In diesem Artikel findest du eine Reihe von Aufgaben, die mithilfe der Trigonometrie gelöst werden sollen. Unter den Lösungen zu jeder Aufgabe sind alle Rechenschritte im Einzelnen beschrieben.
Bringe die Gradmaße von Bogenmaß in Gradmaß
Die Formel für die Umrechnung eines Winkels im Bogenmaß in Grad lautet wie folgt
Dabei ist 
der Winkel im Bogenmaß. In Grad sind die Winkel daher:
Hier ist 
Das Gradmaß ist daher 
Um die Winkelminuten zu erhalten, multiplizieren wir die Dezimalstellen mit 60: 
Um die Winkelsekunden zu erhalten, multiplizieren wir die Dezimalstellen erneut mit 60: 
Daher lautet der Winkel in Gradzahlen 
Wie im vorherigen Beispiel, verwenden wir auch hier die Formel 
Auch hier verwenden wir dieselbe Formel: 
Gib die folgenden Winkel im Bogenmaß an:
Die Formel für die Umwandlung von Gradmaß in Bogenmaß ist der vorherigen sehr ähnlich:
Die Winkel sind:
Verwende die Formel 
Der Winkel misst im Bogenmaß daher 
.
Verwende die Formel 
Der Winkel misst im Bogenmaß daher 
.
Verwende die Formel 
Hier kann nichts vereinfacht werden, da 127 eine Primzahl ist. Der Winkel misst im Bogenmaß daher 
.
Gegeben ist 
und 
270^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}[/latex]. Berechne die übrigen trigonometrischen Beziehungen für den Winkel [latex]\alpha[/latex].
Wir wissen, dass der Winkel im vierten Quadranten des Koordinatensystems liegt. Für diesen Quadranten gilt 
, aber 
. Folglich ist
Daraus erhält man
Da wir 
und 
schon bestimmt haben, sind die anderen Beziehungen einfacher zu ermitteln.
Man kann sowohl das Ergebnis des Kotangens als auch des Kosekans rationalisieren. Daher wäre ebenso korrekt:
Das Ergebnis erhalten wir, wenn wir die vorherigen Ergebnisse mit 
multiplizieren. Somit vermeiden wir, dass Wurzeln im Nenner auftreten.
Gegeben ist 
und 180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}[/latex]. Berechne die übrigen trigonometrischen Beziehungen für den Winkel [latex]\alpha[/latex].
Der Winkel 
liegt im dritten Quadranten des Koordinatensystems. Daher wissen wird, dass 
Daraus ergibt sich
Da 
Daraus erhält man
Man kann erkennen, dass 
auch eine korrekte Antwort wäre, wenn man das vorherige Ergebnis rationalisiert.
Wir wissen auch, dass 
. Daraus ergibt sich
Die übrigen beiden Beziehungen können nun einfacher ermittelt werden:
und
Gegeben sind 
und 0 < \alpha < \pi /2[/latex]. Berechne die übrigen trigonometrischen Beziehungen für den Winkel [latex]\alpha[/latex].
Der Winkel liegt im Bogenmaß vor. Außerdem liegt er im ersten Quadranten des Koordinatensystems, daher ist 
und 
.
Die Beziehung von Sekans und 
kann über Pythagoras berechnet werden:
Außerdem ist 
, da und 
. Folglich:
Ebenso ist
Da ist, können wir schließen, dass
Die übrigen beiden Beziehungen können nun einfacher ermittelt werden:
und
Berechne den Sinus, Kosinus und Tangens für die folgenden Winkel:
Wir gehen davon aus, dass Sinus und Kosinus der bekanntesten Winkelmaße (
, etc.) bereits bekannt sind:
Um den Sinus des Winkels zu berechnen, machen wir uns die Eigenschaften zur Verschiebung von Sinus- und Kosinusfunktionen zunutze. Wir können erkennen, dass 
Ähnlich ist, 
Zuletzt ist 
Wie im vorherigen Fall machen wir uns die Eigenschaften zur Verschiebung von Sinus- und Kosinusfunktionen zunutze. Wir können erkennen, dass 
Ähnlich ist, 
Zuletzt ist 
Ermittle die trigonometrischen Beziehungen der folgenden Winkel:
Zuerst müssen wir einen Winkel finden, der zwischen 
und 
liegt und gleich ist. Dafür teilen wir 2655 durch 360. Der Rest ist der gesuchte Winkel: 
, wobei der Rest 135 ist. Daher ist 
Ähnlich ist 
Zuletzt ist 
In diesem Fall verhält es sich ähnlich: Wir teilen zuerst 840 durch 360 und verwenden den Rest: 
Daher ist 
. Folglich: 
Ähnlich ist, 
Zuletzt ist 
Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck ABC, dessen rechter Winkel bei 
liegt. Wir wissen, dass 
und 
misst. Berechne die beiden anderen Winkel und Seitenlängen.
