Mathematik wirklich zu verstehen, ist für viele Schüler nicht einfach: Von Logarithmus zur Exponentialfunktion, von der Algebra bis zur Geometrie bis hin zu der Zahl Pi - es ist nicht immer leicht, zu sehen, wofür wir das alles eigentlich brauchen!

Das liegt auch daran, dass der Mathematikunterricht nicht immer so konkret ist, wie er vielleicht sein sollte: Nehmen wir als Beispiel die Zahl i, die zu den irrationalen Zahlen der Algebra gehört und deren Verwendung zunächst recht komplex erscheint ist. Aber keine Panik: Wir erklären sie hier Schritt für Schritt, so dass jeder sie verstehen kann! Denn ja, i ist nicht nur ein Buchstabe, sondern genauso wie die eulersche Zahl e.

Und ja, es gibt noch weitere besondere Zahlen in der Mathematik. Aber keine Panik! Wir erklären jede einzelne Schritt für Schritt.

Die Algebra, ein wichtiger Teil der Mathematik

Formeln sind kein Grund zur Panik! | Quelle: Pixabay

Ob Du willst oder nicht: Zahlen sind die Grundlage der Mathematik! Nicht alle Zahlen werden in der gleichen Weise verwendet, denn nicht alle Zahlen haben die gleichen Eigenschaften. Manche Zahlen sind komplexer als andere ... Und so unterscheiden wir allein in der Algebra zwischen unterschiedlichen Teilgebieten:

  • Die elementare Algebra
  • Die abstrakte Algebra
  • Die lineare Algebra
  • Die multilineare Algebra
  • Die kommutative Algebra
  • Die reelle Algebra
  • Die Computer-Algebra
  • Die universelle oder allgemeine Algebra
  • Die algebraische Geometrie
  • Die algebraische Zahlentheorie
  • Die homologische Algebra
  • Die algebraische Topologie

Mit anderen Worten, die Verwendung der Algebra ist sehr vielfältig. Wir können uns hier nicht mit all diesen Teilbereichen beschäftigen und das brauchen wir auch gar nicht.

Wir konzentrieren uns in diesem Artikel auf bestimmte Bereiche, wie beispielsweise imaginäre Zahlen, die ganz bestimmte und komplexe Eigenschaften haben. Also, lass uns loslegen!

In ihrer algebraischen Form werden die komplexen Zahlen folgendermaßen mit dieser Formel dargestellt:

a+ib

Die Zahl a entspricht dem Realteil, während der Teil b dem Imaginärteil entspricht.

Es muss zunächst verstanden werden, dass komplexe Zahlen sowohl reelle Zahlen als auch imaginäre Zahlen umfassen.

Genauer gesagt, finden wir die folgenden Bezeichnungen:

N = Die Menge natürlicher Zahlen,
Z = Die Menge der relativen ganzen Zahlen,
D = Die Menge der Dezimalzahlen,
Q = Die Menge der rationalen Zahlen,
R = Die Menge der reellen Zahlen,
C = Die Menge der komplexen Zahlen.

Die imaginäre Einheit i ist die Wurzel von -1.

Sehen wir uns die Vor- und Nachteile dieser faszinierenden Zahl genauer an!

Schon mal gehört, dass es sogar eine goldene Zahl gibt?🥇Was diese genau meint, erfährst Du ebenfalls bei uns.

Die Zahl i: Eigenschaften und Definition!

Die Zahl i begegnet Gymnasialschülern erst in der Oberstufe.

Die Zahl i ... was soll das sein...?

Ganz so einfach ist es nicht, aber fast. | Quelle: Pixabay

Das i wird in der Mathematik als eine komplexe Zahl definiert, deren Anwendung eigentlich einfach ist, aber die eine gewisse Fähigkeit zur Abstraktion erfordert.

Genauer gesagt:

In der Mathematik haben einige Gleichungen zweiten Grades keine echte Lösung, weil es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist.

