Die Geometrie als Teilbereich der Mathematik bereitet nicht wenigen Schülern und Schülerinnen sowie Studierenden Bauchschmerzen. Einen großen Schritt weiter kommst du jedoch, wenn du die relevantesten Grundbegriffe kennst und ein Verständnis für die Zusammenhänge zwischen diesen aufbaust.
Nach der Schule und der Uni spielt die Geometrie nicht nur im Alltag, sondern auch in vielen Berufen eine Rolle. Schule dein Geometriewissen daher lieber früher als später - wir unterstützen dich bei der Nachhilfe Mathematik mit unserem Lexikon der geometrischen Grundbegriffe.
Begriffe der zweidimensionalen Geometrie
In der zweidimensionalen Geometrie gibt es nur zwei Dimensionen: Die Länge und die Breite. Hier geht es um Linien, Flächen, Ebenen, Winkel und mehr.
Dreieck
Ein Dreieck ist eine geometrische Form, die durch drei Punkte markiert wird. Jeweils zwei Punkte werden durch eine Strecke miteinander verbunden und bilden so eine Dreiecksform. In ihrem Aussehen können sich Dreiecke durch die Winkel, in denen die Strecken zueinander stehen, sowie durch die Länge der Dreiecksseiten voneinander unterscheiden.
Wichtige Maßzahlen eines Dreiecks sind die Höhe (h) sowie die Grundseite g (auch Hypotenuse genannt). Besondere Dreiecke sind gleichseitige Dreiecke (alle drei Seiten sind gleich lang) gleichschenklige Dreiecke (die zwei Schenkel sind gleich lang), rechtwinklige Dreiecke (der Winkel gegenüber der Grundseite beträgt 90°) sowie gleichwinklige Dreiecke (alle drei Winkel sind gleich groß).
Durchmesser
Der Durchmesser zeigt die Größe eines Kreises an. Es handelt sich um eine Strecke, die zwei gegenüberliegende Punkte auf der Kreislinie verbindet und durch den Mittelpunkt M verläuft. Es handelt sich um das Doppelte des Radius r.
Ebene
Eine Ebene ist eine zweidimensionale Fläche. Sie kann durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden Linie, bestimmt werden. Eine Ebene umfasst alle Geraden, die sich in einem Punkt schneiden können und ist von unendlicher Größe.
Flächeninhalt
Eine häufig zu berechnende Maßzahl in der Geometrie ist der Flächeninhalt einer geometrischen Form. Du bestimmst dabei also die Größe der Fläche eines Dreiecks, eines Rechtecks, eines Trapezes etc. Meist wird der Flächeninhalt als A gekennzeichnet. Für jede unterschiedliche Form gibt es eine spezielle Formel zur Berechnung, zum Beispiel:
- Quadrat: a²
- Rechteck: a * b
- Dreieck: 0,5 * h * g
- Kreis: Pi * r²
Maßeinheiten für den Flächeninhalt sind Flächeneinheiten, also zum Beispiel Quadratzentimeter (cm²), Quadratmeter (m²) oder Quadratkilometer (km²).
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Gerade
Eine Gerade ist eine Linie ohne Anfang und Ende, sie hat also eine unendliche Länge. Was du im Mathebuch oder deinem Heft von einer Gerade siehst, ist also stets nur ein Ausschnitt dieser. Festgelegt und eindeutig bestimmt werden kann sie durch zwei auf ihr liegende Punkte. Geraden werden mit Kleinbuchstaben benannt, zum Beispiel g, h, l, a, b, c...
Halbgerade / Strahl
Eine Halbgerade besitzt einen Anfangspunkt, aber keinen Endpunkt. Sie verläuft also in eine Richtung weiterhin endlos, ist in die andere Richtung aber begrenzt. Ein Synonym für Halbgerade ist Strahl.
Kreis
Die geometrische Figur Kreis wird bestimmt durch alle Punkte, die zum Mittelpunkt M den gleichen Abstand haben. Die durch diese Punkte verlaufende Linie zeichnet den Kreis. Im Grunde kann ein Kreis daher auch als Linie anstatt als Form bezeichnet werden.
Kreissegment
Ein Kreissegment ist ein Kreisausschnitt, das durch eine Gerade, die den Kreis schneidet, und die Kreislinie zwischen den Schnittpunkten der Geraden mit dem Kreis gebildet wird.
