Wenn Du (wie ich) zu den Leuten gehörst, die Mathe nie verstanden haben, dann kommt einem allein das Konzept von "vollkommenen Zahlen" kompliziert vor...

Laut der Entdeckung des Ishango-Knochens, existiert die Mathematik seit über 20 000 Jahren. Er ist vielleicht der erste Beweis für die Kenntnis von Primzahlen und der Multiplikation, aber das Thema bleibt umstritten.

Während Mathematik für viele von uns ein Rätsel bleibt, ist sie für andere eine spannende Möglichkeit, unsere Welt zu verstehen und zu analysieren.

Ich habe diese anderen immer ein bisschen beneidet, und Du?

In diesem Artikel wollen wir die vollkommenen oder auch perfekten Zahlen näher betrachten (Spoiler-Alert: Im täglichen Leben werden sie Dir nichts bringen!).

Was versteht man unter vollkommenen Zahlen?

So geht es vielen von uns beim Anblick von Formeln... | Quelle: IMG Flip

Eine vollkommene Zahl ist eine natürliche Zahl, bei der die Summe ihrer echten Teiler der Zahl selbst entspricht. Ein echter Teiler ist ein anderer Teiler als die Zahl selbst.

Eine kleine Geschichte perfekter Zahlen

Vollkommene oder auch perfekte Zahlen stehen mit der Suche nach den Primzahlen von Mersenne in Zusammenhang. In seinem Buch "Elemente", sagt Euklid, dass 2n-1 (2n-1) eine perfekte Zahl ist, wenn die Mersenne-Zahl 2n-1 eine Primzahl ist.

Der französische Philosoph René Descartes behauptete in einem Brief an Mersenne, dass jedes perfekte Paar euklidisch ist, aber er hat seine Theorie nicht bewiesen.

Es war der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler,  der die Beobachtung von Descartes als Erster bestätigte.

Die Kombination der Ergebnisse von Euklid und Euler ermöglicht auch eine vollständige Charakterisierung vollkommener Zahlen.

Die ersten vier vollkommenen Zahlen sind seit der Antike bekannt. Sie sind in den Werken von Nikomachos von Gerasa und Theon von Smyrna zu finden. Und die fünfte perfekte Zahl wird in einem lateinischen Kodex von 1456 erwähnt.

Die sechste und siebte perfekte Zahl wurden von Cataldi im 16. Jahrhundert und die achte im Jahr 1772 von Euler gefunden.

So kannten wir zu Beginn der 1950er Jahre 12 perfekte Zahlen, aber seitdem hat sich die Forschung dank immer ausgefeilterer Techniken und Computeranwendungen in den 1990er Jahren wie GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) beschleunigt.

Aber wofür brauchen wir die perfekten Zahlen?

Wenn Primzahlen von vielen Mathematikern als Grundlage der Arithmetik angesehen werden, haben perfekte Zahlen keinen besonderen Nutzen, da sie nicht zum Lösen einer Gleichung oder einer Faktorisierung beitragen und nicht in den Bereich der Kryptographie fallen.

Sie galten zuvor als allen anderen überlegen und einige sahen in ihnen eine mystische Rolle: "Sechs ist eine perfekte Zahl für sich, nicht weil Gott alle Dinge in sechs Tagen erschaffen hat, sondern Gott hat alle Dinge in sechs Tagen erschaffen, weil diese Zahl perfekt ist." Sankt Augustin in "Die Stadt Gottes" (420 n. Chr.).

Sie gehören zu den Geheimnissen der Mathematik und die Suche nach neuen perfekten Zahlen fasziniert noch heute viele Mathematiker.