Dies bedeutet, dass man einen Wert nicht mit sich selbst multiplizieren kann, ohne ein positives Ergebnis zu erzielen: Zum Beispiel ist 2² 4, genau wie (-2) ².

Um diese mathematische Eigenschaft zu erfassen, müssen wir in den Mathematikunterricht der 8. Klasse zurückkehren, wo wir die Regeln der Vorzeichen lernen: Plus mal Plus ergibt Plus und Minus mal Minus ergibt Plus. Plus mal Minus ergibt Minus und Minus mal Plus ergibt Minus.

Wenn nach diesen mathematischen Regeln das Produkt zweier negativer Zahlen positiv sein soll, dann schließen wir daraus, dass das Quadrat jeder Zahl, auch der negativen, positiv ist.

Daher definieren wir die Quadratwurzeln wie folgt: Die Quadratwurzel von x ist die Zahl, die, im Quadrat erhöht, gleich x ist.

Wenn n=, dann ist n² = x. Also ist  = 3.

Worauf wollen wir hinaus?

In den vielen Jahrhunderten der Geschichte der Mathematik hat die Suche nach Quadratwurzeln für negative Zahlen zur Erfindung komplexer Zahlen wie i geführt.

Die Menge der komplexen Zahlen wird als Erweiterung der Menge reeller Zahlen betrachtet, die eine imaginäre Zahl enthält, die mit i Exponent (a; b) bezeichnet ist, so dass i = Quadratwurzel von -1 und i² = -1, mit dem Quadrat von ( -i) auch gleich -1.

Das Prinzip ist, dass jede Zahl in der Form a + i b geschrieben werden kann, wobei a und b reelle, negative oder positive Zahlen sind.

Die Quadratwurzel von -4 ist also gleich 2i.

Jede Zahl der Form b i, wobei b von der Zahl 0 verschieden ist, ist eine reine Imaginärform.

Aus diesem Grund sind die Zahlen "Quadratwurzel von -4 = 2i", "Quadratwurzel von -16 = 4 i" usw. imaginäre Zahlen.

Wenn die Quadratwurzel von -1 nicht existiert, können wir keine exakten oder ungefähren Dezimalstellen wie für die Wurzeln positiver Zahlen schätzen (Beispiel: Quadratwurzel von 5 = 2.236).

Die Zahl i ist somit ein Konzept, das es erlaubt, eine ganze Familie von Quadratwurzeln aus negativen Zahlen zu konzipieren.

Zwei kleine Aufgaben, um zu überprüfen, ob Du uns folgen kannst:

  • Welche Zahl bekommen wir, wenn wir 3 im Quadrat erhöhen?
  • Welche dieser beiden Zahlen hat ein Quadrat von -16 (-4 oder 4i)?
    (Die Antworten findest Du am Ende des Artikels!)

Wenn Du ein Mathe-Freak bist, ist für Dich sicherlich jede Zahl perfekt, tatsächlich gibt es aber auch eine Zahl die sich so nennt! Genauer gesagt, "perfekte Zahl" oder auch "vollkommene Zahl" genannt.

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Die Geschichte der Zahl i

Die komplexen Zahlen tauchen im 16. Jahrhundert auf, als der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano (1501 –1576) sie einführte, um eine Gleichung dritten Grades zu lösen.

Raphael Bombelli (1526-1572 oder 1573) ist der erste Mathematiker, der Berechnungsregeln für "unmögliche Zahlen" in der Algebra ausgearbeitet hat, bei denen die ersten Eigenschaften komplexer Zahlen auftreten.

Einstein, ein Genie der Mathematik, verwendete die Zahl i, um seine Relativitätstheorie zu erstellen. | Quelle: Pixabay

Die Zahl i entstand aus der Suche nach nicht reellen Lösungen für Gleichungen dritten Grades, Polynomgleichungen mit einer Kubikwurzel.

