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Mathe & ihre unglaublichen Phänomene

Von Lea, veröffentlicht am 24/01/2018 Blog > Nachhilfe > Mathe > Mathematische Paradoxe im Überblick

Mit den ganzen arabischen Ziffern und komischen Buchstaben kommt einem die Mathematik ab und zu ganz schön Spanisch vor!

Mathe könnte man als den GGT (Größter Gemeinsamer Teiler) in unserem Schulsystem bezeichnen.

Viele von Euch sind sicherlich unglaublich neidisch auf die wenigen Genies, die die Wissenschaft eher als ein Spiel betrachten – das ihnen auch noch Spaß macht!

Lass uns versuchen, in die Fußstapfen dieser Genies zu treten, um alles über Mathe zu wissen.

Schauen wir uns einige bekannte Rätsel der Mathematik, so genannte mathematische Paradoxa, an und reisen wir von Arithmetik über Trigonometrie zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Ihr werdet sehen, dass Ihr Eure Meinung zum Mathematik Unterricht ganz schnell ändern könnt…

Versuchen wir uns an einer allgemeinen Definition

Ihr müsst keine hochbegabten Mathe Studenten sein, um zu verstehen, wovon wir hier reden.

Das Wort Paradoxon beschreibt Dinge und Sachverhalte, auf die man sich keinen Reim machen kann, da sie entweder zu widersinnig oder zu abwegig sind.

Das Studium derartiger Phänomene entspricht eigentlich einer Mathestunde: Sie sind interaktiv wie eine Matrix und ein Vektor der Pädagogik.

Es ist selbstverständlich, dass die Naturwissenschaften sich mit ihren zahlreichen Überraschungen damit beschäftigen, dieser Definition gerecht zu werden.

Aber jeder Forscher (und jeder Schüler) weiß auch, dass manche Paradoxe bekannter sind als andere, aber manche auch interessanter – oder nützlicher!

Das kann doch nicht sein! Ein Paradoxon beschreibt etwas, das uns zunächst als Widerspruch in sich erscheint. | Quelle: Pixabay

Manche Paradoxa gehören eher in den Bereich der Physik oder Chemie, andere sind allgemein wissenschaftlich oder technologisch.

Lassen wir das Skalarprodukt und Differenzialgleichungen mal beiseite und lächeln wir ein bisschen.

Ein chinesisches Sprichwort, das wenig mit Mathematik zu tun hat, besagt: „Mit Lächeln gewinnt man mehr Freunde als mit einem langen Gesicht.

Man könnte noch hinzufügen: „Und ebenso den Erfolg bei der nächsten Matheklausur!“.

Die exponentielle Multiplikation mathematischer Probleme bedeutet die Division Eurer Fehler im realen Leben – klingt komisch, aber glaubt daran!

Mathematische Paradoxe faszinieren jeden Mathe Liebhaber.

Das Thema ist mindestens genauso beliebt und spannend wie die Kreiszahl Pi!

Falsche Paradoxe

Das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte

Allein der Name dieses Paradoxons klingt schon komisch!

Es handelt sich hier um eine falsche Annahme des antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea (490 v.Chr. – 430 v.Chr.).

Mit den theoretischen Kenntnissen seiner Zeit kam er zu dem Schluss, dass ein schneller Läufer wie Achilles, den Ihr ja sicher aus Troja kennt, niemals eine Schildkröte einholen könne, wenn man dieser einen gewissen Vorsprung gibt.

Die Schildkröte bewegt sich schließlich auch weiter fort, und auch wenn der Vorsprung immer kleiner wird, so bleibt er stets bestehen.

Natürlich wurde diese Annahme bereits damals von der Allgemeinheit als unwahrscheinlich angesehen, doch erst mit moderner Mathematik konnte ihr Fehler bewiesen werden.

Die Fehler liegen in der unendlichen Folge, die jedoch ein endliches Ergebnis haben kann, und in der falschen Annahme, die Strecke sei unendlich.

Mathematik führt oft zu optischer Täuschung... Viele mathematische Paradoxa haben etwas mit Geometrie zu tun. | Quelle: Visualhunt

Das Rätsel des fehlenden Dollars ist ein ähnliches Trickspiel, bei dem es um irreführende Begründungen geht.

Dieses Rätsel gehört zu den klassischsten Matheaufgaben, mit der Ihr Euer logisches Verständnis trainieren könnt. Probiert es mal aus, es macht Spaß!

Das Paradoxon des fehlenden Quadrats

Nein, es handelt sich hierbei nicht um ein chinesisches Rätsel, sondern vielmehr um eine kleine Lektion in absurder Geometrie.

