Wann ist eine Zahl eine Primzahl?

Eine Primzahl ist eine natürliche ganze Zahl, die nur zwei positive eindeutige Teiler zulässt: 1 und sich selbst. Nach dieser Definition sind 0 und 1 keine Primzahlen, da 0 durch alle positiven ganzen Zahlen teilbar ist und 1 nur durch eine einzelne positive ganze Zahl teilbar ist. Einige Mathematiker betrachteten 1 als Primzahl, aber diese Theorie wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts verworfen. Eine ganze Zahl hat keine Anteile hinter einem Komma. Ganze Zahlen sind also alle natürlichen Zahlen inklusive der Zahl Null (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 usw.) und auch diese Zahlen mit einem Minuszeichen davor (-1, -2, -3, -4, -5, -6 usw.). 23% der Gymnasiasten haben Probleme mit Mathematik. Private Nachhilfestunden in Form von Unterricht zu Hause oder Mathe Nachhilfe online und ein wenig Neugier können Abhilfe schaffen. Vielleicht bist Du ja aus Neugier auf diesen Artikel gestoßen? Dann bleib' doch bei uns! Es wird spannend und bei uns wird es nie langweilig! Denn wir beschäftigen uns auf unserem Blog nicht nur mit weiteren besonderen Zahl der Mathematik genauer, sondern auch mit dem Thema der Mathematik im Allgemeinen sowie mit vielen weiteren Fächern rund um die Thematik Lernen. Die Zahl Pi, Algebra und Logarithmusfunktionen können dir in Zukunft dank unserer Hilfe also nichts mehr anhaben! In diesem Artikel wollen wir mehr über Primzahlen erfahren!

Woher weiß man, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Primzahlen gehören zu den Grundlagen der Arithmetik. Sicher bist Du ihnen in der fünften oder sechsten Klasse zum ersten Mal begegnet. Es gibt viele Anwendungen für Arithmetik und insbesondere für Primzahlen, insbesondere im Ingenieurwesen. Je nachdem, was Du also beruflich einmal machen willst, wirst Du Dein ganzes Leben lang mit diesem mathematischen Begriff konfrontiert sein.

Was sind Primzahlen? Die Liste von Primzahlen ist unendlich lang, so wie die Liste von Zahlen. Wir wissen dank Euklid seit der Antike, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Wenn man eine Anfangszahl und eine Endzahl bestimmt, dann kann man die Primzahlen in dieser Reihe bestimmen: In der Reihe von 0 bis 100 gibt es beispielsweise 25 Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Diese Liste kann man sich relativ leicht merken. Wie, das erklären wir später. Der Divisions-Algorithmus Die ersten Methoden zur Berechnung von Primzahlen werden Primzahltests genannt und basieren auf der Division der Zahl durch alle Zahlen, die kleiner sind als die Quadratwurzel der gewählten Zahl:

• Wenn sie durch eine von ihnen teilbar ist, handelt es sich nicht um eine Primzahl,
• Wenn sie durch keine von ihnen teilbar ist, ist sie eine Primzahl.

Allerdings ist dieser Algorithmus langwierig und viele Divisionen sind nutzlos, insbesondere die durch 4, wenn die Zahl nicht durch 2 teilbar ist. Das Sieb des Eratosthenes Das Eratosthenes-Sieb ist ein Verfahren, das systematisch alle Primzahlen aus einer Liste von Zahlen bestimmt, die kleiner oder gleich einer bestimmten Zahl sind. Möglicherweise hast Du diese Methode in der Schule gelernt. An dieser Stelle frischen wir also Deine  Erinnerung etwas auf:

• Wir beginnen mit der Bildung der Liste der ganzen Zahlen von 2 bis n (im Beispiel 120).
• Eine Zahl ist eine Primzahl, wenn sie die erste Zahl der Reihe ist, die noch nicht durchgestrichen ist (Spoiler-Alarm: die erste ist immer eine 2).
• Dann musst Du alle Ganzzahlen durchstreichen, die durch Multiplikation mit der Zahl 2 entstanden sind, beginnend mit ihrem Quadrat,
• Die beiden Schritte müssen wiederholt werden, bis wir nach den Vielfachen von Zahlen suchen, die größer sind als die Quadratwurzel von n (hier 120).

Die Quadratwurzel von 120 entspricht ungefähr 10,9. Und da eine Demonstration besser ist als tausend Worte, ist hier ein Beispiel:     Andere Algorithmen, um eine Primzahl zu finden Es gibt andere Möglichkeiten, um eine Primzahl zu bestimmen, beginnend mit einer Variante des Eratosthenes-Siebs, dem Sundaram-Sieb. Das Sieb von Sundaram besteht aus einer Liste der ganzen Zahlen von 1 bis n . Aus dieser Liste werden alle Zahlen der Form i + j + 2 ij entfernt. Dabei gilt

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Die verbleibenden Zahlen werden verdoppelt und um eins erhöht, um eine Liste ungerader Primzahlen (also alle Primzahlen außer 2) unter Angabe 2 n + 2 zu erhalten. Es gibt aber noch weitere Methoden, darunter:

• Das Sieb von Atkin
• Probabilistische Primzahltests
• Der Lucas-Test
• Die AKS-Methode
• Probedivision
• Fermatscher Primzahltest
• Der Miller-Rabin-Test