1637 taufte der französische Philosoph René Descartes (1595-1650) diese unmöglichen Werte "imaginäre Zahlen".

Später erscheint die Bezeichnung i im Jahr 1777 nach dem Vorbild von Leonhard Euler (1707-1783) - ja, genau: Der Erfinder der Zahl e zur Berechnung der Exponentialfunktion - für die Zahlen, die er als "unmöglich" oder als "imaginär" einstuft.

Im 19. Jahrhundert werden diese komplexen, rein imaginären Zahlen, insbesondere dank der Werke von C. F. Gauss (1777-1855), als eigenständige Zahlen betrachtet.

Der Zweck von komplexen Zahlen wie e oder i, ist laut dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789-1857), "in verkürzter Form Ergebnisse darzustellen, die ziemlich komplex erscheinen", mit "einer Kombination von algebraischen Zeichen, die für sich selbst nichts bedeuten".

Da sie algebraische Berechnungen erleichtern, werden komplexe Zahlen auch in geometrischen Berechnungen eingeführt.

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Warum verwenden wir reine imaginäre Zahlen?

Die Verwendung und Anwendung komplexer Zahlen ist vielfältig, auch wenn sie einem überflüssig erscheinen, wenn man für die Abiturprüfung paukt...

Computeringenieure verwendeten die Zahl i zum Bauen von Computern! | Quelle: Pixabay

Warum gibt es also imaginäre Zahlen und wofür braucht man sie?

Die Zahl i macht es möglich, Gleichungen zu lösen, die keine echte Lösung haben.

In der Mathematik ist es ein No-Go, zu akzeptieren, dass eine Gleichung keine Lösung hat! Wo es Zahlen gibt, gibt es auch eine Lösung!

Hier sind zwei Beispiele:

  • Die Gleichung x + 8 = 1 hat keine Lösung in Mengen natürlicher Zahlen (wobei x gleich -7 ist), sondern in der Menge relativer Zahlen.
  • Die Gleichung x² = 2 (x = Wurzel von 2) hat keine Lösung in der Menge der rationalen Zahlen, aber eine in der Menge der irrationalen Zahlen.

Dank der imaginären Zahl ist es möglich, absolut alle Gleichungen zu lösen.

Die Verwendung der imaginären Zahl hat auch in der physikalischen Forschung und in der Elektrizität für Fortschritte gesorgt: Die Zahl i hat das Studium von gedruckten Schaltungen von Computern ermöglicht und ist daher die Grundlage der Computerrevolution des 20. Jahrhunderts!

Wo lerne ich die Zahl i?

Wenn Du wirklich Fortschritte in der Mathematik machen möchtest und Dich auf das Abenteuer der imaginären Zahlen, ihrer Komplexität und ihrer Abstraktion begeben möchtest, dann wirst Du sicher in den Reihen unserer Privatlehrer auf Superprof mit Mathe Nachhilfe fündig!

Derzeit sind 85.548 Professoren auf der Plattform registriert, die Dir bei Dir oder bei sich zu Hause in die spannende Welt der Mathematik einführen.

Wem es zu teuer ist, private Nachhilfestunden zu nehmen, findet auch mit Mathe Nachhilfe online sein Glück. Im Netz tummeln sich einige hilfreiche Websites, Videokanäle und Tutorials:

Khan Academy

Diese Allround-Seite für Mathematik bietet Erläuterungen zu imaginären Zahlen sowohl in der Theorie als auch im Video.

Hier erfährst Du alles über Quadratwurzeln, die Zahl i, die Quadratwurzeln einer negativen Zahl in der Menge der komplexen Zahlen, die Zahl, deren Quadrat beispielsweise -52 ist, die Potenzen von i und so weiter.

Youtube

Wenn Du einfach "Zahl i" in die Suchleiste von Youtube eingibst, erhältst Du viele Videos, die Dir helfen, die imaginäre Zahl zu verstehen, zum Beispiel Mathe by Daniel Jung.

