Mach Dir keine Sorgen, wenn Du Schwierigkeiten in Mathe hast, ich kann Dir versichern: Meine sind viel größer!

 – Albert Einstein (1879-1955)

Mathematik lernen - Algebra (wozu zum Beispiel die imaginäre Zahl i gehört), Geometrie, Trigonometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Logarithmen, Exponentialfunktion usw. - ist ein Horror für viele Schüler.

Nur 62 Prozent der Viertklässler in Deutschland erreichen den Regelstandard. Tendenz fallend.

Wenn 40 Prozent der Schüler also bereits am Ende der Grundschule den Anschluss verlieren, ist es kein Wunder, dass die Zahl e für viele ein recht abstraktes Konzept darstellt...

Du hast vielleicht schon einmal etwas von der Zahl Pi gehört? Dass e eine Zahl sein soll, ist Dir jedoch fremd? Wir helfen weiter! Übrigens auch mit Erklärungen für jede weitere besondere Zahl der Mathematik!

Was versteht man in der Mathematik unter "e"?

Die Zahl e ist eine irrationale Zahl, das heißt eine nicht zählbare Zahl, deren Anzahl der darin enthaltenen Nachkommastellen unendlich ist und deren Nachkommastellen ohne logische Folge aufeinander folgen.

Die Zahl "e" ist die Grundlage für den Logarithmus. | Quelle: Pixabay

Sie ist also das Gegenteil einer rationalen Zahl, deren Dezimalentwicklung als periodisch bezeichnet wird, einem Quotienten aus zwei ganzen Zahlen, deren Dezimalschreiben unendlich sein kann, in diesem Fall aber notwendigerweise periodisch.

Wir erklären:

Das Verhältnis 2/7 = 0,285714285714285714 ...

Die Nachkommastellen sind eine logische und wiederkehrende Folge von Dezimalstellen.

Die häufigsten irrationalen Zahlen sind die Zahl π (3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582 ...), die seit der Antike von Wissenschaftlern erforscht wurde, und eben die Zahl e.

Die Zahl e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957 ..., hat heute über 5.000 Billionen Dezimalstellen (bewiesen am 29. August 2016 von Ron Watkins).

Sie tauchte erstmals im 17. Jahrhundert mit der Entwicklung der Logarithmen im Rahmen der Forschungsarbeit des schottischen Mathematikers John Napier (1550-1617) auf.

In seinem Nachschlagewerk aus dem Jahr 1614 stellt Napier ein Hilfsmittel zur Vereinfachung mathematischer Berechnungen vor: Den Logarithmus, der Dir im Mathematiklehrplan der Oberstufe begegnet.

Im 17. Jahrhundert gab es natürlich keine Taschenrechner und Computer. Komplizierte Berechnungen mussten schriftlich ausgeführt werden und daran arbeitete die mathematische Forschung.

Bereits im 3. Jahrhundert v. Chr. hatte Archimedes bemerkt, dass es dank der Potenzen (dem Exponenten) ausreichte, die Zahlen zu addieren, um bestimmte Zahlen zu multiplizieren.

Napiers Methode bestand darin, die Arbeit von Archimedes durch die Entwicklung einer Methode zu erweitern, bei der Additionen anstelle von Multiplikationen, Subtraktionen anstelle von Divisionen und Divisionen durch 2 anstelle von Extraktionen aus Quadratwurzeln durchgeführt werden.

Die ersten Tabellen der Dezimallogarithmen mit 8 Dezimalstellen wurden geboren.

Wenn beispielsweise 103 = 10 x 10 x 10 = 1000 dann ist log(1000) = 3 und wenn 10x = y dann ist log(y) = x

Die Zahl e ermöglicht es zu wissen, für welchen Wert der natürliche Logarithmus gleich 1 ist.

Wenn ln (x) = y, dann ist x = exp (y) oder exp (1) = e.

Es gibt sogar auch eine goldene Zahl!🥇 Was sich dahinter verbirgt, erfährst Du auch bei uns.

Die Geschichte der Zahl e 

Ende des 17. Jahrhunderts wird die Zahl e als Grundlage des natürlichen Logarithmus definiert und später durch die Beziehung ln (e) = 1 charakterisiert.

Wie berechnet man Zinseszinsen? | Quelle: Pixabay

Der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (1654-1705) möchte den Höchstwert der Zinsen für Kredite ermitteln und greift dafür auf die Zinseszinsmethode zurück: Indem er den ursprünglich eingezahlten Zinsbetrag so weit wie möglich addiert, maximiert man seinen Gewinn .

Bei einer Ausleihe von 1 € zu einem Zinssatz von 100% und einer jährlichen Berechnung der Kapitalverzinsung beträgt die Verschuldung zum Jahresende 2 €. Bei einer monatlichen Berechnung erhalten wir jedoch zum Jahresende 2,61 € und bei einer täglichen Zinsberechnung 2,71 €.

Bernoulli merkt jedoch, dass der Zinseszins stagniert, wenn man die Häufigkeit der Zinsberechnungen erhöht: Der sekündlich errechnete Zinssatz ist der gleiche wie der tägliche Zinssatz: 2,71 €.

Durch diese Demonstration entdeckte Bernoulli die Zahl e.

Es ist der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783), der sich wenig später zunächst für die Zahl e interessiert, deren Name dem Anfangsbuchstaben des Wortes "Exponential" entnommen ist. Man nennt sie aber auch "die Eulersche Zahl".

Euler demonstriert 1737 die Irrationalität der Zahl e anhand einer kontinuierlichen Bruchentwicklung.

Er bestimmt die Entwicklung der Reihe e durch Faktorisierung, in dem Wissen, dass 4! = 1 x 2 x 3 x 4 -, so dass: e = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1 / k!

