwei Werte zur Verfügung hätten? Dabei ist die untere Seite und eine weitere gegeben.
In einem solchen Fall könnte wir den Satz des Pythagoras anwenden: a2+b2=c2. Daran erinnerst du dich sicher, oder?
Zuerst musst du eine gerade Linie vom Spitzpunkt des Dreiecks auf die untere Seite ziehen. Diese Linie wird h genannt und sollte im rechten Winkel auf die untere Seite treffen. Dabei entstehen zwei rechte Winkel auf beiden Seiten der Linie und der unteren Seite des Dreiecks.
Jetzt hast du zwei Dreiecke, die jeweils einen Wert für a und b haben. Danach musst du nur noch die bekannten Werte in die Formel einfügen, nicht vergessen sie zum Quadrat zu berechnen und du erhältst deine fehlenden Werte!
Versuchen wir das einmal mit einem fiktiven Dreieck:
a = unbekannt
b = 5
c = 7
a2 * 52 = 72
a2 * 25 = 49 die unbekannte Variable muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen
a2 = 49 – 25 bewege 25 zur anderen Seite des Gleichheitszeichens, indem du es rechts vom bekannten Wert von c abziehst
a2 = 24
Jetzt musst du die Quadratwurzel von 24 berechnen, sie lautet 4,898. Sobald du den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet hast, musst du dasselbe für das andere rechtwinklige Dreieck tun. Damit kannst du den Umfang des großen Dreiecks berechnen.
Glückwunsch, jetzt bist du in der Lage den Umfang jedes beliebigen Dreiecks zu berechnen!
Die Fläche eines Dreiecks berechnen
Die Berechnung des Umfangs ist ein recht simples Vorhaben. Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, braucht es etwas mehr.
Wenn du die Werte aller drei Seiten kennst, dann kannst du den Satz des Heron anwenden:
Fläche = Quadratwurzel von [s(s-a)(s-b)(s-c)], wobei „s“ der Halbumfang ist, das heißt (a+b+c)/2.
Es sieht schwieriger aus als es ist. Vergiss nicht, wenn du mit einer Formel arbeitest, musst du nur die dir bekannten Werte einfügen, um die Unbekannte herauszufinden. Im Fall der obigen Formel ist das ganz einfach!
Nun wollen wir uns das Beispiel ansehen, wenn eine oder mehr Variablen unbekannt sind.
Wenn du die Werte der unteren Seite des Dreiecks sowie seine Höhe kennst, dann kannst du Folgendes anwenden: Fläche = (½) * b * h
Wenn nur die Länge zweier Seiten sowie der Winkel, der sie verbindet, bekannt sind, dann müsstest du Trigonometrie anwenden, um die fehlenden Werte zu berechnen. Die Formel ist:
Fläche = (½) * a * b * sin C
Dabei musst du im Kopf behalten, dass Kleinbuchstaben Seiten repräsentieren und Großbuchstaben Winkel.
Wenn du nur die Werte der Seiten a und c kennst, dann würdest du sie in die Formel einfügen und dann sin B berechnen. Auf dieselbe Weise verhält es sich, wenn du b und c kennst, dann würdest du sin A anwenden, um die Fläche deines Dreiecks zu berechnen.
Vierecke berechnen
Den Umfang eines Quadrats oder eines Rechtecks kannst du bestimmt im Schlaf berechnen. Die Formeln lauten: U = 4a (a steht für die Seiten des Quadrats) und U = 2l + 2w für das Rechteck.
Die Flächenberechnungen fallen dir sicherlich auch noch schnell ein. Für Quadrate ist es F = a2 und für Rechtecke U = L * B. Einfach, oder?
Es wird etwas schwieriger, wenn wir uns Parallelogramme und Trapeze vornehmen. Dabei brauchen wir auch die Höhe h und die Länge der Grundseite g.
Wenn du dieser Werte kennst, dann kannst du die richtige Formel für die jeweilige Form auswählen:
g * h = Fläche des Parallelogramms (½)(a+b) * h = Fläche des Trapez, wobei „a“ die Seite repräsentiert, die gegenüber von „b“ liegt.
Vierecke sind die Form, mit der sich am einfachsten arbeiten lässt. Wenn du etwas mehr Übung brauchst, dann gibt es viele Online-Ressourcen, wo du Geometrie-Arbeitsblätter und Gleichungen zum Üben finden kannst.
