"Schon die Mathematik lehrt uns, dass man Nullen nicht übersehen darf." – Gabriel Laub, Journalist und Satiriker

Die Zahl 0 wird gemein eher als negativ angesehen. Oft steht sie für "absolut nichts", sei es in Bezug aufs Konto oder den Wissensstand.

Und wenn man zu jemandem sagt: "Du bist eine Null", ist das auch nicht gerade ein Kompliment.

Wir finden, dass der durchaus interessanten Zahl 0 damit Unrecht getan wird, denn sie hat durchaus eine traditionsreiche und spannende Geschichte, und ihre Bedeutung muss keinesfalls immer negativ sein.

Hier ist also unsere kleine Einführung in die Zahl 0, ihre Geschichte und ihre Verwendung!

Übrigens erklären wir noch mehr besondere Zahlen der Mathematik. Ob, Primzahlen, vollkommene Zahlen oder die Zahl Pi, wir helfen weiter!

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Null: eine jahrtausendealte Geschichte

Die Einführung der Null in das Zahlensystem, um die Abwesenheit von Gegenständen oder Mengen darzustellen, wurde von unseren Vorfahren nicht ohne einen gewissen Widerstand vorgenommen.

Seit wann gibt es in der Mathematik die Zahl 0?
So begabt sie auch waren: Die Griechen rechneten noch ganz ohne Null. | Quelle: Slices of Light via Visualhunt

Heute lernt jede*r Schüler*in die Zahl 0 in der Grundschule zusammen mit den natürlichen ganzen Zahlen.

Es erscheint daher ganz logisch, die 0 sowohl als Ziffer zum Markieren einer Vakuumposition als auch als Zahl zum Ausdrücken einer Nullmenge zu setzen.

Unsere Null dient unter anderem dazu, die positiven Zahlen von den negativen Zahlen abzugrenzen.

Aber das war nicht immer so, denn das Nichts schriftlich darzustellen, passte nicht zu der philosophischen und religiösen Auffassung vergangener Zivilisationen. Die Mathematik hat also in der Vergangenheit für Aufregung gesorgt!

Die alten Griechen hielten das, was existiert, für "eins", aber es fehlte ihnen die Fähigkeit der Abstraktion, schriftlich darzustellen, was nicht vorhanden ist.

Für den Mathematiker Aristoteles beispielsweise existierten Leere und Unendlichkeit nicht.

Daher hatten die Griechen kein Schriftsystem, das Null in ihre Nummerierung einbezog, da die Leere ihr rationales Verständnis von Zahlen übertraf.

Später werden die babylonischen Seleukiden (in der Zeit Alexanders des Großen im 4. und 3. Jahrhundert v. Chr.) eine Lücke verwenden, um zwischen zwei Zahlen eine Stelle ohne Wert darzustellen. Also 3 5 statt 305.

Während des 1. Jahrtausends n. Chr. verwendeten die Maya die Null ebenfalls als Platzhalter zwischen Zahlen.

Die Null als vollwertige Zahl, mit der addiert, subtrahiert und multipliziert werden kann, wurde erstmals in Indien verwendet.

Schon gewusst, dass es sogar eine goldene Zahl gibt?🥇 Was sich dahinter verbirgt, erfährst Du auch bei uns.

Die Null: Ein Meilenstein in der Geschichte der Mathematik

Die Geschichte der Mathematik ist gespickt mit Blockaden und sukzessiven Entdeckungen, je nachdem, wie wichtig diese oder jene Religion war oder wann Wissenschaftler leistungsfähigere Werkzeuge erfanden, um in der Arithmetik, Algebra oder bei der Entwicklung eines Theorems voranzukommen.

Wer hat die Null erfunden?
Die Inder verwendeten die Zahl Null als erste und mit den gleichen Regeln wie heute. | Quelle: Pixabay

Erst im 5. Jahrhundert tauchte die Null als eigenständige Zahl auf: Hindus, die den Kosmos als ein bis ins Unendliche reichendes Universum darstellten, erfanden die Null – sunya, was auf Sanskrit "leer" bedeutet – und nutzten sie nach den gleichen Regeln, wie wir sie heute kennen.

