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Besondere Zahlen in der Mathematik: Alles über Null, i und e!

Von Bertine, veröffentlicht am 25/10/2019 Blog > Nachhilfe > Mathe > Besondere Zahlen in der Mathematik

Die Mathematik erfordert manchmal ein gewisses Maß an Abstraktion, schliesslich wird mit unendlichen Zahlen gerechnet. Und mit der Unendlichkeit hat unser Gehirn so seine Schwierigkeiten…

Die gute Nachricht zuerst: Die Schülerinnen und Schüler in Deutschland erzielen in Mathematik über dem Pisa-Durchschnitt liegende Leistungen. Rund 11% der Schülerinnen und Schüler in Deutschland gehören im Bereich Naturwissenschaften zur Kategorie der besonders leistungsstarken Schüler – immerhin drei Prozentpunkte mehr als der Pisa-Durchschnitt.

Die schlechte Nachricht: Sozial und finanziell besser gestellte Schüler(innen) in Deutschland schneiden im Bereich Naturwissenschaften um durchschnittlich über 30 Punkte besser ab als sozioökonomisch benachteiligte Schüler(innen).  Das entspricht einem Vorsprung von einem Schuljahr!

Aus welchen Gründen auch immer Du in Mathe nur Bahnhof verstanden hast, in diesem Artikel erklären wir Dir, was an diesen besonderen Zahlen so besonders ist.

Für viele ist Mathematik ein Buch mit sieben Siegeln – aber das muss nicht sein! | Quelle: Pixabay

Unter all den Zahlen, die in der Geschichte der Mathematik besonders interessant sind, befindet sich die Zahl Null.

Heutzutage kommt es uns ganz normal und natürlich vor, eine Null oder sogar negative ganze Zahlen zu sehen, spätestens bei der Wettervorhersage im Winter…

Die Geschichte der Zahl Null ist jedoch eine lange Geschichte: Es gibt sie, so wie wir sie heute kennen, erst seit dem 13. Jahrhundert!

Und was haben die Mathematiker des antiken Griechenlands ohne Null gemacht?

Für die alten Griechen – Pythagoreer und andere berühmte griechische Mathematiker (Thales, Euklid, Archimedes usw.) – gab es keine Null und man kann nicht beschreiben, was nicht existiert.

Die Griechen des 5., 4. und 3. Jahrhunderts v. Chr. hatten schlicht und einfach kein Zeichen für die Leere, die Nichtigkeit, das Nichts in ihrem Numerierungssystem.

Die Null wurde zur Zeit der Babylonier geboren, wo sie erstmals dazu diente, die Leere zwischen Zahlen zu materialisieren und eine Positionsfunktion zwischen Zahlen zu finden: Eine Null zwischen 7 und 5 bedeutet die Zahl 705. Weder die Griechen und Römer noch die Chinesen kannten zu dieser Zeit eine Null.

Unsere heutige Null verdanken wir der indischen Mathematik.

Brahmagupta, ein hinduistischer Mathematiker, veröffentlicht 628 das Brahma Sphuta Siddhanta, eine astronomische Abhandlung, die die Null als Subtraktion einer Zahl von sich selbst definiert (x – x = 0).

Erst Jahrhunderte später griffen arabische Mathematiker die Null der Inder auf. Über ihre Schriften gelangte dann die Ziffer Null im Mittelalter nach und nach auch in das Zahlensystem der Europäer.

Im 12. Jahrhundert beschäftigte sich der indische Mathematiker Bashkara mit der Division durch Null. Er schlug vor, dass das Ergebnis der Division einer Zahl durch Null unendlich sei. Und wenn wir eine gegebene Zahl durch eine sehr kleine Zahl dividieren, ist das Ergebnis eine sehr grosse Zahl. Je kleiner der Nenner, desto grösser das Ergebnis.

Hindu-Gelehrte untersuchten daher die Dezimalzahlen, und hielten dabei fest, dass das Intervall von 0 bis 1 in eine Unendlichkeit von Dezimalstellen unterteilt ist.

Die Geschichte der Null beginnt in Europa dank des Italieners L. Fibonacci, der Liber Abaci herausgibt, ein arithmetisches Werk, das das mathematische Wissen der damaligen Zeit, einschließlich das der arabisch-muslimischen Welt, zusammenfasst.