Falls immer noch unklar ist, wie und warum man mit einer imaginären Zahl rechnet, erinnern wir an dieser Stelle noch einmal daran, dass es sich dabei lediglich um ein mathematisches Konzept handelt, das der Vereinfachung von Berechnungen dient!

Zwei Beispiele:

Frage: Welches Ergebnis erhält man, wenn man 3i im Quadrat erhöht?

Antwort: -9 (weil (3i) ² = 3² mal i² = 9 i² oder i² = -1).

oder

Frage: Welche dieser beiden Zahlen ist das Quadrat von -16, -4 oder 4i?

Antwort: 4i, weil die Wurzel von - 16 imaginär ist, also schreiben wir 4i.

Fallstudie mit der imaginären Zahl i

Um die imaginären Zahlen zu meistern, wendest Du Dich besser an Experten! | Quelle: Pixabay

Wir nehmen eine einfache Formel und erläutern hier die verschiedenen Denkschritte unter Bezugnahme auf den einleitenden Teil zur Algebra: a + bi. Die Buchstaben "a" und "b" beziehen sich auf reelle Zahlen, während sich "i" auf eine imaginäre Zahl bezieht. Wie wird die Aufgabe also berechnet?

Bei einer Addition oder Subtraktion gehen wir zur mathematischen Operation über, indem wir die Realteile und die Imaginärteile trennen.

(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i

Um eine Multiplikation mit zwei komplexen Zahlen durchzuführen, verwenden wir die Eigenschaft i2 = -1. Dabei erhalten wir folgendes Beispiel:

(2+3i)×(4+5i)=8+10i+12i+15i²=-7+22i

Für die Divisionen ist die Operation etwas komplexer.

Wir multiplizieren zuerst die beiden Zahlen mit dem "Konjugat" des 2. und vereinfachen das Ergebnis. Dies bedeutet, dass das Konjugat einer komplexen Zahl a + bi die Zahl a - bi ist. Hier ist das Beispiel:

2 + 3i durch 4 + 5i = (2 + 3i) (4-5i) durch (4 = 5i) (4 - 5i)

= 8 - 10i + 12i - 15i im Quadrat von 4 im Quadrat - (5i) im Quadrat

= 23 + 2i durch 16 + 25

= 23 durch 41 + 2 durch 41i

Wir empfehlen Dir, auf losem Papier zu üben. Das Wichtigste ist, die Regeln und die Logik dahinter zu begreifen, bevor Du Deine Berechnungen selbst durchführen kannst.

Rechnen mit reinen imaginären Zahlen

Auf Superprof wirst Du fündig! | Quelle: Superprof.de

Im Internet findest Du eine Fülle von Ressourcen zum Lernen von Mathematik. Welche Ressourcen gibt es für komplexe und imaginäre Zahlen im Netz? Hier sind einige:

  • Auf Unterricht spezialisierte Websites wie frustfrei-lernen.de, die Inhalte für Mathematik anbieten,
  • Auf Mathematik spezialisierte Websites wie Sofatutor.com,
  • Websites für die Vernetzung mit Mathematiklehrern, wie z. B. unsere Superprof-Plattform: Hier findest Du personalisierte Unterstützung, die Deinem Niveau entspricht.
  • Online-Übungsseiten in Mathematik.

Webseiten für den allgemeinen Schulstoff sind als Ressource ideal, wenn Du Mathematik-Anfänger bist und zum ersten Mal mit komplexen Zahlen zu tun hast. Die Formeln der imaginären Zahlen sind relativ einfach und die Übungen sind auf den Erwerb von Grundlagen ausgerichtet.

Um eine Ebene höher zu kommen, solltest Du Dir Webseiten ansehen, die auf Mathematik spezialisiert sind. Auf matheaufgaben.net oder mathenatur.de kannst Du auf Inhalte zugreifen, die auf Dein Niveau abgestimmt sind. Hier gibt es Aufgaben und Lösungen für Anfänger und Fortgeschrittene.