Brahmagupta veröffentlichte im Jahr 628 Brahma Sphuta Siddhanta, eine Abhandlung zur Astronomie, die die Null als das Ergebnis einer Subtraktion einer Zahl von sich selbst definiert (x - x = 0).

Die Hindus erfanden also die erste Gleichung mit dem Ergebnis 0!

Es muss gesagt werden, dass für Buddhisten und Hinduisten das Konzept des Nichts von grundlegender Bedeutung ist, um ins Nirvana zu gelangen. Die Darstellung des Nichts war für buddhistische und hinduistische Wissenschaftler daher nur ein relativ kleiner Schritt.

Allmählich spezifizieren Mathematiker die mathematischen Eigenschaften der Zahl Null, indem sie versuchen, sie zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren – oft vergeblich.

Ob man Zahlen durch die Zahl Null teilen kann, ist eine häufige Frage, auf deren Antwort wir später noch genauer eingehen. (Spoiler Alert: Die Antwort lautet Nein.)

Schon Hindu-Mathematiker entdeckten, dass je näher der Divisor an Null liegt, desto weiter bewegen wir uns vom Dividenden weg: Sie entdeckten, dass die Null eng an das Unendliche gebunden ist – daher die Eigenschaft, dass 1 : x unendlich ergibt!

Aber das ist noch nicht alles: Beim Versuch, die 1:0-Division zu lösen und das Unendliche zu erforschen, entdeckten die Inder auch die Existenz von Dezimalzahlen!

Die Null der Hindus als Repräsentation von Leere und Unendlichkeit wird von den Arabern übernommen, die sie im 7. Jahrhundert in viele Teile der Erde verbreiten.

Wenn die westliche Welt behauptet, dass sie arabische Ziffern verwendet, werden also tatsächlich indische Zahlen verwendet!

Das arabische Wort für "Null" oder "Nichts" ist "sifr" – daher das deutsche Wort Ziffer, das französische chiffre und auch das englische cypher (was im mathematischen Kontext übrigens nicht nur  als "Ziffer", sondern teilweise auch als "Null" übersetzt wird).

Die Zahl 0 taucht im 12. Jahrhundert in Europa auf – die arabische Sprache, die im muslimischen Spanien gesprochen wird, sowie arabische Mathematiker haben die Zahl eingeführt.

Aber die römisch-katholische Kirche ist zurückhaltend, misstrauisch und trotzig und tut sich schwer damit, einzugestehen, dass es eine Möglichkeit gibt, die Abwesenheit von etwa – die Null, die Leere und das Unendliche –schriftlich darzustellen.

Das vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci (1175-1250) eingeführte arabische Wort sifr wird ins Lateinische zephirum übersetzt und dann allmählich zu zephiro, zeuero, cero (Spanisch), zero auf Englisch oder zéro auf Französisch. Die deutsche "Null" kommt vom Italienischen nulla, was "nichts" bedeutet und wiederum aus dem Lateinischen kommt (nullus).

Interessierst Du Dich für die 0?
Nicht umsonst sind Mathematiker*innen seit Jahrhunderten fasziniert von der Null. | Quelle: Unsplash

Das System der Dezimalzahlen bereichert die Berechnungen und erleichtert auch den internationalen Handel: So tragen die Kaufleute dazu bei, die Null in die Nummerierung einzufügen, obwohl die Kirchenvertreter die Verwendung der Null verboten haben, die das Nichts darstellt, die Inkarnation des Teufels.

Im Jahr 1202 veröffentlichte Leonardo Fibonacci, der durch Afrika, den Nahen Osten, Griechenland und Ägypten gereist war, das Liber Abaci, ein Werk, das alle bekannten mathematischen Kenntnisse der damaligen Zeit zusammenfasste.

Übrigens ist auch e eine Zahl – also nicht nur ein Buchstabe, sondern auch eine Zahl. Was das genau heißen soll, erklären wir gerne! Genauso verhält es sich mit der Zahl i – Buchstabe und Zahl in einem!

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Die verschiedenen Symbole der Zahl Null

Null bedeutet nicht nur den Punkt der Trennung zwischen negativen und positiven Ganzzahlen, sondern auch die Abwesenheit von Quantität (Einheit, Zehner, Hunderter usw.).

