Kapitel
Dies sind Gleichungen, in denen die Unbekannten als Teil der Argumente eines oder mehrerer trigonometrischer Verhältnisse erscheinen. Da diese periodisch sind, gibt es normalerweise unendlich viele Lösungen, wenn die Lösung nicht auf ein bestimmtes Intervall beschränkt ist. Die allgemeine Lösung einer trigonometrischen Gleichung enthält eine ganze Zahl 
. Das heißt, 
.
Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, werden wir die notwendigen Umformungen vornehmen, um mit einer einzelnen trigonometrischen Funktion zu arbeiten, indem wir die grundlegenden trigonometrischen Beziehungen verwenden.
Grundlegende trigonometrische Gleichungen
Ermittle die allgemeine Lösung der folgenden trigonometrischen Gleichungen:
1
Lösung: Aus der Grafik der Sinusfunktion im Intervall 
(Abbildung 1) geht hervor, dass die Funktion 0 wird bei den Werten 
Da die Funktion 
die Periode 
hat, erhalten wir
Somit lautet die allgemeine Lösung der Gleichung, vereinfacht geschrieben, 
Abbildung 1. Nullstellen der Funktion 
im Intervall 
2
Lösung: Aus der Grafik der Kosinusfunktion im Intervall (Abbildung 2) geht hervor, dass die Funktion 0 wird bei den Werten 
Da die Funktion die Periode 
die Periode hat, erhalten wir
Somit lautet die allgemeine Lösung der Gleichung, vereinfacht geschrieben, 
Abbildung 2. Nullstellen der Funktion 
im Intervall
3
Lösung: Die Tangensfunktion kann auch wie folgt geschrieben werden:
Deshalb gilt
Dies haben wir schon einmal berechnet und die Lösung lautet Die Lösung der Gleichung 
ist
4
Lösung: Wir wissen, dass für alle 
gilt, dass 
Außerdem gilt für alle 
, dass 
Das heißt, die Funktion 
ist die Umkehrfunktion der Funktion im Intervall 
Damit erhalten wir
Aus der Periodizität ergibt sich, dass die Lösung der Gleichung wie folgt lautet:
5
Lösung:
Genau wie bei der vorhergehenden Gleichung, ist die Funktion 
die Umkehrfunktion der Funktion im Intervall Damit erhalten wir
Somit ist die Lösung der Gleichung 
.
6
Lösung: Ähnlich wie bei den Funktionen und ist die Funktion 
die Umkehrfunktion der Funktion 
im offenen Intervall 
. Somit erhalten wir
Die Lösung der Gleichung ist 
da die Funktion die Periode 
hat.
7
Lösung: Unter Verwendung der Funktion erhalten wir
Somit lautet die allgemeine Gleichung 
8
Lösung: Unter Verwedndung der Funktion erhalten wir
Somit lautet die allgemeine Gleichung 
9
Lösung: Unter Verwedndung der Funktion 
erhalten wir
Somit lautet die allgemeine Gleichung 
Hinweis: Die Lösungen trigonometrischer Gleichungen werden häufiger in Bogenmaß als in Grad angegeben, können aber mit der folgenden Formel in Grad umgerechnet werden:
Die Lösung der ersten Gleichung in Grad lautet zum Beispiel
Das heißt: 
Beispiele für das Lösen trigonometrischer Gleichungen
Im Folgenden werden wir verschiedene trigonometrische Gleichungen mit höherem Schwierigkeitsgrad und deren Lösung betrachten.
1
Lösung: Die gängigsten Winkel der grundlegenden trigonometrischen Funktionen besagen, dass im Intervall 
,
Und somit
Das heißt 
Somit ist die allgemeine Lösung der trigonometrischen Gleichung
Lösung: Die gängigsten Winkel der grundlegenden trigonometrischen Funktionen besagen, dass 
Es gilt also 
Somit lautet die Lösung 
,
da die Periode hat.
3
Lösung: Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehungen 
erhalten wir
Und
Somit ist 
Die erste Gleichung wurde bereits oben gelöst. Die Lösung lautet 
. Die Gleichung 
hat keine Lösung, da
jedoch ist 
nicht in der Definitionsmenge der Funktion enthalten und es existiert somit auch keine Lösung. Schließlich lautet die Lösung der Gleichung
4
Lösung: Wir faktorisieren und erhalten
Somit gilt:
und 
im Intervall
Schließlich ist die Lösung 
5
Lösung: Um diese Aufgabe zu lösen, wenden wir Folgendes an
Somit erhalten wir
Und wenn:
Deshalb gilt
Die erste Gleichung haben wir bereits gelöst. Ihre Lösung ist 
Nun lösen wir die zweite Gleichung
Schließlich lautet die allgemeine Lösung der Gleichung
6
Lösung:
Unter Verwendung von 
erhalten wir
Nach der gleichen Argumentation wie in der ersten Übung ergibt sich dann
und 
Die Lösung der Gleichung lautet
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