Normale
Eine Normale ist eine Gerade, die im 90°-Winkel zu einer anderen Gerade verläuft. Man sagt hier auch, dass sie orthogonal verlaufen.
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Parallele
Eine Linie (Gerade, Strahl oder Strecke), die eine andere Linie in keinem Punkt berührt, bei der der Abstand zueinander also in allen Punkten gleich groß ist, nennt sich Parallele.
Parallelogramm
Bei einem Parallelogramm handelt es sich um eine Figur, die aus vier Seiten besteht, von denen die zwei gegenüberliegenden jeweils parallel zueinander verlaufen. Die vier Winkel der Figur sind größer oder kleiner als 90°, wodurch es sich nicht um ein Rechteck handelt.
Punkt
Ein Punkt ist ein zentraler Teil der Geometrie und nicht zu verwechseln mit dem weiter unten definierten Kreis. Zwar wird ein Punkt manchmal mit einem kleinen Kreis markiert (oder mit einem x), jedoch besitzt er keine eigene Fläche sondern markiert einen konkreten, einzelnen Punkt. Die Bezeichnung eines Punkts in der Geometrie erfolgt in der Regel mit einem Großbuchstaben, z. B. X, Y, A, B, C...
Quadrat
Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten die gleiche Länge haben.
Radius
Als Radius bezeichnet man den Abstand von der Kreislinie zu seinem Mittelpunkt M. Er kann von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie aus gezeichnet werden. Der Radius ist der halbe Durchmesser und eine wichtige Kennzahl eines Kreises.
Raute
Eine Raute ist ein besonderes Parallelogramm, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Die Diagonalen der Raute, also die Strecken, die im Inneren der Form jeweils die beiden gegenüberliegenden Eckpunkte verbinden, schneiden sich im rechten Winkel und sind ebenfalls gleich lang.
Rechteck
Ein Rechteck ist eine Flächenform, die durch vier Punkte festgelegt wird und bei dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel zueinander verlaufen. Die Seiten stehen damit jeweils im rechten Winkel zueinander, daher stammt wohl auch der Name Rechteck.
Schnittpunkt
Ein Schnittpunkt ist ein Punkt, in dem sich zwei Geraden, Halbgeraden oder Strecken schneiden. Er wird häufig mit S bezeichnet.
Segment
Ein Segment ist ein zwischen zwei Punkten liegender Ausschnitt einer Geraden. Die Länge dieses Segments kann eindeutig gemessen werden. Ein Segment wird folgendermaßen benannt: [AB] bezeichnet das Segment einer geraden Linie zwischen den Punkten A und B.
Strecke
Eine Strecke ist der direkte Abstand zwischen zwei Punkten. Ihre Länge ist dadurch messbar und nicht unendlich. Wenn du zwei Punkte auf dem kürzesten Weg miteinander verbindest, erhältst du eine Strecke. Der Name einer Strecke enthält die Großbuchstaben der verbundenen Punkte mit einem Strich darüber.
Trapez
Ein Trapez ist ebenfalls eine geometrische Form, die durch 4 Punkte begrenzt wird. Allerdings sind hier nur zwei gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. Diese haben eine unterschiedliche Länge, so dass die zwei verbleibenden Seiten schräg verlaufen.
Umfang
Der Umfang gibt die Länge der Umrandung einer Form an. Sehr veranschaulichend ist hier das Beispiel eines Gartenzauns, der den Garten eingrenzt. Die Länge aller Zaunabschnitte addiert ergibt den Umfang des Gartens. Es handelt sich um eine Längenangabe wie Millimeter (mm), Centimeter (cm), Meter (m), Kilometer (km) etc.
Hier einige Formeln zur Berechnung des Umfangs unterschiedlicher Figuren:
- Rechteck: 2 * a + 2 * b
- Quadrat: 4 * a
- Trapez: 2 * a + 2 * b
- Kreis: Pi * d oder Pi * 2 * r
Winkel (Winkelarten)
Zwei Halbgeraden, die in einem gemeinsamen Punkt beginnen, bilden gemeinsam einen Winkel zueinander. Der Anfangspunkt der Strahlen nennt sich Scheitelpunkt des Winkels. Ein Winkel hilft, die Lage von Geraden oder Strecken zueinander zu beschreiben. Ein Winkel wird in Grad angegeben, zum Beispiel "30°-Winkel" oder "200°-Winkel". Die Angabe vermittelt, wie weit ein Winkel offen ist. Als Namen für Winkel dienen die griechischen Buchstaben, Alpha, Beta, Gamma etc.