Die Zahl 0 hat nicht nur eine mathematische Bedeutung, sondern auch eine philosophische, religiöse oder kulturelle.

In der Tat symbolisiert die 0 wie schon erwähnt das Nichts, die Leere, manchmal auch das Chaos und den Teufel.

Die Ziffer 0 kennzeichnet oft aber auch den Zustand des Wertlosen, Kostenlosen (zum Beispiel 0 €) oder Unendlichen.

Sie stellt den Ursprung aller Dinge dar (das "Jahr Null", die "Stunde Null") und ist aufgrund ihrer Kreisform auch ein Symbol für Einheit und Ewigkeit.

Was bedeutet die Ziffer Null?
Vier Menschen, die sich die Hand reichen, formen eine Null – dabei sind sie als Einheit stärker. | Quelle: Pixabay

Paradoxerweise existiert das Jahr 0 in unserem Gregorianischen Kalender nicht: Wenn das Jahr -1 in das Jahr 1 übergeht, gibt es lediglich einen Punkt 0 in unserer Ära, der der Geburt Jesu Christi entsprechen soll.

Hier sind noch weitere Bedeutungen, die mit Null verbunden sind:

  • Erneuerung, ein neuer Anfang
  • Sicherheit, durch die runde und geschlossene Form
  • Fruchtbarkeit, Weiblichkeit, der Fötus
  • Perfektion
  • Der Zyklus, die Regeneration

Die Null kommt außerdem in vielen gängigen Ausdrücken vor:

  • null und nichtig
  • die Stunde Null
  • Temperaturen unter Null
  • eine totale Null
  • Null Komma nichts
  • bei Null anfangen
  • Nullnummer

Ausdrücke mit dem Wort "Null" können abwertend oder positiv sein. Sie bedeuten einen Neuanfang, etwas Positives, etwas nicht Vorhandenes oder etwas Schlechtes.

Das ist ganz normal: Auch in der Mathematik kann diese Zahl verschiedene Bedeutungen haben.

Wenn Du Mathe-Liebhaber bist, ist für Dich sicherlich jede Zahl perfekt, in der Tat gibt es aber auch eine Zahl die sich tatsächlich so nennt! Die sog. "perfekten Zahlen" bzw. "vollkommene Zahlen".

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Einige mathematische Eigenschaften der Null

In der Mathematik sind einige Eigenschaften dieser Zahl nicht so offensichtlich, wie es zunächst scheint.

Null ist eine Kardinalzahl, die die leere Menge repräsentiert. Es ist die kleinste natürliche ganze Zahl. Sie ist die einzige reelle Zahl, die weder positiv noch negativ ist.

Sie ist der einzige Wert, der ein unverändertes Ergebnis liefert, wenn er subtrahiert oder zu einem anderen addiert wird: 10 + 0; 10-0, 1 + 0 + 2 + 0 + 3 = 1 + 2 + 3 usw.

In den Multiplikationstabellen ist sie die Zahl, die, wenn sie mit einer anderen Zahl multipliziert wird, das Ergebnis zu einer Nullmenge macht.

Wie nah sind null und unendlich?
Ein Wolkenkratzer scheint unendlich hoch zu sein. Unendlich ... also null? In der Mathematik ist das nur ein kleiner Unterschied. | Quelle: Pixabay

Du hattest immer schon Schwierigkeiten mit der Mathematik (weil Du vielleicht eher so der Deutsch- oder Englisch-Typ bist?) und Dein Kind kann nicht die einfachste Aufgabe lösen, die eine Null beinhaltet?

Keine Panik, es ist nie zu spät!

Genau wie für andere Fächer (z.B. Deutsch, Englisch, Physik) gibt es eine Vielzahl von Möglichkeiten, Mathematik zu lernen: Mithilfe von Online-Kursen, Mathe Nachhilfe vor Ort oder online per Webcam mit unseren Nachhilfelehrer*innen auf Superprof oder auch YouTube-Tutorials.