Sieh dir die Skizze des Dreiecks an:
Hier kannst du die noch fehlenden Maße erkennen (die Seiten 
, 
und der Winkel 
). Am einfachsten lässt sich der Winkel berechnen, da 
ist. Daher ist
Da das Dreieck rechtwinklig ist, können wir trigonometrische Funktionen anwenden, um die Längen der übrigen Seiten zu bestimmen. Wir wissen, dass
Daher ist
Da 
, ist folglich
Damit haben wir alle fehlenden Maße gefunden.
Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck ABC, dessen rechter Winkel bei liegt. Wir wissen, dass 
und 
misst. Berechne die beiden anderen Winkel und Seitenlängen.
Sieh dir die Skizze des Dreiecks an:
Hier kannst du die noch fehlenden Angaben sehen (die Seiten 
, und der Winkel ). Wie im vorherigen Beispiel lässt sich der Winkel bei am einfachsten berechnen, da . Daher ist
Dieses Mal liegt die Hypotenuse nicht vor. Daher müssen wir den Tangens verwenden:
Daher ist
Da , ist folglich
Damit haben wir alle fehlenden Maße gefunden.
Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck ABC, dessen rechter Winkel bei liegt. Wir wissen, dass 
und 
misst. Berechne den spitzen Winkel und die fehlende Seitenlänge.
Sieh dir die Skizze des Dreiecks an:
Gescuht sind die Kathete und die Winkel 
und . Nach Pythagoras wissen wir, dass 
. Daher ist
Folglich ist 
. Außerdem ist
Daher ist 
. Da die Winkelsumme 
ergibt, ist:
Damit haben wir alle fehlenden Maße gefunden.
Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck ABC. Wir wissen, dass , 
und 
misst. Ermittle die Winkel und die fehlenden Seiten.
Diesmal ist das Dreieck nicht rechtwinklig. Sieh dir das Dreieck auf der Skizze an:
Es fehlen noch die Winkel , und die Seite . Da das Dreieck nicht rechtwinklig ist, können wir des Satz des Pythagoras nicht anwenden. Den Kosinussatz allerdings schon:
Dort sind alle Maße enthalten. Wir haben
Daher ist 
. Mithilfe des Sinussatzes können wir nun alle weiteren Winkel berechnen:
Daraus ergibt sich
Daher ist 
.
Zuletzt ist
Somit haben wir alle Maße des Dreiecks bestimmt.
Ein 50 Meter hoher Baum wirft einen 60 Meter langen Schatten. Ermittle den Winkel, in dem die Sonne in diesem Moment steht.
Der Baum (Seite ) und der Schatten (Seite ) bilden das folgende Dreieck:
Wir sehen, dass die Seite nicht berechnet werden muss. Wir suchen den Winkel , dessen Tangens wie folgt gegeben ist:
Mithilfe des Arcotangens erhalten wir
Wir haben den gesuchten Winkel gefunden.
Eine Drohne fliegt in einer Höhe von 800 Metern. Sie filmt ein Dorf mit einem Vertiefungswinkel von 12°. Wie weit muss die Drohne in gerader Linie unter Beibehaltung seiner Höhe fliegen, um genau über dem Dorf zu sein?
Zwischen dem Dorf und der Drohne liegt das folgende Dreieck:
Wir benennen die unbekannte Strecke mit 
. Die Höhe, in der die Drohne fliegt, bezeichnen wir mit 
. Der Vertiefungswinkel stimmt mit dem Winkel 
überein.
Der Tangens von kann wie folgt berechnet werden:
Daher ist
Die Drohne muss also 3763,70 Meter (bzw. 3,764 km) fliegen.
Ermittle den Radius eines Kreises mit einer Kreissehne von 24,6 Metern und einem Kreisbogen von 70°.
Sieh dir die Skizze an:
Wir können sehen, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit den Punkten 
entsteht, in dem 
der Mittelpunkt des Kreisbogens ist.
Der Radius ist die Hypotenuse des Dreiecks. Die Länge von ist die Hälfte der Kreissehne, das heißt,
und der Winkel misst 
(die Hälfte des Kreisbogens). Wir wissen, dass
,
da die Hypotenuse ist. Folglich ist
Daher misst der Radius 21,44 Meter.
erechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den beiden Seitenlängen 
und 
, die einen Winkel von 70° einschließen.
Diese Aufgabe kann über mehrere Wege gelöst werden. Wir können dafür die Heronsche Flächenformel verwenden oder versuchen, die Höhenmaße herauszufinden. Sieh dir zuerst die Skizze des Dreiecks an:
Darin sind 
, 
und 
.
