Wichtiger Teilbereich von Mathe ist die Geometrie. Dort lernst du verschiedene Figuren und Formen kennen so wie Möglichkeiten, diese zu berechnen. Du siehst einen Spielwürfel plötzlich nicht mehr nur als Teil eines Gesellschaftsspiels, sondern auch als eine geometrische Figur mit all ihren Eigenheiten.
Diese und vieles mehr wirst du im Unterricht lernen - von der einfachen Berechnung eines Dreiecks bis hin zum komplexeren Umgang mit Vektoren oder der Trigonometrie. Schon in der Grundschule beginnt das geometrische Lernen mit einfachen Beispielen. Später werden die Themen, Funktionen und Berechnungen umfassender und du wirst in Axiome und Sätze wie den Satz des Pythagoras eingeführt.
So weit möchten wir in diesem Artikel nicht gehen. Stattdessen geht es hier um die Grundlagen und Grundbegriffe der Geometrie, die auch in der Mathematik Nachhilfe behandelt werden. Mit diesen solltest du schon viele Aufgaben und Übungen in Mathe lösen können. Außerdem schauen wir uns den Zusammenhang zum Alltag an und stellen dir einige spätere Berufsmöglichkeiten vor.
Die Grundlagen der Geometrie
Im Wesentlichen beschäftigt sich die Geometrie mit Linien, Flächen und Körpern. Streng genommen werden all diese Gebilde aus unzählbar vielen Punkten gebildet. Im Matheunterricht wirst du häufig mit Koordinatensystemen arbeiten (zweidimensional oder dreidimensional), in welchen ein einzelner Punkt anhand der Position auf der X-Achse sowie der Y-Achse angegeben wird.
Zwei Punkte bilden gemeinsam eine Strecke: Diese verläuft nur zwischen den Punkten und nicht darüber hinaus. Verläuft die Linie über einen der Punkte hinaus, handelt es sich um einen Strahl oder auch Halbgerade. Verläuft die Linie unendlich weit über beide Punkte hinaus, spricht man von einer Geraden.
Geraden, Strecken und Strahlen können sich in einem Schnittpunkt schneiden. Diesen Punkt kannst du auch als Scheitelpunkt für den zwischen den Linien gebildeten Winkel bezeichnen. Die Winkelberechnung und Winkelmessung ist ein weiterer großer Teil der Geometrie. Winkel erhalten in der Mathematik griechische Buchstaben als Namen (alpha, beta, gamma, delta...). Sie können anhand ihrer Winkelgröße klassifiziert wird. Ein auch jenseits des Geometrieunterrichts wichtiger Winkel ist der 90°-Winkel, auch rechter Winkel genannt.
Des Weiteren spielt die Berechnung von Flächen und Körpern eine große Rolle. Geometrische Flächen sind zum Beispiel ein Rechteck, ein Quadrat, ein Dreieck, ein Trapez, eine Raute oder ein Kreis. Die bedeutendsten Kennzahlen sind der Flächeninhalt sowie der Umfang.
Im Beispiel des Rechtecks mit den Seiten a und b berechnet man diese wie folgt:
- Flächeninhalt vom Rechteck: A = a * b
- Umfang des Rechtecks: U = 2 * a + 2 * b
Ein Körper ist ein dreidimensionales Gebilde. Das sind zum Beispiel Quader, Pyramiden, Zylinder, Kugeln oder Würfel. Viele der Körper bestehen an der Oberfläche aus unterschiedlichen Flächen, die sich zum Körper zusammensetzen. Den Oberflächeninhalt kannst du von den meisten Körpern daher so berechnen, dass du die Flächeninhalte der Oberfläche addierst. Neben dem Oberflächeninhalt wird in der Raumgeometrie oft auch nach dem Volumen gefragt.
Hier am Beispiel eines Quaders mit den Kanten a, b und c:
- Oberflächeninhalt: 2 * a * b + 2 * a * c + 2 * b * c
- Volumen: a * b * c
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Grundlegende Begriffe der Geometrie
Für dein Grundverständnis von geometrischen Zusammenhängen und Berechnungen findest du hier eine Definition der wichtigsten Begriffe. Einige davon haben wir im vorangegangenen Abschnitt bereits angesprochen.
- Punkt = Ein Punkt ist ein konkreter Punkt auf einer Ebene und wird oft mit einem kleinen x markiert. Anders als ein Kreis hat er keinen Flächeninhalt und keinen Umfang, es handelt sich vielmehr um eine Markierung.
- Strecke = Eine Strecke ist eine Linie zwischen zwei Punkten mit einer klar messbaren Länge. Diese Länge ist der Abstand zwischen den Punkten.
- Strahl = Ein Strahl beginnt in einem Punkt und verläuft von dort als gerade Linie bis ins Unendliche. Er wird auch als Halbgerade bezeichnet.