Ein Kind sollte keine Angst vor der Mathematik haben. Mathematik kann spannend und interessant sein und Spaß machen. Wenn man lernt, auf spielerische Art und Weise mit der Null zu jonglieren, werden sich die Noten schnell verbessern!

Von Primzahlen hast Du aber sicher schon mal gehört, oder? Wenn Du Dir nun denkst "ja aber was war das nochmal genau?", kein Problem, wir geben Dir eine kleine Auffrischung!

Division mit 0 – Ist durch 0 teilen möglich?

Wie wir nun also erklärt haben, fasziniert die Null schon seit Jahrhunderten verschiedenste Mathematiker und Gelehrte. Im Zusammenhang mit dieser natürlichen Zahl (ja, die Null wird je nach Definition zu den natürlichen Zahlen gezählt) gibt es Fragen über Fragen.

Und eine der wichtigsten bzw. häufigsten Fragen im Zusammenhang mit der Null ist, ob man andere Zahlen durch 0 teilen kann. Oder anders gefragt: Kann die Null in einem Bruch unten stehen, also der Divisor sein (0/0, 0:0 oder auch 1/0, 1:0 usw.)?

Die Antwort ist einfach: Nein. Du glaubst uns nicht? Dann versuch doch mal, auf einem Taschenrechner irgendeine beliebige Zahl durch 0 zu teilen oder einen Bruch mit einer 0 als Divisor einzugeben. Du wirst sehen, dass Dir kein Ergebnis angezeigt wird, sondern eine Fehlermeldung à la "Fehler", "error", "NA" oder ähnlich.

Doch warum ist das so?

Teilen durch 0 unmöglich – Erklärung aus dem Alltag

Bevor wir zu mathematischen Erklärungen und Beispielen kommen, gehen wir die Sache erstmal rein logisch und alltagstauglich an: Das Teilen durch Null ist einfach schon deshalb nicht möglich, weil wir es uns von unserem Mengenverständnis her nicht vorstellen können.

Denn was bedeutet denn eigentlich teilen "im echten Leben", also wenn man sich mal wegbewegt von der abstrakten der Welt der Mathematik und Definition, der Uni und Mathe-Fakultät und anschaut, wozu diese Rechenoperation eigentlich in der Praxis gut ist?

Das beliebteste Beispiel ist immer ein Kuchen, der in eine bestimmte Anzahl verschiedener Teile aufgeteilt werden soll. Stellen wir uns also einfach mal so einen richtig leckeren Apfelkuchen vor.

Da es sich um einen Kuchen handelt, ist der Dividend (die Zahl oben im Bruch) eine 1. Die Zahl unten im Bruch (der Divisor) ist die Zahl der hungrigen Mäuler. Also wie viele Personen wollen Kuchen essen? In viele Stücke muss ich den Kuchen schneiden?

Und da sollte das Problem schon offensichtlich werden. Wenn niemand Kuchen essen will, der Divisor also 0 wäre, kann der Kuchen ja auch gar nicht geteilt werden.

Und wenn man dann sagt: "Na gut, dann bleibt der leckere Apfelkuchen halt einfach ganz", geht das auch nicht auf, denn dann wäre er ja eigentlich durch 1 geteilt, denn 1:1 ergibt 1, also einen ganzen Kuchen.

Division durch null unmöglich – mathematische Erklärung

Doch in der Mathematik kommt es öfter vor, dass Dinge abstrakt erklärbar sind, auch wenn es kein passendes Alltagsbeispiel gibt.

Deswegen haben sich Mathematiker*innen auch nicht vom Kuchenbeispiel abbringen lassen und trotzdem versucht, eine Möglichkeit oder Definition zu finden, wie man durch 0 teilen kann.

Aber auch das hat nicht gefruchtet, denn es gibt auch mathematische Gründe, warum das Teilen durch 0 keinen Sinn ergibt.

Es gibt viele Beispiele, von denen wir uns mal zwei exemplarisch anschauen wollen.

Gegenprobe

Für jede Teilrechnung, also Division, kann man eine Gegenprobe durchführen, also den Rückwärtswert berechnen. Dabei nutzt man gegenteilige Rechenoperationen, z.B. Addition und Subtraktion: 4+6 = 10. Gegenprobe: 10-6 = 4.

