Rechtwinklige Dreiecke: Aufgaben

Ein Dreieck hat folgende Eigenschaften:

Die Hypotenuse: .

Eine der Katheten:

Löse das Dreieck.

Das bedeutet, dass wir herausfinden müssen, wie lang die fehlende Seite ist und den Wert der Winkel berechnen müssen. Da das Dreieck rechtwinklig ist, ist der Winkel .

Wir wenden den Sinus an und erhalten

Mit dem Arkussinus erhalten wir den Winkel. Sobald wir zwei Winkel haben, können wir direkt den letzten Winkel berechnen;

Nun haben wir zwei Winkel und berechnen den Letzten:

Beim Winkel wenden wir den Kosinus an und ermitteln den Wert der Seite :

So einfach konnten wir die fehlenden Daten ermitteln.

Gegeben ist ein Dreieck mit den Katheten

Löse das Dreieck.

Wir müssen also die fehlenden Seiten und Winkel berechnen. Da das Dreieck rechtwinklig ist, haben wir auch den Winkel .

Um den Winkel zu bestimmen, berechnen wir seinen Tangens und wenden dann den Arkustangens an:

Wir wenden den Arkustangens an und erhalten . So erhalten wir zwei Winkel und können den Dritten, , direkt berechnen:

Als Letztes müssen wir noch die Seite berechnen. Hierfür nutzen wir den Sinus und wenden ihn auf den Winkel an. Danach berechnen wir .

So einfach konnten wir die fehlenden Daten ermitteln.

Gegeben ist ein Dreieck mit der Hypotenuse und einem Winkel

Löse das Dreieck.

Wir müssen also die fehlenden Seiten und Winkel berechnen. Da das Dreieck rechtwinklig ist, haben wir auch den Winkel .

Da zwei Winkel bekannt sind, können wir den Dritten, , direkt berechnen:

Um die Seite zu erhalten, wenden wir den Sinus auf den Winkel an und ermitteln :

Um die Seite zu erhalten, wenden wir den Kosinus auf den Winkel an und ermitteln :

So haben wir die fehlenden Seiten und Winkel ermittelt.

Gegeben ist ein Dreieck mit einer Kathete und einem Winkel

Löse das Dreieck.

Wir berechnen die fehlenden Seiten und Winkel. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, wissen wir bereits im Voraus, dass ein Winkel ist.

Da zwei von drei Winkeln bekannt sind, können wir den fehlenden Winkel direkt berechnen.

Um die Seite zu erhalten, wenden wir den Sinus auf den Winkel an und bestimmen :

Um die Seite zu erhalten, wenden wir den Kotangens auf den Winkel an und bestimmen :

Wir haben die fehlenden Seiten und Winkel berechnet.

Gegeben ist ein Dreieck mit der Hypotenuse und einem Winkel

Löse das Dreieck.

Wir ermitteln die fehlenden Seiten. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, wissen wir bereits im Voraus, dass ein Winkel ist.

Da zwei von drei Winkeln bekannt sind, können wir den fehlenden Winkel direkt berechnen.

Um die Seite zu erhalten, wenden wir den Sinus auf den Winkel an und bestimmen :

Um die Seite zu ermitteln, wenden wir den Kosinus auf den Winkel an und bestimmen :

Wir haben die fehlenden Seiten und Winkel berechnet.

Gegeben ist ein Dreieck mit einer Kathete und einem Winkel

Löse das Dreieck.

Wir ermitteln die fehlenden Seiten und Winkel. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, wissen wir bereits im Voraus, dass ein Winkel ist.

Da zwei von drei Winkeln bekannt sind, können wir den fehlenden Winkel direkt berechnen

Um die Seite zu berechnen, wenden wir den Tangens auf den Winkel an und bestimmen :

Um die Seite zu ermitteln, wenden wir den Sinus auf den Winkel an und bestimmen :

Wir haben die fehlenden Seiten und Winkel berechnet.

Gegeben ist ein Dreieck mit der Hyptenuse und einer Kathete

Löse das Dreieck.

Wir ermitteln die fehlenden Seiten und Winkel. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, wissen wir bereits im Voraus, dass ein Winkel ist.

Um den Winkel zu ermitteln, berechnen wir als Erstes des Kosinus des Winkels mithilfe der Kathete und der Hypotenuse. So können wir dann die Umkehrfunktion, den Arkuskosinus, anwenden.

Wir wenden den Arkuskosinus an und erhalten . Da wir zwei Winkel bereits haben, können wir den Dritten direkt berechnen

Um die Seite zu ermitteln, wenden wir den Sinus auf den Winkel und ermitteln :

Wir haben die fehlenden Seiten und Winkel berechnet.

Gegeben ist ein Dreieck mit den zwei Katheten

Löse das Dreieck.

Wir ermitteln die fehlenden Seiten und Winkel. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, wissen wir bereits im Voraus, dass ein Winkel ist.

Um den Winkel zu ermitteln, berechnen wir zunächst seinen Tangens und nutzen hierfür die Katheten. Im Anschluss können wir den Arkustangens berechnen

Wir erhalten also . Und da wir nun zwei Winkel haben, können wir den Dritten direkt berechnen

Um die Seite zu ermitteln, wenden wir den Sinus auf den Winkel an und bestimmen :

Wir haben die fehlenden Seiten und Winkel berechnet.