Null, die Inkarnation der Leere, die Abwesenheit jeglicher Quantität, hat viele kulturelle, populäre und philosophische Bedeutungen.

Das One World Trade Center steht anstelle des World Trade Centers – das nennt man “bei Null anfangen”. | Quelle: Pixabay

Hier einige Dinge, die die Zahl Null symbolisiert:

  • keinerlei Wert
  • umsonst
  • ungültig
  • Neubeginn

Ausserdem begegnet uns die Null auch häufig im alltäglichen Sprachgebrauch: „Null Uhr“ bedeutet Mitternacht, die “Stunde Null” ist eine Metapher für den Beginn der Nachkriegszeit in Deutschland. Die Null kommt ausserdem in vielen Redensarten vor wie “etwas bei null anfangen”, “eine Null sein”, “Nullnummer”, “null und nichtig”… Selbst der Beginn unserer Zeitrechnung wird häufig als „Jahr null“ bezeichnet.

Aber warum sagen wir im Deutschen “null” und in vielen anderen Sprachen “zero”?

Das Wort “Zero” kommt aus dem Arabischen und wurde erst im Italienischen, dann im Französischen und schließlich im Englischen gebräuchlich. Die deutsche Bezeichnung stammt vom lateinischen Wort “nullus” (= keiner).

Die Null ist neutral und die einzige Zahl, die man mit jeder beliebigen Zahl multiplizieren kann – das Ergebnis wird immer Null sein.

Definition und Verwendung der Zahl “e” in der Mathematik!

Die Zahl “e“? Was soll das sein?

Man nennt sie auch die Eulersche Zahl und ihr Symbol ist das “e“!

Seit wann ist “e” eine Zahl, fragst Du Dich? | Quelle: Pixabay

Sie ist eine Konstante, die in der Analysis und allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik eine wichtige Rolle spielt. Die Zahl “e” ist eine transzendente und somit auch irrationale reelle Zahl und Basis des natürlichen Logarithmus sowie der (natürlichen) Exponentialfunktion. Sie gehört zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik.

Sie wurde vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler 1731 definiert.

Die Geschichte der Zahl e

Im Gegensatz zu rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung als periodisch bezeichnet wird, hat die Zahl e unendlich viele Dezimalstellen, die keine logische Reihenfolge haben.

Das Verhältnis 2/7 ist zum Beispiel gleich 0,285714285714285714 …

Unter allen Dezimalstellen nach dem Komma zeigt die Demonstration die sich wiederholende Sequenz 285714, die bis ins Unendliche reproduziert wird.

Heute wissen wir, dass e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957 … ist.

Der Mathematiker Gerald Hofmann konnte am 3. Januar 2019 die Existenz von 8.000 Milliarden Dezimalstellen nach dem Komma nachweisen und damit den bisherigen Rekord von 5.000 Billionen Dezimalstellen aus dem Jahr 2016 übertreffen.

1614 veröffentlichte John Napier Mirifici logarithmorum canonis descriptio, ein Mathematikwerk, das die Erstellung von Logarithmen vorstellt, ein Werkzeug zur Vereinfachung von in der Astronomie verwendeten Trigonometrieberechnungen.

Heute können unsere Taschenrechner und Computer den Wert der algorithmischen Berechnung mit einem Klick anzeigen und heute kann auch jeder Mathematiklehrer seinen Schülern logarithmische Funktionen beibringen, aber zu der damaligen Zeit war dies noch nicht der Fall.

Die Arbeit von John Napier bestand darin, eine Addition anstelle einer Multiplikation machen zu können, eine Subtraktion anstelle einer Division und eine Division durch 2 zu machen, statt eine Quadratwurzel zu ziehen: Das ist der Zweck des Logarithmus.

Anfangs hatten die Logarithmentafeln 8 Dezimalstellen.

Wenn 103 = 10 x 10 x 10 = 1000, dann log (1000) = 3 und wenn 10x = y dann log (y) = x.

So weit, so gut. Aber in welcher Beziehung steht das zu der Zahl e?

Nun, dank ihr kann man bestimmen, für welchen Wert der natürliche Logarithmus – ln (x) – gleich 1 ist.

Die Geschichte der Zahl e bedeutet 400 Jahre Geschichte der Mathematik!