Es gibt Primzahlen, die durch bestimmte Besonderheiten definiert sind. Die Primzahlen von Pythagoras Manchmal werden die Primzahlen der Form 4n + 1 (mit n, natürliche Ganzzahl) Primzahlen von Pythagoras genannt. Zum Beispiel ist 5 eine solche Pythagoras-Primzahl. Eine ungerade Primzahl ist eine Pythagoras-Primzahl, wenn es sich um die Summe zweier Quadrate handelt. Die Primzahlen von Mersenne Die Primzahlen dieser Form, in der p eine natürliche ganze Zahl ist, werden Mersenne-Primzahlen genannt. 50 Primzahlen von Mersenne sind bisher bekannt, aber weitere werden nach wie vor nach dem Lucas-Lehmer-Primtest gesucht. Die letzte bekannte Primzahl wurde im Januar 2018 entdeckt. Vielleicht findest Du ja die nächste!?

Die Primzahlen von Fermat Zahlen der Form   gelten als Fermat-Zahlen. Die F₅  wird jedoch nur als Semi-Primzahl betrachtet, da sie durch 641 teilbar ist. Forscher setzen ihre Suche nach einer weiteren Fermat-Zahl fort. Primzahlzwillinge Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Zum Beispiel sind 3 und 5 Zwillinge, 5 und 7 Zwillinge und 11 und 13 Zwillinge, aber es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge. Auch e ist eine Zahl übrigens - ja eine ZAHL und nicht nur ein Buchstabe. Was das genau bedeuten soll, erklären wir gerne! Ebenso verhält es sich mit der Zahl i - Buchstabe und Zahl in einem!

Wofür brauchen wir Primzahlen?

Primzahlen haben mehrere Verwendungen. Bei einer Bruchrechnung erleichtert die Primfaktorzerlegung die Aufgabe und kann zur Vereinfachung einer mathematischen Formel beitragen.

Primzahlen galten lange als rein mathematischer Bereich. Dies änderte sich jedoch in den 1970er Jahren mit der Einführung neuer Kryptografiesysteme. Bis dahin basierte die Kryptografie zum Ver- und Entschlüsseln einer Nachricht auf ein und demselben Schlüssel. Das bezeichnete man als symmetrische Kryptographie. Ende der 1970er Jahre wurde aufgrund der Eigenschaften von Primzahlen und der Faktorisierung ein asymmetrisches Kryptografiesystem entwickelt. Darin werden zwei Schlüssel verwendet: Einer zum Verschlüsseln, der andere zum Entschlüsseln. Das Produkt aus zwei großen ganzen Zahlen (200 Stellen) wird für den Schlüssel verwendet, der nummeriert. Und um den Schlüssel zum Entschlüsseln zu berechnen, muss man seine Primfaktoren kennen. Mit diesem System werden noch heute digitale Signaturen erstellt. Die Primzahlen ermöglichten es außerdem, arithmetische Probleme zu lösen wie den Zwei-Quadrat-Satz, den Vier-Quadrat-Satz oder das quadratische Reziprozitätsgesetz. Darüber hinaus findet man sie in Gauß-Ganzzahlen und Eisenstein-Ganzzahlen. Es gibt sogar auch eine goldene Zahl!? Was sich dahinter verbirgt, erfährst Du auch bei uns.

Wie kann man sich Primzahlen merken?

Mit bestimmten Techniken kann man sich jede reelle Zahl merken. Die geht es trotz unserer Erklärungen so wie dem Herr auf dem unterstehenden Bild? Kein Problem! Vielen geht es so und Nachhilfe Mathe kann Abhilfe schaffen! Nachhilfeunterricht findet in Deutschland vor allem in Mathematik statt und hilft jährlich Tausenden von Schülern, die Noten in Mathematik zu verbessern und den Stoff zu festigen.

Gedächtnisforscher haben erkannt, dass man, um sich eine Reihe von Zahlen, zum Beispiel die ersten 25 Primzahlen, zu merken, die Sinne ansprechen und seine Emotionen nutzen muss. Ein guter Trick ist also, all die Zahlen in Geschichten zu verpacken, die Du Dir gut merken kannst. So nutzt Du das, was im Gedächtnis am besten funktioniert – die bildliche Erinnerung. Wenn Du in ein fremdes Haus kommst, weißt Du nach einem Rundgang durch die Räume, was wo ist. Weil man sich am besten an Sachen erinnert, die mit starken Gefühlen verbunden sind, erfinden Gedächtniskünstler skurrile und auffallende Bilder zu jeder einzelnen Zahl, mit denen sie dann eine ganze Geschichte spinnen. Versuchs doch mal mit der perfekten Zahl! Diese gibt's tatsächlich! Sie wird auch "vollkommene Zahl" genannt. Dazu fällt Dir bestimmt ein gutes Bild oder eine passende Geschichte ein. Lasse Deiner Fantasie freien Lauf, indem Du Geschichten aus Bildern erstellst! Wenn Du Dir Wörter besser merken kannst als Zahlen, kannst Du jeder Zahl von 0 bis 100 ein Wort zuzuordnen und Sätze mit diesen Wörtern bilden. Aber ehrlich gesagt ist es wichtiger, die Primzahlen bestimmen zu können, als zu versuchen, sie auswendig zu lernen. Es sei denn, Du möchtest Freunde und Familie beeindrucken! Kennst Du die Formeln, um Primzahlen schnell zu finden?