Um Dein Verständnis von reinen imaginären oder imaginären Zahlen zu vertiefen, kann es ratsam sein, einen privaten Mathematiklehrer in Anspruch zu nehmen. Warum? Weil er über fortgeschrittene Mathematikkenntnisse verfügt und Dir den Schlüssel zum Verständnis dieser komplexen Zahlen geben kann.

Menschliche Erfahrung ist von großem Wert fürs Lernen und Verstehen. Bei Superprof erfolgt die Verbindung von Schülern und Lehrern auf zwei verschiedenen Ebenen: Nach gewünschtem Niveau und nach geografischem Standort. Hier findest Du einen Lehrer in Deiner Nähe, der Dir dabei hilft, Deine Ziele in kürzester Zeit zu erreichen!

Wenn Du die Grundlagen der imaginären Zahlen verstanden hast, dann teste Dein Können einfach auf Mathe-Übungsseiten. Diese Ressource eignet sich perfekt für ein regelmäßiges Training in einer bestimmten mathematischen Disziplin wie der Algebra.

Darüber hinaus bieten Universitäten oder Vereine oft Intensivkurse in Mathematik.

Wie lernt man reine imaginäre Zahlen?

Mathe-Bücher sind eine gute Quelle zum Lernen imaginärer Zahlen. | Quelle: Pixabay

Es stimmt, dass Online-Ressourcen sehr hilfreich sein können, um die komplexen Zahlen zu entdecken und zu verstehen.

Bücher sind jedoch ebenfalls eine große Hilfe für Deine mathematischen Erkenntnisse! Nichts ist besser als ein Buch mit Erklärungen und Übungen zu komplexen Zahlen oder mathematischen Formeln. Am Prüfungstag steht Dir schliesslich auch nur Papier zur Verfügung und kein Computer! Besser, Du gewöhnst Dich gleich daran!

Hier sind einige Beispiele für Nachschlagewerke zu komplexen und imaginären Zahlen:

  • Klaus Fritzsche: Mathematik für Einsteiger
  • Yvonne Story, Rainer Schwenker: Mathematik kompakt
  • Wolfgang Walter: Analysis 1
  • Gernot Stroh: Algebra
  • Uwe Storch, Hartmut Wiese: Lehrbuch der Mathematik. Band 1
  • Frank Kretzschmar: Komplexe Zahlen für Dummies
  • Uwe Storch, Hartmut Wiese: Grundkonzepte der Mathematik

Diese Werke richten sich an Studenten, Anfänger der Mathematik sowie Liebhaber komplexer Zahlen. Sie bieten eine allgemeine Einführung in komplexe Zahlen sowie konkrete Fallstudien mit imaginären Zahlen.

Wenn Du andere Werke finden willst oder einfach aus Spaß einige Übungen machen möchtest, wirst Du auf der Webseite und dem Blog der Deutschen Mathematiker Vereinigung (DMV) fündig.

Wenn man sie einmal wirklich verstanden hat, sind komplexe Zahlen gar nicht mehr so komplex!  Und dank der vielen Ressourcen, findest Du sicher etwas Passendes für Dein Niveau und Deine Ziele.

Zögere nicht, Deine Lehrer zu fragen, hole verpassten Stoff in Nachhilfestunden nach und nutze oben genannte Ressourcen zum Lernen.

Wenn Du eine Auffrischung Deiner Kenntnisse vor einer Prüfung benötigst - ob es sich nun um Primzahlen, Geometrie oder Alegbra handelt - ist es ratsam, die Ressourcen zu multiplizieren - arbeite sowohl mit Büchern als auch online und mit Lehrern!

Jeder kann Mathe lernen, auch Du!

 

 

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Bertine

Ich bin studierte Ethnologin und Politikwissenschaftlerin, schreibe leidenschaftlich gerne und interessiere mich besonders für Sprachen, fremde Kulturen, Geschichte und Handwerk.