Die Vermutungen in Bezug auf die perfekten Zahlen sind zahlreich. Eine Vermutung ist eine Regel, die nie bewiesen wurde. Hier sind drei:

  • Die perfekten Zahlen von Euklid sind alle gerade, da einer der Faktoren eine Potenz von 2 ist. Im Moment beweist jedoch nichts, dass es keine ungeraden perfekten Zahlen gibt.
  • Alle bekannten perfekten Zahlen enden mit 6 oder 28, aber auch das mag nicht stimmen.
  • Es ist auch nicht bewiesen, dass es wirklich unendlich viele perfekte Zahlen gibt.
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Die Sätze zu vollkommenen Zahlen

Die Mathematik hat die Computerrevolution vorangebracht - und umgekehrt! | Quelle: Pixabay

Der Satz von Fermat von 1640: sei Mn = 2n - 1; Wenn Mn eine Primzahl ist, dann ist n eine Primzahl.

Um festzustellen, dass wenn 2n - 1 Primzahl ist, n selbst Primzahl ist, müssen wir die Behauptung beweisen, dass 2n - 1 auch zusammengesetzt ist, wenn n zusammengesetzt ist.
Sei n = ab mit a, b> 1 und der Identität xk − 1 = (x − 1)(xk-1 +xk-2 + · · · + x + 1) mit x = 2a et k = b.
Es folgt dann 2ab − 1 = (2a − 1)(2a (b-1)+2a (b-2) + · · · +2a + 1), was zeigt, dass 2n−1 = 2ab−1 zusammengesetzt ist, da als zwei Faktoren jeweils größer als 1 berücksichtigt (weil a> 1).

Der Satz von Euklid: Wenn Mn eine Primzahl ist, dann ist 2n-1 Mn eine perfekte Zahl.

Wir akzeptieren die Funktion σ (n) als Summe aller Teiler der positiven ganzen Zahl n. Eine perfekte Zahl k ist charakterisiert durch σ (k) = 2k.
Die Funktion σ hat die folgende Eigenschaft: Wenn a und b zwei natürliche Primzahlen sind, ist σ (ab) = σ (a) σ (b).

Zusätzlich: da Mn eine Primzahl ist, haben wir

  • σ(Mn) = 1 + Mn = 1 + (2− 1) = 2n ;
  • σ(2n-1) = 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n-1 = 2n − 1 = Mn.

Also ist σ(2n-1Mn) = σ(2n-1)σ(Mn) = M2= 2(2n-1Mn).

Was macht eine Zahl vollkommen?

Auf der Suche nach der vollkommenen Zahl. | Quelle: Pixabay

Perfekte Zahlen sind selten

Selbst wenn alle Mathematiker zustimmen, dass es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt (nie bewiesen), kennen wir heute nur 50, ohne auch nur sicher zu sein, dass es keine perfekten Zwischenzahlen ab der 47. Zahl gibt.

Die letzte wurde im Januar 2018 entdeckt. Die Entdeckung einer neuen sehr großen Primzahl impliziert die Entdeckung einer neuen perfekten Zahl, und genau das war bei der Zahl 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 der Fall.

Es gibt nur drei perfekte Zahlen unter 1000: 6, 28 und 496.
Eine gerade perfekte Zahl endet anscheinend mit einer 6 oder einer 8, auch wenn dies noch nie demonstriert wurde, jedoch nicht unbedingt immer abwechselnd.

Auch wenn perfekte Zahlen die Form 2n−1(2n − 1) haben, sind sie dreieckige (und sogar sechseckige) Zahlen.

Andererseits sind alle geraden perfekten Zahlen mit Ausnahme der ersten die Summe der ersten 2(n−1)/2 ungeraden Würfel. Zum Beispiel:

  • 28 = 13 + 33 ,
  • 496 = 13 + 33 + 53 + 73 ,
  • 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.

Die ersten acht vollkommenen Zahlen sind:

  • 8
  • 28
  • 496
  • 8128
  • 33.550.336
  • 8,589,869,056
  • 137,438,691,328
  • 2 305 843 008 139 952 128

Ungerade perfekte Zahlen

Zur Zeit wissen wir noch nicht, ob es ungerade perfekte Zahlen gibt.
Alle Beispiele sind gerade Zahlen, aber das bedeutet nicht, dass es keine ungerade perfekte Zahl gibt.
Obwohl die Forschung Fortschritte macht, konnte noch niemand diese Hypothese bestätigen oder widerlegen.