Es gelten die folgenden Klassifizierungen von Winkeln:
- Nullwinkel (0°): Die Strahlen verlaufen übereinander
- spitzer Winkel: ist größer als 0° und kleiner als 90°
- rechter Winkel: Zwei Strahlen stehen senkrecht, also im 90°-Winkel zueinander
- stumpfer Winkel: größer als 90° und kleiner als 180°
- gestreckter Winkel: 180°-Winkel, die Strahlen verlaufen vom selben Anfangspunkt in entgegengesetzte Richtungen
- überstumpfer Winkel: größer als 180° und kleiner als 360°
- Vollwinkel: 360°-Winkel, ein voller Kreis
Begriffe der dreidimensionalen Geometrie
In der dreidimensionalen Geometrie kommt neben der Länge und Breite eine neue Dimension, die Tiefe hinzu. Aus zweidimensionalen Figuren werden dadurch dreidimensionale Körper, von denen wir dir einige hier gemeinsam mit wichtigen anderen Grundbegriffen vorstellen möchten.
Körper
Ein Körper ist eine dreidimensionale Figur in der Geometrie. Diese wird durch ihre Oberfläche definiert.
Kugel
Eine Kugel ist die 3D-Version eines Kreises. Alle Punkte auf der Oberfläche der Kugel haben den selben Abstand zum Mittelpunkt der Kugel. Zur Berechnung von Kugelvolumen und Oberflächeninhalt benötigst du den Radius oder den Durchmesser der Kugel.
Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt ist das Pendant zum Umfang von zweidimensionalen Figuren. Er misst die gesamte Fläche, die die äußere Umrandung eines Körpers darstellt. Bei einem Quader, der aus sechs Rechtecken gebildet wird, ist der Oberflächeninhalt die Summe des Flächeninhalts aller sechs Rechtecke. Als Formel ausgedrückt: O = 2 * a * b + 2 * a * c + 2 * b * c oder auch 2 * (a * b + a * c + b * c).
Quader
Ein Quader ist ein Körper, der aus zueinander parallel liegenden rechteckigen Flächen besteht. Insgesamt wird er auch sechs Rechtecken, jeweils orthogonal aneinander liegend, gebildet. Ein alltägliches Beispiel für einen Quader ist ein Schuhkarton.
Volumen
Das Volumen stellt weiterhin das Pendant zum Flächeninhalt dar. Es handelt sich um den Rauminhalt eines Körpers, der in Volumenzahlen angegeben wird (zum Beispiel Kubikcentimeter cm³, Kubikmeter m³ oder Kubikkilometer km³). Über das Volumen findest du beispielsweise heraus, wie viele Liter Wasser in ein Becken passen.
Würfel
Ein Würfel ist eine spezielle Art eines Quaders, der aus sechs Quadraten gebildet wird. Das heißt, dass alle Seitenkanten eines Würfels gleich lang sind. Der bekannteste Würfel ist der Spielwürfel.
Zylinder
Ein geometrischer Körper ist der Zylinder. Dieser besitzt zwei Kreise als Grundflächen. Die Fläche, die die beiden Kreislinien miteinander verbindet, stellt aufgeklappt ein Rechteck dar, das durch die Höhe des Zylinders sowie den Umfang der Kreise beschrieben wird. Wichtige Kennzahlen eines Zylinders sind damit die Höhe (h) und der Radius (r) der Kreise. Mit diesen beiden Maßzahlen kannst du die restlichen Merkmale eines Zylinders berechnen.
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Selbstverständlich sind dies nur einige der Begriffe in der Geometrie. In der Praxis gibt es noch jede Menge mehr. Schon allein diese wichtigen Grundbegriffe zu verstehen hilft dir jedoch dabei, dein Verständnis der Geometrie zu verbessern und damit auch die Anwendung des Gelernten im Alltag zu erleichtern.
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Richtig Hilfreich Danke