Wenn wir senkrecht zu die Höhe einzeichnen, bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Kathete ist und die Hypotenuse. Außerdem ist der Sinus von
Daher ist
Die Fläche misst also
Berechne die Höhe eine Baumes. Von einem Punkt aus der Umgebung aus kann man seine Krone aus einem Winkel von 30° über der Erde betrachten. Wenn man sich ihm 
nähert, betrachtet man seine Krone aus einem Winkel von 60° über der Erde.
Sieh dir die Skizze an zur Aufgabenstellung an:
Diese Aufgabe kann über mehrere Wege gelöst werden. Eine Möglichkeit ist es, die Strecke 
des Dreiecks 
zu berechnen; anschließend verwenden wir die Strecke, um die Höhe herauszufinden.
Für die Berechnung des Dreiecks wissen wir, dass der Winkel 
des Dreiecks
ist.
Daher können wir nun den Sinussatz verwenden. Zuerst benötigen wir aber den Winkel 
:
Nach Sinussatz erhalten wir
Dabei ist
Daher ist
Jetzt können wir die Höhe berechnen. Wir können erkennen, dass das Dreieck 
rechtwinklig ist. Folglich ist
Folglich ist
Der Baum ist also 8,66 Meter hoch.
Ein regelmäßiges Achteck hat eine Seitenlänge von 12 Metern. Ermittle die Radien des Inkreises und des Umkreises.
Sie dir das Achteck in der Skizze an:
Zwischen den Punkten 
bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Punkt der Mittelpunkt zu jeder Seite des Achtecks ist. Sieh dir das rechtwinklige Dreieck im Detail an:
Wir wissen, dass der Winkel 
hat. Der Winkel des rechtwinkligen Dreiecks hat also 
. Außerdem ist die Seite 
.
Die beiden noch fehlenden Seiten sind gleich dem Radius des In- bzw. Umkreises. Für Seite erhalten wir
Wir erhalten
Der Radius des Inkreises misst also 14,49 Meter.
Die Seite 
erfüllt
Somit ist 
. D.h. der Radius 
des Umkreises beträgt 15,68 Meter.
Drei Städte 
liegen dreiecksförmig nebeneinander und werden durch geradlinige Wege verbunden. Wenn die Strecke von nach 12 km beträgt, beträgt die Strecke von nach 10 km und der Winkel 
hat 
. Ermittle den Abstand zwischen den Städten 
.
Sieh dir das Dreieck in der Skizze an:
Um die Seite 
zu berechnen, kann der Kosinussatz angewendet werden:
Führe die Rechnung weiter und du erhältst
Somit haben wir den Anbstand zwischen den Städten 
gefunden.
Peter lässt einen Drachen mit einer 40 m langen Schnur steigen. Wenn der Steigungswinkel 
beträgt, wie hoch fliegt der Drache über dem Boden?
Die Schnur des Drachen (Seite 
) und die Höhe des Drachen über dem Boden (Seite 
) bilden ein rechtwinkliges Dreieck:
Der Sinus des Winkels kann wie folgt ausgedrückt werden:
Wir stellen nach um und erhalten
Die gesuchte Höhe ist damit gefunden.
Ein Gebäude wirft einen 60 m langen Schatten, wenn die Sonne in einem Winkel von 
steht. Wie hoch ist das Gebäude?
Das Gebäude (Seite ) und der Schatten (Seite 
) bilden das folgende rechtwinklige Dreieck:
Der Tangens des Winkels kann wie folgt ausgedrückt werden:
Wir stellen nach um und erhalten
Die gesuchte Höhe ist damit gefunden.
Beweise die trigonometrische Gleichheit der folgenden Gleichungen:
Schreibe zuerst 
und 
der Definition nach in Sinus und Kosinus um: 
Bilde die Bruchsumme anhand des gemeinsamen Nenners: 
Wir sehen, dass 
ist, daher ist 
Dies sind Definitionen von 
und 
. Folglich ist 
Hier bietet es sich an, auf der rechten Seite der Gleichung zu beginnen: 
Wir faktorisieren 
Aus ergibt sich nach Pythagoras 
, daher erhalten wir 
Somit ist die Aufgabe bewiesen.
Hier bietet es sich an, auf der rechten Seite der Gleichung zu beginnen, indem man faktorisiert: 
Wir sehen, dass ist, daher ist 
Somit ist die Aufgabe bewiesen.
Beweise die trigonometrische Gleichheit der folgenden Gleichungen:
Hier ist es am Einfachsten, auf der linken Seite der Gleichung zu beginnen und die Beziehungen mit Sinus und Kosinus auszudrücken: 
, da 
aufgehoben wird. Diese Aufgabe konnte in nur einem Schritt bewiesen werden.
Hier beginnen wir wieder auf der linken Seite und drücken die Beziehungen mit Sinus und Kosinus aus: 
Wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und summieren sie: 
, da . Somit ist die Aufgabe bewiesen.
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