- Gerade = Eine Gerade ist eine gerade Linie, die bis ins Unendliche verläuft. Sie wird an keiner Seite durch einen Punkt begrenzt. Zwei Punkte sind ausreichend, um eine Gerade zu definieren.
- Schnittpunkt = Ein Schnittpunkt ist der Punkt, in dem sich zwei Geraden, Halbgeraden oder Strecken treffen bzw. kreuzen.
- Winkel = Die zwei sich kreuzenden Linien bilden miteinander vier Winkel, von denen jeweils zwei gleich groß sind. Außerdem kann ein Winkel auch von zwei in demselben Punkt beginnenden Strahlen oder Strecken gebildet werden. Es gibt spitze Winkel, stumpfe Winkel, rechte Winkel, überstumpfe Winkel, gestreckte Winkel, Nullwinkel und Vollwinkel.
- Orthogonale = Eine Orthogonale ist eine Gerade, die im rechten Winkel zu einer zweiten Gerade verläuft. Sie wird auch als Normale bezeichnet. Die beiden Geraden bilden miteinander vier rechte Winkel.
- Parallele = Eine Parallele verläuft, wie der Name sagt, parallel zu einer anderen Gerade. Das bedeutet, dass die beiden Geraden sich in keinem Punkt treffen, sondern unendlich weit parallel zueinander verlaufen.
- Radius = Ein Radius ist der Abstand von der Kreislinie zum Mittelpunkt des Kreises.
- Durchmesser = Der Durchmesser ist der Abstand zwischen zwei genau gegenüber voneinander liegenden Punkten auf der Kreislinie. Der Durchmesser verbindet die beiden Punkte und verläuft durch den Kreismittelpunkt. Es handelt sich um das Doppelte des Radius.
Geometrie im Alltag
Wenn du im Matheunterricht mit der Geometrie in Kontakt kommst, fragst du dich vielleicht hin und wieder (wie häufig in Mathematik), was das Ganze mit deinem Alltag zu tun hat. Die Antwort lautet: jede Menge!
Denn letztendlich besteht unsere gesamte Welt aus geometrischen Gebilden. Jede zweidimensionale Fläche und jeder dreidimensionale Gegenstand kann geometrisch beschrieben und berechnet werden.
In der Realität verlaufen natürlich nicht alle Linien und Kanten in geraden Linien. Daher ist die Berechnung von realen Flächen und Körpern häufig eher eine Annäherung als eine konkrete Berechnung. In der Schule und im Studium wirst du dieses etwas komplexere Thema vielleicht etwas anreißen.
Aber davon mal abgesehen, gibt es zahlreiche Beispiele, wo du - wissentlich oder unwissentlich - geometrisches Verständnis im Alltag anwendest. Hier eine kleine Auswahl:
- Wenn du dich mit einem Freund oder einer Freundin verabredest, macht ihr wahrscheinlich einen Treffpunkt aus. Dieser Treffpunkt kann als Punkt gesehen werden.
- Die Flächenberechnung hilft dir häufig im Haus und Garten. Wenn du den Flächeninhalt eines Raums bestimmst, kannst du planen, wie viele Fliesen du für den Boden benötigst. Der Flächeninhalt einer Wand lässt dich abschätzen, wie viel Farbe du schätzungsweise zum Streichen brauchst. Und der Umfang des Gartens legt fest, wie viele Meter Gartenzaun du kaufen musst.
- Du wirst sie zwar nicht selber bauen, dennoch sind die Pyramiden aus Ägypten ein eindrucksvolles Beispiel für geometrische Körper in der Architektur.
- Das Volumen von Gegenständen ist relevant beim Kochen: Wenn du eine Tasse Milch für den Kuchenteig brauchst, spielt es eine Rolle, wie groß das Volumen dieser Tasse ist. Das Gleiche gilt, wenn du abschätzen möchtest, welche Dose groß genug für die Reste deiner Suppe ist.
Geometrie im Berufsleben
Du liebst Geometrie und möchtest in einem Job arbeiten, bei dem du dein geometrisches Wissen anwenden kannst? Klasse, denn die Auswahl an passenden Berufen ist groß. Es gibt sowohl Ausbildungsberufe als auch solche, für die du studieren musst.
Ausbildungsberufe sind zum Beispiel diese hier:
- Geomatiker*in
- Bauzeichner*in
- Vermessungstechniker*in
Und für diese Berufe ist ein Studium an einer Hochschule oder Universität unabdinglich:
- Architekt*in
- Bauingenieur*in
- Raumplaner*in
Vielleicht lässt du dich auch einfach in einer Berufsberatung über weitere Möglichkeiten aufklären. Die Geometrie ist natürlich meist nur ein Teil deiner Arbeit und deines benötigten Wissens. Wenn du dich ausschließlich mit der Geometrie beschäftigen möchtest, kannst du natürlich auch in die Lehre gehen - und entweder als Lehrer*in oder als Professor*in mit Schülern und Schülerinnen oder Studierenden dein Wissen teilen.
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