Wie Du bestimmt weißt, kann man die Gegenprobe einer Division mit einer Multiplikation berechnen: 8:2 = 4. Gegenprobe: 4x2 = 8.

Wir haben zwar schon verraten, dass das Teilen durch null nicht möglich ist, aber um mal eine Arbeitshypothese zu haben, die man mit der Gegenprobe berechnen bzw. überprüfen kann, könnte man zwei Gleichungen aufstellen, die zumindest mal plausibel klingen, und zwar: 8:0 = 0 oder 8:0 = 8.

Führt man nun für beide Rechnungen die Gegenprobe durch, also 0x0 = 0 und 0x8 = 0, erhalten wir als Ergebnis stets eine Null und keine 8. Die Gegenprobe war somit nicht erfolgreich, das Teilen durch 0 führt zu keinem korrekten Ergebnis.

Annäherung an 0Eine weitere Idee ist, die Zahl, durch die man teilt, immer weiter der 0 anzunähern, um herauszufinden, wie sich die Rechenoperation verhält.

Man teilt also durch Zahlen wie "null komma null null null eins" und fügt dabei an immer mehr Komma-Stellen eine 0 ein. Dadurch ergibt sich eine immer höhere Zahl.

Der Grenzwert für das Teilen durch 0 sähe dann so aus:

\lim_{x\to 0}\frac{n}{x}\;=\;\infty

Auch dies bestätigt, dass Teilen durch 0 nicht möglich ist. Je weiter wir uns Null nähern, desto größer wird der Quotient (also das Ergebnis): Wenn Du z.B. 1 durch 0,01 teilst, erhältst Du als Ergebnis 100. Wenn Du 1 durch 0,0000001 teilst, ist das Ergebnis 1.000.000.

So kann man dieses Spiel unendlich weiter spielen, indem man der Dezimalzahl immer mehr Nullen hinzufügt und ganz am Ende eine 1 stehen lässt, damit die Zahl eben nicht 0 wird.

Das Problem: Die Unendlichkeit ∞ ist keine Zahl. Wenn wir also durch 0 teilen würden und entsprechend die Unendlichkeit als Ergebnis definieren würden, hätten wir wieder das Problem, dass wir mithilfe der inversen Rechenoperation Multiplikation nicht auf den Ausgangswert zurückkommen.

Wie Du siehst, gibt es also mindestens schon diese zwei Beispiele, die belegen, dass das Teilen durch 0 schlicht nicht möglich ist. Ich bin mir sicher, dass Mathematiker*innen an der ein oder anderen Mathe-Fakultät noch eine unbestimmte Anzahl an weiteren Gegenrechnungen darlegen könnten (und zwar unabhängig davon, ob sie Deutsch, Englisch, Französisch oder Farsi sprechen).

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Was ergibt null hoch null?

Schauen wir uns eine weitere Frage an, die oft im Zusammenhang mit der Zahl 0 und in der Mathe Nachhilfe online oder im Unterricht vor Ort gestellt wird: Was ist null hoch null, also 00 bzw. 0^0?

Im Gegensatz zur Frage, ob man durch 0 teilen kann, kann die Frage nach dem Ergebnis von null hoch null (0= ?) nicht eindeutig beantwortet werden.

Im Folgenden wollen wir euch einige Überlegungen bzw. Hypothesen zu diesem Problem darlegen.

Option 1: 00 = 1

Man könnte argumentieren 00 = 1, weil für jede Zahl gilt: a0 = 1. Dafür spricht auch das Permanenzprinzip, das besagt, dass schon bestehende Regeln und Definitionen wenn möglich auch beim vorliegenden Problem angewendet werden sollen.

Weil also sowieso schon gilt:

  • 30 = 1
  • 20 = 1
  • 10 = 1

... wäre 00 = 1 eine logische Fortführung dieser Regel.

Option 2: 00 = 0

Andere vertreten eher die Auffassung, 00 müsse 0 sein, weil für null hoch eine beliebige Zahl die Null herauskommt: 0n = 0. Warum das so ist, lässt sich leicht erkennen, wenn man ausschreibt was "hoch" eigentlich bedeutet, nämlich:

  • 03 = 0·0·0
  • 02 = 0·0
  • 01 = 0

Dementsprechend könnte man folgern: 00 = 0.

