Formel für das Integral des Kosinus
Erinnern wir uns daran, dass die Ableitung der Funktion 
ist. Dies bedeutet, dass das Integral des Kosinus wie folgt lautet
,
wobei 
eine beliebige Konstante ist. Dabei denken wir daran, dass die Integrationskonstante notwendig ist, da die Ableitung einer beliebigen Konstante 0 ist.
Ähnlich gilt: Wenn das Argument des Kosinus eine andere Funktion 
ist, dann ist das Integral
Wir stellen fest, dass 
mit dem Kosinus multipliziert werden muss, um integrieren zu können.
Aufgaben zum Integral des Kosinus
Integriere die folgenden Funktionen:
Um das Integral zu lösen, verwenden wir zunächst die lineare Eigenschaft von Integralen:
Dann lösen wir jedes Integral einzeln.:
Und somit
Um das Integral zu lösen, stellen wir zunächst fest, dass 
. Also muss 
mit dem Kosinus multipliziert werden. Wir erhalten
Das Integral kann somit wie folgt geschrieben werden
Das Integral wird zu
Wir erhalten
In diesem Fall lautet das Argument des Kosinus 
. Dessen Ableitung ist
Beachten wir, dass der Kosinus mit 
multipliziert wird, sodass wir das Integral wie folgt schreiben können
Somit lautet das Integral
Wir erhalten
Hier lautet das Argument des Sinus 
. Dessen Ableitung ist
Das Integral kann also wie folgt geschrieben werden
Wir integrieren:
Das Ergebnis ist
In diesem Fall haben wir 
. Zunächst ist zu beachten, dass die Formel für Integral des Kosinus nicht direkt angewendet werden kann. Daher müssen wir eine trigonometrische Identität verwenden, in diesem Fall
Das Integral wird zu
Wir integrieren und erhalten
Die Antwort ist
Immer wenn wir einen Kosinus zur Potenz einer geraden Zahl haben, wenden wir ein ähnliches Verfahren an, bis wir einen Ausdruck mit reinen Kosinusfunktionen ohne Potenzierung erhalten.
Nun haben wir 
. Es handelt sich um einen Kosinus mit ungeradem Exponenten. Wir müssen ihn also wie folgt schreiben
Nun wenden wir das Gesetz des Pythagoras auf 
an und erhalten
Wir können das Integral also wie folgt schreiben
Wir stellen fest, dass es sich nicht um ein Kosinusintegral handelt. Jedoch haben wir die Substitution 
. Also lautet das Integral
Wir setzen ein und das Integral wird zu
Wir integrieren und erhalten
Das Ergebnis lautet
Wenn wir einen Kosinus mit einem ungeraden Exponenten 
haben, müssen wir 
schreiben und schließlich einen trigonometrischen Pythagoras anwenden, um das Integral zu lösen.
Mit KI zusammenfassen:
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