Carl Pomerance hat eine heuristische Methode veröffentlicht, die das Fehlen einer ungeraden perfekten Zahl nahe legt.

Eine ungerade perfekte Zahl N muss die folgenden Bedingungen erfüllen:

  • N, falls es sie gibt, muss mehr als 300 Stellen haben und größer als 101 500 sein.
  • N hat die Formel 
    wobei:
  •  qp1, … , pk verschiedene Primzahlen (Euler) sind,
  • q ≡ α ≡ 1 (Modul 4) (Euler),
  • Der kleinste Primfaktor von N ist kleiner als (2k + 8) / 3,
  • Die Beziehung e1 ≡ e2 ≡ ... ≡ ek ≡ 1 (Modul 3) ist nicht erfüllt,
  • qα > 1062 ou pj2ej > 1062 für mindestens ein j,
  • N ist kleiner als 24k+1
  • Wenn ei ≤ 2 für alle i:
  • der kleinste Primteiler von N ist mindestens 739,
  • α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12),
  • Der größte Primteiler von N muss größer als 108 sein.
  • Der zweitgrößte Primteiler von N muss größer als 104 und der dritte Primteiler muss 100 sein.
  • N muss mindestens 101 Primteiler und mindestens 10 verschiedene Primteiler haben.
  • Wenn 3 kein Teiler von N ist, hat N mindestens 12 verschiedene Primteiler.

Wenn sie existieren, ist keine ungerade perfekte Zahl durch 105 teilbar. Außerdem kann keine Fermat-Zahl vollkommen sein.

Superperfekte und pseudovollkommene Zahlen

Als ob alles nicht schon kompliziert genug wäre, gibt es auch noch superperfekte Zahlen! | Quelle: Pixabay

Innerhalb der perfekten Zahlen gibt es auch superperfekte Zahlen.
Sei versichert, dass kaum eine Chance besteht, dass Du jemals nach ihnen gefragt wirst. Wenn Du jedoch neugierig bist, findest Du hier einige Informationen:

Eine natürliche Zahl n wird als superperfekte Zahl bezeichnet, wenn die Summe der Teiler der Summe ihrer Teiler doppelt so groß ist wie die ursprüngliche Zahl n. Für superperfekte Zahlen gilt also σ(σ(n)) = 2 × n. 2 ist also superperfekt, da σ(2) = 1 + 2 = 3 und σ(3) = 1 + 3 = 4 = 2 × 2.

Die ersten superperfekten Zahlen sind 2, 4, 16, 64, 4.096, 65.536, 262.144 ... alles Zahlen, die sich in der Form 2n schreiben lassen.

Ist 2n eine gerade superperfekte Zahl, ist 2n+1 - 1 eine Mersenne-Primzahl. Da beispielsweise 64 superperfekt ist, muss 26+1 - 1 = 127 also eine Mersenne-Primzahl sein. Umgekehrt leitet sich aus jeder Mersenne-Primzahl eine gerade superperfekte Zahl ab.

Eine natürliche Zahl heißt pseudovollkommene Zahl, wenn die Summe von echten Teilern der Zahl - aber nicht notwendiger alle echten Teiler - sonst wäre sie ja vollkommen - die Ausgangszahl ergibt. Die vollkommenen Zahlen sind also auch pseudovollkommenen Zahlen.

Es gibt noch weitere mathematische Kuriositäten.

Kenntnisse der superperfekten oder pseudovollkommenen Zahlen helfen Dir im Mathematikunterricht in der Schule nicht viel weiter. Konzentriere Dich dort lieber auf Brüche, die euklidische Division, Logarithmus oder Geometrie.

Aber wer weiss, vielleicht wird aus Dir ja ein grosser mathematischer Forscher...

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Bertine

Ich bin studierte Ethnologin und Politikwissenschaftlerin, schreibe leidenschaftlich gerne und interessiere mich besonders für Sprachen, fremde Kulturen, Geschichte und Handwerk.