Je mehr wir den Wert von k erhöhen, desto mehr nähert sich der erhaltene Wert e an.

Auch Null ist übrigens eine Zahl - ohja! - erfahre auch mehr über die Zahl 0!

Wofür braucht man die Zahl e heute?

Die erste Verwendung der Zahl e war, obwohl sie nicht wirklich theoretisiert wurde, die Suche nach dem maximalen Gewinn durch das Erhöhen der Häufigkeit der Berechnung der Zinssätze für einen Kredit: die Zinseszinsmethode in kontinuierliche Weiterentwicklung, von Jakob Bernoulli.

Kann man mit der Zahl e den Wachstum der Weltbevölkerung berechnen? | Quelle: Pixabay

Seit der Arbeit von Euler hat die Anzahl der bekannten Dezimalstellen stetig zugenommen, selbst exponentiell.

Sie stieg von 18 Dezimalstellen, die 1748 bekannt waren, auf 2.010 im Jahr 1949, dann auf 116.000 im Jahr 1978, auf 10 Millionen im Jahr 1994, auf 1,25 Milliarden im Jahr 1999 und erreichte im Jahr 2016 sage und schreibe 5 000 Milliarden Dezimalstellen!

Warum? Wie ist das möglich?

Es sind die Rechenleistungen unserer Computer, die immer performanter werden und Rechnungen erstellen können, die weder das menschliche Gehirn noch altmodische Computer leisten können.

Okay, toll, aber was soll das?

Wenn man sich als Schüler auf das Abitur vorbereitet und dafür Mathe paukt, hat man oft den Eindruck, dass viele Matheübungen nutzlos sind und man sie im richtigen Leben niemals brauchen wird.

All diese Quadratwurzeln, Differentialgleichungen, Herleitungen, Exponentialfunktionen, der Logarithmus, die komplexen Zahlen...

Und dann auch noch eine Zahl, die "e" heisst! Wofür brauchst Du die?

Einfach erklärt, brauchst Du die Zahl e jedes Mal, wenn Du eine Exponentialgröße schätzen möchtest:

  • In der Wirtschaft: Um den exponentiellen Wachstum zu berechnen oder für die Berechnung der laufend gezahlten Zinsen.
  • In der Biologie: Um die Vermehrung lebender Zellen in einem Organismus zu messen,
  • In den Naturwissenschaften
  • In der Informatik.

Hier ist eine kleine Textaufgabe, die den Nutzen der Zahl e verdeutlicht:

Wie lässt sich die Entwicklung der Weltbevölkerung in 100 Jahren abschätzen, wenn wir von einem Wachstum von 10% pro Jahr und einer anfänglichen Bevölkerung von 1.000 Personen ausgehen?

So solltest Du vorgehen :

  • Erstes Jahr (1000 x 1,1) = 1 100,
  • Zweites Jahr (1100 x 1,1²) = 1 210,
  • Fünftes Jahr (1 000 x 1,1 Exposant 5) = 1 610,
  • Nach 100 Jahren : (1 000 x 1,1 Exposant 100) = 13 780 612.

Nach unserem Beispiel wurde die Bevölkerung mit einem Bevölkerungswachstum von 10% pro Jahr mit 13.780 multipliziert!

Bei einer Weltbevölkerung von 7,55 Milliarden im Jahr 2019 und einem Bevölkerungswachstum von 1,2 Prozent pro Jahr wären wir folglich in 100 Jahren 24,88 Milliarden Menschen auf der Erde!

Glücklicherweise mildert der demografische Übergang diese Exponentialrechnung ab...

Wenn Du Mathe-Liebhaber bist, ist für Dich sicherlich jede Zahl perfekt, tatsächlich gibt es jedoch auch eine Zahl die sich wirklich so nennt! Also "perfekte Zahl" oder auch "vollkommene Zahl" genannt.

Wie lerne ich, mit "e" zu rechnen?

Logarithmische Berechnungen, seien es der natürliche Logarithmus und die Exponentialfunktion, die Grenzen einer Funktion oder die Ableitung, verwenden häufig die Zahl e, die für einen Schüler zugegebenermassen komplex erscheinen mag.

"Verstehst Du, was da vorne geredet wird?" | Quelle: Pixabay

Wenn Du Probleme in Mathe hast und privater Nachhilfeunterricht (zB. Mathe Nachhilfe) zu Hause zu teuer ist, findest Du online kostenlose Kurse (zB. Mathe Nachhilfe online) und Übungen, die Dir helfen, Mathe endlich zu kapieren.

Hier sind einige:

  • schlaukopf.de

Hier ist das Material nach Klassen und Niveau geordnet. So findest Du schnell, was Du brauchst.

  • frustfrei-lernen.de

Hier findest Du kostenlos Lernübungen, Arbeitsblätter, Lernvideos und vieles mehr.

  • schlauerlernen.de

Hier gibt es interaktive Übungsaufgaben für Oberstufenniveau.

Darüber hinaus gibt es zahlreiche YouTuber, die in ihren Kanälen Mathe so erklären, dass man es versteht. Zu den besten gehören:

  • Mathe by Daniel Jung

Hier findest Du allein zur Eulerschen Zahl gleich drei Videos!

  • Lehrerschmidt
  • Mathe mit Moh

Die Eulersche Zahl hat sogar ihren eigenen Song!

Von Primzahlen hast Du aber sicher schon einmal etwas gehört, oder? Wenn Du Dir nun denkst "gehört schon aber was war das nochmals genau?," kein Problem, wir geben Dir eine kleine Auffrischung!

 

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Bertine

Ich bin studierte Ethnologin und Politikwissenschaftlerin, schreibe leidenschaftlich gerne und interessiere mich besonders für Sprachen, fremde Kulturen, Geschichte und Handwerk.