Was ist Null hoch Null?
Die Null ist aus unserem Alltag nicht mehr wegzudenken. | Quelle: Unsplash

Option 3: 00 = nicht definiert

Weil sich die Optionen 1 und 2 gegenseitig widersprechen und somit keine Eindeutigkeit vorliegt, plädieren manche Mathematiker*innen dafür, 0^0 als nicht definiert festzulegen (so wie das Teilen durch 0).

Einige Taschenrechner arbeiten entsprechend auch mit dieser Option und zeigen wie beim Teilen durch 0 ein "MATH ERROR" bzw. "- E -" oder "Fehler" usw. an.

Du studierst an einer Mathematik-Fakultät und hast selbst ein mathematisches Problem zu lösen, bei dem Dir 0 hoch 0 unterkommt?

Dann werden Dir manche empfehlen, die Option zu verwenden, die für das vorliegende mathematische Problem sinnvoll ist.

Häufig ist das 00 = 1. Oder vielleicht bist Du in der Informatik tätig? Dann weißt Du sicher, dass sich in dieser Disziplin 00 = 1 durchgesetzt hat, und Du nicht weiter überlegen musst, womit weiter an Deinem mathematischen Problem arbeiten willst.

Kleiner Tipp: Du kannst 0^0 auch mal bei Google eingeben und schauen, was dabei herauskommt. ;)

Was ist die Fakultät von 0?

Zum Schluss wollen wir uns noch eine weitere Frage im Zusammenhang mit der Ziffer 0 ansehen, und zwar: Was ist 0 Fakultät, also 0! ?

Du erinnerst Dich gerade gar nicht mehr, was "Fakultät" in der Mathematik überhaupt bedeutet? Kein Problem, wir klären Dich auf.

Dafür musst Du aber wissen, was natürliche Zahlen sind. Erinnerst Du Dich? Natürliche Zahlen sind alle ganzen Zahlen ab 1 (je nach Definition inkl. 0). Also die Zahlen, die wir ganz "natürlich" zum Zählen verwenden: 1, 2, 3, 4, 5, 6 usw.

Nicht dazu zählen Dezimalzahlen (also Zahlen mit Komma-Stellen) und negative Zahlen (also -1, -2, -3 usw.).

n! (n Fakultät) bedeutet nun, dass man alle natürlichen Zahlen bis und einschließlich n miteinander multipliziert. Also z.B.:

  • 1! = 1
  • 2! = 1x2 = 2
  • 3! = 1x2x3 = 6
  • 4! = 1x2x3x4 = 24
  • usw.

Bei der Fakultät von 0 stellt sich jetzt natürlich die Frage, was das sein kann, weil man ja eigentlich keine natürliche Zahl davor hat, die man mit 0 multiplizieren könnte. Und selbst wenn, müsste das ja eigentlich 0 ergeben.

Nun, hier können wir uns leider nicht auf unseren nicht-mathematischen Alltagsverstand verlassen, denn Mathematiker*innen haben definiert: 0! = 1.

Ein Argument dafür ist, dass es bei der Fakultät darum geht, wie viele Möglichkeiten es gibt, die miteinander zu multiplizierenden Zahlen anzuordnen, und es gibt eben genau eine Möglichkeit, 0 anzuordnen.

Aber das scheint auch kein sehr überzeugendes Argument zu sein, weshalb man vielleicht einfach akzeptieren muss, dass man es halt einfach so definiert hat und es gut funktioniert.

Und mit diesem etwas unbefriedigenden Fazit kommen wir zum Schluss dieses Artikels. Wir hoffen, er war interessant für Dich, und dass Du jetzt nicht nur etwas besser über die Zahl 0 Bescheid weißt, sondern sie auch etwas faszinierender – und nicht nur negativ – findest!

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Bertine

Ich bin studierte Ethnologin und Politikwissenschaftlerin, schreibe leidenschaftlich gerne und interessiere mich besonders für Sprachen, fremde Kulturen, Geschichte und Handwerk.