Der Mathematiker Jakob Bernoulli (1654-1705) – der Erfinder der berühmten gleichnamigen Zahlen – versucht, die Gewinne eines Silberschmieds mithilfe von Zinseszinsen zu maximieren.

Er stellt fest, dass die im Jahr berechneten Zinsen niedriger sind als bei einer monatlichen Schätzung, und sie sind sogar noch konsistenter, wenn sie täglich berechnet werden: Durch eine Demonstration entdeckte er die Zahl e.

Die bernoullischen Zahlen sowie das nach ihm benannte und von ihm bewiesene Gesetz der großen Zahlen besagt:

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperiments die relative Häufigkeit eines Ergebnisses (bzw. Erfolges) um mehr als eine beliebig vorgegebene reale Zahl ε (mit ε>0) abweicht, strebt mit wachsendem n gegen null.

Leonhard Euler, der die Zahl e als Ausdruck der Exponentialfunktion theoretisierte, indem er auf eine kontinuierliche Fraktionsentwicklung zurückgriff, war übrigens Bernoullis Schüler.

Die Verwendung der Zahl e

Ist die Zahl e die Basis für die numerische Revolution? | Quelle: Pixabay

Heute begegnet uns die Zahl e in mathematischen Problemen, bei der Suche nach einem Polynom, in Differentialgleichungen, bei der Berechnung von Flächen geometrischer Figuren usw.

Informatik und künstliche Intelligenz haben sich – um die Grenzen der Augmented Reality zu erweitern – die Konstante e zunutze gemacht, besonders, um Algorithmen zu entwickeln, deren Rechenleistung die Kapazitäten der menschlichen Reflexion übersteigt.

Da e zur Abschätzung einer exponentiellen Größe dient, finden wir diese Konstante in der Demographie und in der Ökonomie, um das exponentielle Wachstum einer Population abzuschätzen, in der Biologie, um die Zellteilung zu erklären, in der Physik sowie in der Informatik.

Für Dich ist die Mathematik nach wie vor ein Buch mit sieben Siegeln oder umgekehrt: Die Mathematik fühlt sich von Dir grausam abgelehnt?

Verschiedene Webkanäle erklären online sehr anschaulich die wichtigsten Prinzipien der Mathematik:

  • YouTube.com
  • Studyhelp.de
  • spektrum.de
  • Mathe-seite.de
  • learnity.com

Wofür braucht man die Zahl i in der Mathematik?

Eine weitere interessante Zahl: die imaginäre Zahl i.

i steht für “imaginär” – so schafft man unwirkliche Lösungen für unmögliche Gleichungen. | Quelle: Pixabay

Wenn wir wissen, dass in der Mathematik das Quadrat einer relativen Zahl positiv ist – zum Beispiel 4² = 16 -, dann wissen wir, dass die Quadratwurzel von x die Zahl ist, die im Quadrat gleich x ist (die Quadratwurzel von 16 ergibt 4).

Wir können jedoch keine Quadratwurzel aus negativen Zahlen extrahieren, da das Quadrat einer Zahl unabhängig von ihrem Vorzeichen ein positives Ergebnis liefert.

Um dieses mathematische Problem zu lösen, wurde eine reine imaginäre Zahl erfunden.

Die Zahl namens i ermöglicht es also, die Extraktion der Quadratwurzel einer reellen Zahl in Betracht zu ziehen: Die Wurzel von -4 = 2i.

Nach den Vorzeichenregeln – das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv – ist das Quadrat von -1 positiv, da -1² = (-1) x (-1) = 1 ist.

Die Quadratwurzel von -1 wäre eine Zahl, die im Quadrat gleich -1 ist: Es gibt sie also nicht!

Sind wir in einer Sackgasse?

Nein, weil Mathematiker zum Glück einfallsreich waren: Sie haben die Quadratwurzel der Zahl -1 notiert.

Also ist i die Zahl, deren Quadrat -1 ist und deren algebraische Notation i² = -1 ist.

Die Geschichte dieser imaginären Zahl stammt aus dem 16. Jahrhundert, als Gerolamo Cardano (1501-1576) versucht, eine Gleichung dritten Grades zu lösen: Die komplexen Zahlen entstehen in der mathematischen Sprache.

Die damalige mathematische Forschung versucht, unwirkliche Lösungen für unmögliche Gleichungen zu finden.

