Kapitel
Fläche, die sich zwischen zwei Funktionen befindet
Die Fläche zwischen zwei Funktionen entspricht der Fläche der darüber liegenden Funktion abzüglich der Fläche der darunter liegenden Funktion.
Die von den beiden Funktionen 
und 
umschlossene Fläche ist durch folgende Formel gegeben:
Hierbei entsprechen die Integrationsgrenzen 
und 
den Schnittpunkten der beiden Funktionen. Außerdem muss größer oder gleich sein. Dass eine Funktion größer ist als eine andere bedeutet, dass für denselben Wertebereich von 
der Wert der Funktion größer ist und daher ihr Graph oberhalb der Koordinatenachsen dargestellt wird.
Beispiele mit Lösungen zur Flächen zwischen zwei Funktionen
1 Berechne die Fläche des Bereichs, der durch die Parabel 
und die Gerade durch die Punkte 
und 
begrenzt wird.
Zunächst ermitteln wir die Gleichung der Geraden, die durch die angegebenen Punkte verläuft: Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form, um die Gleichung der Geraden zu berechnen. Dazu ermitteln wir die Steigung anhand der gegebenen Punkte.
Wir wenden die Punkt-Steigungs-Form an
Dies machen wir, indem wir die Gleichung lösen
Das heißt, wir setzen die Funktionen gleich
Wir integrieren
2 Ermittle die Fläche der Figur, die begrenzt ist durch: 
Zunächst berechnen wir die Schnittpunkte der beiden Funktionen, um die Integrationsgrenzen zu bestimmen:
somit
Von 
bis 
befindet sich die Gerade oberhalb der Parabel
Von bis 
befindet sich die Gerade unterhalb der Parabel
somit
3 Berechne die Fläche des Bereichs der Ebene, der durch die Graphen 
und die Koordinatenachsen begrenzt wird.
Wir berechnen den Schnittpunkt des Graphen und der Geraden 
Die Fläche entspricht der Fläche des Rechtecks 
abzüglich der Fläche unter dem Graphen 
. Wir wissen, dass die Fläche eines Rechtecks gleich der Basis mal Höhe ist, also
Die Fläche unter dem Grapehn ist:
somit
4 Berechne die Fläche des ebenen, durch die Parabel 
und die Tangenten an den Graphen in den Schnittpunkten mit der x-Achse begrenzten Bereichs.
Schnittpunkte mit der -Achse:
Daraus folgt, dass die Punkte 
und 
sind.
Gleichung der Tangente an die Parabel im Punkt
Anhand der Punkt-Steigungs-Form der Geraden erhalten wir folgende Gleichung
Gleichung der Tangente an die Parabel im Punkt
Anhand der Punkt-Steigungs-Form der Geraden erhalten wir folgende Gleichung
5 Berechne die Fläche, die durch die Graphen der Funktionen 
, 
begrenzt wird.
Wir berechnen die Schnittpunkte
somit lauten die Schnittpunkte 
y 
.
Mit KI zusammenfassen:
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