Ein Baum mit einer Höhe von wirft einen Schatten, der lang ist.

Berechne den Höhenwinkel der Sonne in diesem Moment.

Zwischen dem Boden und dem Baum entsteht ein Winkel von . Somit haben wir zwei Katheten. Außerdem ist der Höhenwinkel der Winkel, der am Scheitelpunkt entsteht, wo der Schatten aufhört.

Um also den Höhenwinkel ermitteln zu können, berechnen wir zunächst seinen Tangens mithilfe der Katheten und wenden danach den Arkustangens auf unser Ergebnis an

Wir erhalten somit .

Ein Luftschiff fliegt in einer Höhe von und bewegt sich in einem Winkel von von einem Dorf weg.

Wie weit ist das Luftschiff vom Dorf entfernt?

Mit den gegebenen Daten können wir den Sachverhalt grafisch darstellen.

Wir möchten herausfinden, wie weit das Luftschiff vom Dorf entfernt ist. Wir müssen also die Kathete berechnen. Hierzu berechnen wir den Tangens des Winkels mit dem Wert und nutzen zugleich die Katheten. Nun können wir bestimmen:

Der Mittelpunktswinkel misst genauso viel wie der Bogen, der ihn umspannt. Wir haben also

Um den Radius zu ermitteln (Seite), wenden wir den Sinus auf den Winkel an, der beträgt, indem wir die bekannte Kathete und nutzen, um danach den Radius berechnen zu können:

Berechne die Fläche eines dreieckigen Grundstücks, dessen Seiten   und lang sind und einen Winkel von bilden.

Wir haben also den Winkel und können uns folgende Grafik ansehen, die das Dreieck darstellt.

Wir sehen, dass die Höhe unser ursprüngliches Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt. Wir nehmen das rechte Dreieck, da wir mehr darüber wissen, um die Höhe und schließlich die Fläche zu berechnen. Für die Höhe nutzen wir den Sinus des Winkels , die zu diesem Dreieck gehörende Kathete und die Höhe, die wir so schließlich berechnen können:

Die Höhe beträgt also und wir können nun die Fläche berechnen:

Zum besseren Verständnis versuchen wir, das Problem mit der folgenden Zeichnung darzustellen

Um das Problem zu lösen, berechnen wir zunächst den Tangens des Winkels von und den zugehörigen Katheten. Danach berechnen wir den Tangens des Winkels von mit den zugehörigen Katheten und bestimmen für beide:

Wir erhalten ein Gleichungssystem

Wir lösen das System und erhalten .

Die folgende Grafik zeigt uns das Achteck sowie den Inkreis und den Umkreis.

Gegeben ist die Seite . Außerdem stellt die Seite den Radius des Inkreises dar und die Seite den Radius des Umkreises. Wir wissen auch, dass der Winkel beträgt und da es sich um ein Achteck handelt, haben wir .

Radius des Inkreises

Wir berechnen den Tangens des Winkels . Hierfür nehmen wir den Wert des Winkels sowie der Katheten und können so schließlich die Kathete berechnen.

Radius des Umkreises

Wir berechnen den Sinus des Winkels . Hierfür nutzen wir sowohl den Winkel also auch die Kathete und die Hyptenuse, um schließlich die Hypotenuse ermitteln zu können.

Mit der folgenden Grafik können wir uns das Problem besser vorstellen.

Der Radius entspricht der Seite . Nun ist die Seite des Achtecks gegeben durch sowie .

Außerdem sehen wir, dass das Apothema den Winkel in zwei Teile teilt. Der Winkel beträgt und da es sich um ein Achteck handelt, gilt . Die Seiten , und bilden zudem ein rechtwinkliges Dreieck.

Seite des Achtecks

Wir berechnen den Sinus des Winkels . Hierfür nutzen wir den Wert des Winkels und die Hypotenuse (Radius des Achtecks) sowie die Kathete (die Hälfte der Seite des Achtecks). So können wir schließlich die Kathete ermitteln.

Die Seite ist also lang.

Apothema des Achtecks

Wir berechnen den Kosinus des Winkels . Hierfür nutzen wir den Winkel und die Hypotenuse (den Radius des Achtecks) und die Kathete (das Apothema), um schließlich die Kathete berechnen zu können.

Drei Dörfer , und sind durch eine Straße miteinander verbunden. Die Entfernung von nach beträgt und von nach sind es . Außerdem beträgt der Winkel, den die Straßen bilden, .

Wie weit liegen und auseinander?

Mit der folgenden Grafik können wir uns den Sachverhalt besser vorstellen.

Um dieses Problem zu lösen, zeichnen wir zusätzliche Angaben ein. Wir müssen als Erstes die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks (grün eingezeichnet) berechnen und können so dann die Katheten des anderen Dreiecks bestimmen sowie die Hypotenuse (unser gesuchter Wert).

Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks (grün) berechnen

Wir berechnen den Sinus und den Kosinus des Winkels Calcularemos el seno y el coseno del ángulo . Hierfür nehmen wir den Wert des Winkels und der Katheten sowie der Hypotenuse. So können wir schließlich die Katheten und berechnen.

Die Katheten des anderen Dreiecks und die Hypotenuse berechnen

Zur Berechnung der Hypotenuse wenden wir den Satz von Pythagoras an. Die Katheten, die wir hierfür nutzen, sind und .