Aufgaben zur Trigonometrie – Teil 2

Der Kosekans ist in zwei Quadranten positiv, die Werte von y sind in beiden Quadranten gleich, der Unterschied zwischen den beiden Fällen sind die Vorzeichen einiger trigonometrischer Verhältnisse. Wir beginnen also mit der Berechnung der Werte von und . Die Definition des Kosekans ist , weshalb . Nun berechnen wir den Wert von mithilfe des Satzes des Pythagoras:

1 1. Quadrant: In diesem Quadranten sind alle trigonometrischen Verhältnisse positiv:

2 2. Quadrant: In diesem Quadranten haben einige trigonometrische Verhältnisse ein negatives Vorzeichen, so dass der Wert von in diesem Quadranten negativ ist:

Denke daran, dass je nach Funktion negative Winkel die Funktion negativ machen können oder nicht. Bei Winkeln größer als 90º versuchen wir außerdem, den Winkel wie folgt auszudrücken: , wobei, wenn gerade ist, entspricht dies der Funktion von . Das heißt, , wobei die trigonometrischen Verhältnisse darstellt. Es ist auch wichtig, daran zu denken, dass Funktionen unterschiedliche Vorzeichen haben, je nachdem, in welchem Quadranten sie sich befinden.

a

Berechnen wir die trigonometrischen Funktionen, stellen wir fest, dass . Wir befinden uns also im 2. Quadranten und müssen uns daher das Vorzeichen jeder Funktion ansehen:

b

Wir haben immer noch einen Winkel, der größer als 90º ist, nämlich größer als 360º, also beginnen wir damit, den Winkel durch 360 zu teilen, um seinen entsprechenden Wert zu ermitteln: und wir haben einen Rest von , welcher äquivalent ist. Also berechnen wir die trigonometrischen Funktionen für den Winkel .

Um die Brüche zu vereinfachen, müssen wir uns sowohl an die trigonometrischen Funktionen und ihre Definitionen als auch an einige trigonometrische Identitäten erinnern.

a Wir beginnen mit der direkten Anwendung der entsprechenden trigonometrischen Identitäten und ändern dann die Definition von Sekans und Kosekans, , um schließlich die Brüche zu dividieren und die Definition des Tangens zu ermitteln.

b Wir nutzen die Definition des Sekans, subtrahieren und dividieren die Brüche, Wir wandeln die Differenz der Quadrate in konjugierte Binome um und ändern die Definition des Tangens. Wir streichen die Kosinusse und wenden an:

c Wir trennen die Brüche und vereinfachen, Wir bringen die Subtraktion wieder zusammen und teilen die Zahl 2, um die Identität nutzen zu können. Wir wandeln die Differenz der Quadrate in konjugierte Binome um und wenden die Identität wieder an:

Wir beginnen damit, den Wert des Winkels zu berechnen:

Da es sich um ein regelmäßiges Vieleck handelt, ist die Berechnung des Winkelwerts gleichbedeutend mit der Division von 360º durch die Anzahl der Seiten. Wir teilen den Winkel in zwei Hälften, so dass wir ein rechtwinkliges Dreieck bilden und die trigonometrischen Funktionen anwenden können. Um den Wert der Seite zu ermitteln, verwenden wir die Sinusfunktion. Wir berechnen den Wert von l und erhalten: cm Um den Wert des Apothemas zu berechnen, wenden wir die Kosinusfunktion an. Wir ermitteln das Apothema cm

Um den Wert der Strecke zwischen A und B zu ermitteln, ist es am einfachsten, den Kosinussatz anzuwenden,

Wir beginnen mit der direkten Anwendung des Kosinussatzes, d. h: cm

Zunächst verwenden wir die Definition von Tangens und Kotangens in Bezug auf die Sinus- und Kosinusfunktionen: Wenn wir die Nenner entfernen und den Term der rechten Seite subtrahieren, erhalten wir Nun verwenden wir die Formel für die Subtraktion von Winkeln der Sinusfunktion um zu erhalten, dass Wir haben also Das Problem ist also die Lösung der Gleichung Denk daran, dass sich die Sinusfunktion aufhebt, wenn ihr Argument ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Somit erhalten wir Die Lösung ist

Wie in Aufgabe 2 verwenden wir wieder das Ergebnis, das uns sagt, dass wobei eine gerade Zahl ist und eine trigonometrische Funktion darstellt.

a

Wir nehmen das Ergebnis von oben mit und erhalten

• 
• 

b

Aus der Definition des Tangens in Bezug auf die Sinus- und Kosinusfunktion ergibt sich, dass

• wobei wir den ersten Abschnitt verwendet haben, um das Ergebnis zu erhalten.

Wir verwenden nun die Definition des Kotangens in Bezug auf Sinus und Kosinus

• 

c

Um dies zu lösen, nutzen wir die Identitäten Somit:

• 
• 

Der Wert von stellt die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks dar. Wir haben Informationen zum Winkel und zum gegenüberliegenden Schenkel des Winkels. Da wir also die Hypotenuse ermitteln wollen, verwenden wir die Sinusfunktion:
Wir haben also
Und schließlich

a auf dem Intervall Es gilt, dass00 Somit ist die einzige Lösung auf dem Intervall

b auf dem Intervall

Beachte, dass Dies bedeutet, dass

• Wenn
• Wenn , gibt es keine reellen Lösungen.

Die Lösung ist also Auf dem Intervall sind die Lösungen