Beim Fehlendes-Quadrat-Rätsel geht es ganz einfach um eine mathematische optische Täuschung, die zunächst zu einer unwahrscheinlichen Annahme führt.

Dieser kann man nur mit der dazugehörigen und sehr wahrscheinlichen mathematischen Gleichung widersprechen.

Ähnlich wie beim Tangram wird hier ein Dreieck aus verschiedenen Formen zusammengesetzt. Dabei gibt es mehrere Lösungen – und bei einer dieser Lösungen fehlt plötzlich ein kleines Quadrat in der Mitte des Dreiecks!

Dabei ist es doch eigentlich unmöglich, dass sich der Flächeninhalt nur durch das Verschieben der Formen verkleinert

Die Lösung: Das fehlende Quadrat ist das Ergebnis daraus, dass die beiden kleinen Dreiecke, aus denen unter anderem die großen Dreiecke gebildet werden, nur scheinbar ähnlich sind. Ihre Winkel unterscheiden sich.

Daraus ergibt sich die weitere Lösung, dass die großen Gebilde gar keine Dreiecke, sondern Vielecke sind.

Eine fantastische optische Täuschung!

Um beim gleichen Thema zu bleiben: Kennt Ihr die größten mathematischen Mysterien?

Theoretische Paradoxa, die sich nur schwer anwenden lassen

Das Banach-Tarski-Paradoxon

Dieser Satz von Banach und Tarski aus der Geometrie aus dem Jahr 1924 demonstriert, dass eine Kugel so in endlich viele kleine Teile zerlegt werden kann, dass sich wieder zusammengesetzt zwei Kugeln jeweils von der gleichen Größe wie die einzelne vorher ergeben.

Zunächst erscheint es unmöglich, dass sich durch die Bewegung der kleinen Teile das Volumen verändert.

Wenn man die Teile aber als Punktmenge betrachtet und diese dreht und verschiebt, ist das durchaus möglich.

Wichtig dabei ist, dass die Punktmengen zwei Bedingungen erfüllen: Sie müssen beschränkt sein, also in eine ausreichend große Kugel hineinpassen, und sie müssen ein nichtleeres Inneres haben, sodass eine ausreichend kleine Kugel hineinpasst.

Mathematische Formen können faszinierend sein! Eine Kugel kann aus ganz vielen kleinen Teilen bestehen. | Quelle: Visualhunt

Die Euklidische Geometrie von John von Neumann

1929 machte John von Neumann seine mathematischen Kollegen verrückt.

Er beschäftigte sich, ähnlich wie Banach und Tarski, mit dem sogenannten Auswahlaxiom, das besagt, dass es zu einer Menge von nichtleeren Mengen eine bestimmte Auswahlfunktion gibt, die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element zuordnet. Ganz schön kompliziert…

Von Neumann nutzte dieses Auswahlaxiom, um ein Quadrat in eine bestimmte (endliche) Anzahl von Punktmengen aufzuteilen. Mit bestimmten Umstellungen erhielt er dann zwei Quadrate.

Ihr seht, mathematische Paradoxe können ganz schön kompliziert sein… Doch mit Mathe kann man zum Beispiel auch die Hauptfigur in Game of Thrones berechnen!

Das Barbier-Paradoxon

Dieses Paradoxon ist bei Mathelehrern für die Mittelstufe und Oberstufe sehr beliebt, denn es vermittelt einige wichtige Dinge an die Schüler. Es wurde 1918 von Bertrand Russel mit folgenden Worten beschrieben:

„Man kann einen Barbier als einen definieren, der all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?“

Rasiert der Barbier sich also selbst, dann bricht er das im ersten Satz aufgestellte Gesetz (denn ihm wurde ja schließlich nachgesagt, dass er nur diejenigen rasiert, die sich nicht selber rasieren).

Auf der anderen Seite hat er ebenso unrecht, wenn er sich nicht selbst rasiert, da er alle nicht rasierten Personen rasieren soll.

Dieses Beispiel demonstriert die Möglichkeit, dass sich manche Regeln auf absurde Weise widersprechen können.

Russell stellte seine Antinomie in Verbindung mit diesem Fall, die auch ein Teil der Logik und der Mengenlehre ist.

Er basiert sich bei seiner Erklärung auf seiner Theorie von 1902, die besagt, dass die „Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Elemente enthalten“ einen Widerspruch enthält.

Was wäre, wenn man die Erde umdrehen könnte wie ein Kleidungsstück?

Widmen wir uns kurz der Differentialtopologie. Im Jahre 1958 veröffentliche der amerikanische Mathematiker Stephen Smale eine Lösung dazu, wie man eine Sphäre von innen nach außen stülpt ohne, dass Risse entstehen.