Vielecke berechnen
Ob du es nun mit einem Apeirogon (einem Vieleck mit unendlich vielen Seiten) oder einem Sechseck zu tun hast, Fläche und Umfang der Form solltest du berechnen können.
Zum Glück ist das Apeirogon nur ein theoretisches Konzept. Stell dir vor, die Fläche für eine solche Form zu berechnen!
Wenn dein Vieleck gleich lange Seiten hat, dann kannst du die Formel U = n * w anwenden, wobei „n” für die Anzahl der Seiten steht und „w“ der Wert der Seiten ist.
Wenn die Seiten des Vielecks nicht alle gleich lang sind, dann musst du die Werte der Seiten addieren, um den Umfang zu erhalten.
Kreise berechnen
Kreise haben weder Seiten noch Winkel und ihr Umfang wird Kreisumfang genannt. Zur Berechnung von Kreisen brauchen wir aber dennoch einen Linienabschnitt.
Interessanterweise ist die Formel zur Berechnung der Fläche des Kreises scheinbar bekannter als jede andere geometrische Formel: πr2, oder pi * r2
Du weißt natürlich, dass der Wert für Pi (π) 3,1415 lautet...
Die weniger bekannte Formel für Kreise ist die des Kreisumfangs: 2 * π * r
Denke dran, dass diese Formeln für die Berechnung von Fläche und Umfang zweidimensionaler Formen sind. Sobald es sich um dreidimensionale Formen handelt, kommt eine weitere Größe zur Berechnung hinzu: das Volumen.
Für’s Erste wollen wir uns aber mit dem Begnügen, was wir soeben gelernt haben, und das üben, bis es sitzt!
Hier erfährst du, wie du den richtigen Nachhilfelehrer für deine Bedürfnisse finden kannst.
Wenn du dich in Geometrie einarbeiten möchtest und dir dabei Unterstützung wünschst oder Hilfe brauchst, kannst du dir bei einem Lehrer auf Superprof Unterstützung suchen. Es gibt eine Vielzahl erfahrener Lehrer und Lehrerinnen, die dich gerne dabei unterstützen.
Es gibt drei Arten des privaten Unterrichts: persönlich, online oder in der Gruppe. Jede Art hat ihre Vor- und Nachteile in Bezug auf den Lernerfolg und die Kosten. Sie alle sollten sorgfältig bedacht werden.
Persönlicher Unterricht ist häufig teurer, da der Lehrer individuelle Dienste anbietet und zu dir kommt. Die zusätzliche Zeit, die der Lehrer investieren muss, um die Stunden auf deine Bedürfnisse zuzuschneiden, entstehen zusätzliche Kosten pro
Stunde im Vergleich zu anderen Arten des Unterrichts. Wenn die Stunden jedoch auf die Bedürfnisse des Lernenden angepasst werden, sind sie allerdings kosteneffizienter als anderen Arten des Unterrichts. So erhältst du Unterricht, der wirklich zu dir passt.
Für diejenigen, die weniger Geld ausgeben wollen, ist Gruppenunterricht ideal. Dabei können die Kosten für den Lehrer geteilt werden und es lässt sich auch von den anderen in der Gruppe profitieren, da man sich austauschen kann. Diese Art des Unterrichts ist zwar nicht speziell auf dich zugeschnitten, aber das Lernen in der Gruppe bietet eine Reihe von Vorteilen und du hast mit Sicherheit immer andere, mit denen du üben und dich austauschen kannst.
Wenn es in deiner Umgebung niemanden gibt, der Mathe Nachhilfe anbietet, kannst du deine Suche jederzeit ausweiten. Dank des Internets spielt es heute keine Rolle mehr, wo du und dein Lehrer sich befinden. Solange du Internetzugang, eine Webcam und ein Mikrofon hast, kannst du auch Online-Unterricht nehmen. So kannst du die Mathe Nachhilfe Köln auch in Hamburg machen oder einen Mathe Abi Vorbereitungskurs mitmachen.
Oft werden von den Lehrern auf Superprof Schnupperstunden angeboten, denn gerade bei einer solch persönlichen Art des Lernens und Unterrichtens ist es wichtig, dass du eine gute Beziehung zu deinem Lehrer hast und die Chemie stimmt. Warum es also nicht einfach mal ausprobieren?
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