In diesem Artikel werden wir kurz das Verfahren zur Integration mittels der Substitutionsmethode wiederholen und darüber hinaus Übungen unter Verwendung dieser Methode lösen.
Einführung in die Substitutionsmethode
Bevor wir uns mit der Integration durch Substitution befassen, müssen wir einen kleinen Schritt zurückgehen und uns die Ableitung nach der Kettenregel in Erinnerung rufen. Wir erinnern uns, dass die Ableitung nach der Kettenregel angewendet wird, wenn wir eine Zusammensetzung von Funktionen ableiten wollen.
Wenn wir eine zusammengesetzte Funktion der Form
haben,
ist ihre Ableitung in Abhängigkeit von 
gegeben durch
oder in Differentialschreibweise
Nach dem umgekehrten Verfahren erhalten wir also, dass die Stammfunktion von 
in Bezug auf gegeben ist durch
Dies bedeutet, dass
Schritte der Substitutionsmethode
Gegeben ist die Funktion 
. Die Methode besteht darin, einen Teil dessen, was integriert werden soll, mit einer neuen Variablen 
anzugeben, sodass wir ein einfacheres Integral erhalten.
1 Zunächst versuchen wir, als eine Zusammensetzung der Form 
zu definieren.
2 Wir berechnen die Ableitung von . Wir stellen fest, dass wir beim Ableiten von 
in Abhängigkeit von Folgendes erhalten:
3 Wir schreiben das Integral in Bezug auf
4 Wenn das Integral auf 
einfacher ist, integrieren wir weiter
5 Wir kehren zur ursprünglichen Variablen zurück
Aufgaben
Löse das folgende Integral
Wir substituieren
Wir stellen fest, dass wir nun 
haben. Wir setzen in das Integral ein
Das Integral lautet wie folgt
es ist einfacher, in Bezug auf zu integrieren. Wir integrieren
Wir kehren zu unserer ursprünglichen Variablen zurück
Löse das folgende Integral
Wir substituieren
wir leiten ab und erhalten
Wir setzen in das Integral ein und erhalten
Wir stellen fest, dass das Integral
in Bezug auf leichter zur integrieren ist. Wir integrieren
Wir kehren zu unserer ursprünglichen Variablen zurück
Löse das folgende Integral
Wir substituieren
Wir berechnen die Differentialquotienten, indem wir zunächst den Logarithmus anwenden und anschließend ableiten
Wir setzen in das Integral ein
Wir stellen fest, dass unser Integral
in Bezug auf leichter zu integrieren ist. Wir integrieren
Wir kehren zu unserer ursprünglichen Variablen zurück
Löse das folgende Integral
Wir substituieren
Wir berechnen die Differentialquotienten und wenden hierfür den Logarithmus an. Danach leiten wir ab
Wir stellen fest, dass die letzte Gleichheit gilt, da 
. Wir setzen in das Integral ein
Wir wenden die Partialbruchzerlegung an und erhalten
daraus folgt das folgende Gleichungssystem
dessen Lösung ist
somit lautet unser Integral in Bezug auf
Wir stellen fest, dass unser Integral
einfacher in Bezug auf zu integrieren ist. Wir integrieren
Wir kehren zu unserer ursprünglichen Variablen zurück
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