Es ist Leonard Euler – schon wieder! – , der 1777 die Bezeichnung i erfand, um Zahlen zu qualifizieren, die als unmöglich oder imaginär gelten.

Die Mathematiker Johann Carl Friedrich Gauß (1777-1855) und Augustin Louis Cauchy (1789-1857) erweitern seine Arbeit um die reinen imaginären Zahlen und ermöglichen, sie neben den reellen Zahlen in die Berechnungen einzubeziehen.

Da die Zahl i es ermöglicht, Gleichungen zu lösen, die in einer reellen Menge keine Lösung haben, erweitert sie die Möglichkeiten in der Mathematik ganz erheblich!

Jede Gleichung, deren Ergebnis negativ ist, hat keine Lösung in der Menge der natürlichen Zahlen (zum Beispiel die Gleichung x – 10 = -20 = -10), sondern ist nur in der Menge der relativen Zahlen lösbar.

Die Zahl i ermöglichte so wichtige Fortschritte in der physikalischen Forschung, besonders auf dem Gebiet der Elektrizität und dort insbesondere bei der Entwicklung der Leiterplatte für Computer!

Wofür dient die Zahl Pi?

π definiert das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser. Die Zahl wird verwendet, um den Umfang und die Fläche eines Kreises zu berechnen.

Pi ist ungefähr gleich 3,1416, aber Forscher schätzen, dass es mehr als 12 Billionen Dezimalstellen gibt!

Pi bleibt ein Rätsel für die Wissenschaftler und ist immer noch Gegenstand vieler Forschungen. Pi ist eine irrationale und transzendente Zahl (nicht-algebraisch).

Sie wird hauptsächlich in der Geometrie, aber auch in Wahrscheinlichkeitsrechnungen, Statistiken und anderen Bereichen der Mathematik verwendet.

Was ist der “goldene Schnitt” in Mathematik?

Auch als “göttlicher Anteil” oder “goldener Anteil” bezeichnet, definiert die mit dem griechischen Buchstaben φ (phi) bezeichnete Goldzahl das Verhältnis a / b zwischen zwei Längen a und b.

Wie Pi ist es eine irrationale Zahl, die der eindeutigen Lösung der Gleichung x2 = x + 1 entspricht.

Sein Ursprung geht auf die Pyramiden von Cheops zurück und wurde ursprünglich in der Geometrie verwendet. Der erste Text, der den goldenen Schnitt erwähnt, wurde jedoch von Euklid im Jahr 300 vor Christus verfasst, aber es scheint, dass Platon selbst ihm eine Studie gewidmet hat.

Später wird er mit der Fibonacci-Folge in Zusammenhang gebracht und wird erst im zwanzigsten Jahrhundert ein Synonym für perfekte, symmetrische Schönheit.

Der Begriff wird in der Geometrie und in der Arithmetik verwendet, ist aber überall dort präsent, wo es um Schönheit und Perfektion geht.

Was sind Primzahlen?

Eine Primzahl ist eine natürliche Ganzzahl, die nur zwei unterschiedliche Teiler zulässt: 1 und sich selbst. Daher sind 0 und 1 keine Primzahlen.

Der Satz von Euklid hat gezeigt, dass es unendlich viele von ihnen gibt. Es ist daher unmöglich, sie alle zu kennen. Um Dir zu helfen, ist hier eine Liste der 25 Primzahlen zwischen 0 und 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Es ist möglich, dank des sogenannten Primzahlsiebs des griechischen Mathematikers Eratosthenes von Küren (235 vor Christus) mehr Primzahlen zu erkennen.

Darüber hinaus gibt es besondere Primzahlen wie Primzahlzwillinge von Pythagoras, von Mersenne und von Fermat.

Was sind perfekte Zahlen?

Eine perfekte Zahl ist eine natürliche Zahl, bei der die Summe ihrer richtigen Teiler der Zahl selbst entspricht.

Sie sind stark mit den Primzahlen von Mersenne verwandt. Perfekte Zahlen sind ziemlich selten: Wir kennen bislang nur 50, davon nur drei zwischen 0 und 1000: 6, 26 und 496.

Wissenschaftler können zum heutigen Zeitpunkt nicht sagen, ob es ungerade perfekte Zahlen gibt.

Es gibt also noch mathematische Abenteuer, auf die Du Dich begeben kannst!

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