Was soll das sein? Es handelt sich hierbei tatsächlich eher um ein mathematisches Gesetz, dass für Mathe Studenten um einiges interessanter ist, als für die große Masse von normalen Matheschülern…

Grob gesagt handelt es sich bei Smales Arbeit um einen Beweis, dass es möglich ist, dreidimensionale Körper wie einen Würfel oder eine Kugel von innen nach außen umzustülpen.

Heute wurde diese Theorie mit einigen informatischen Animationen bewiesen.

Ihr seht, mathematische Paradoxe gibt es in den verschiedensten Arten und Formen!

Ein Paradoxon entgegen jeder Vernunft – auch im Alltag

Das Simpson-Paradoxon

Der Name ist verwirrend, aber das Simpson Paradoxon hat sehr wenig mit ein paar gelben Figuren zu tun…

Edward Simpson ist ein britischer Statistiker, der 1951 dieses Paradoxon beschrieb. Es geht hierbei um Datenreihen, die sich anscheinend widersprechen, was jedoch nur daran liegt, dass sie verschiedene Kriterien berücksichtigen.

Es scheint so, als würde die Bewertung verschiedener Gruppen unterschiedlich ausfallen, je nachdem ob man die Ergebnisse der Gruppen kombiniert oder nicht.

Zum Beispiel: Medikament A soll gegen eine Krankheit wirksamer sein als Medikament B. Das Problem ist sofort gelöst?

Nein, denn wenn die Krankheit nur in harmloser Form auftritt, dann ist Medikament B effizienter als A, welches sich eher für stärkere Formen der Krankheit eignet.

Das Paradoxon tritt nur auf, wenn es eine Variable gibt, die das Ergebnis beeinflusst und wenn die statistische Stichprobe nicht in einer homogenen Gruppe genommen wurde.

Simpson fordert also quasi dazu auf, die Dinge ganz genau zu untersuchen, um vor einer Analyse und Entscheidung alle Aspekte beachtet zu haben.

Wahlen mit der Condorcet-Methode

Diese Methode zur Wahl eines oder mehrerer Kandidaten ist nach dem revolutionären französischen Mathematiker Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet, benannt – ganz schön langer Name, oder?

Es handelt sich hierbei um sogenannte Vorzugswahlen, bei denen ein Kandidat immer dann gewinnt, wenn jeder Wähler ihn im direkten Vergleich allen anderen Kandidaten vorzieht.

Wie wird entschieden, welcher Kandidat gewinnt? Mit der Concordet Methode können Wahlen entschieden werden. | Quelle: Pixabay

Bei der Wahl muss jeder Wähler alle Kandidaten nach Rang ordnen. Anschließend werden aus diesen Daten in simulierten Zweikämpfen Vergleiche gezogen.

Jeder Kandidat wird nun mit jedem anderen verglichen.

Dabei ist die Frage, wie häufig ein Kandidat einen höheren Rang hat als der jeweilige Verglichene. Gewinnt ein Kandidat jeden dieser „Kämpfe“, dann ist er der Sieger der Wahl.

Die Concordet Methode illustriert, dass das Resultat einer Mehrheitswahl häufig ein anderes ist, als das, was die Wähler tatsächlich sehen wollten.

Sie ist also der Beweis, dass das Ergebnis einer Wahl stark von der Wahlmethode abhängt.

Will Rogers – was für ein Phänomen!

Dieser mathematische Prozess ist etwas einfacher als andere, die wir bereits behandelt haben: Betrachtet man zwei Gruppen von Elementen kann es passieren, dass durch einen Wechsel eines Elements von einer zur anderen Gruppe der Mittelwert beider Gruppen…steigt!

Bei dieser mathematischen Überraschung gibt es jedoch zwei notwendige Bedingungen: Die bewegte Menge muss kleiner sein, als die Hälfte der ursprünglichen Größe ihrer Herkunft und größer, als die ursprüngliche Hälfte ihrer Zielgruppe.

Rogers demonstrierte diese Theorie mit einem humoristischen Satz:

„Als die Einwohner von Oklahoma nach Kalifornien umzogen, hoben sie die durchschnittliche Intelligenz in beiden Staaten an.“

Ihr seht also, berühmte mathematische Phänomene kann man manchmal ganz einfach erklären und darstellen.

Egal ob Ihr also in der Mittelstufe oder Oberstufe seid, Ingenieurwissenschaften studiert oder darüber nachdenkt, Mathe zu studieren – für jedes Niveau gibt es einen passenden Fall, der einen interessieren kann!

Die Hauptsache ist es, dass Ihr zwischen den falschen und tatsächlichen Paradoxa den Spaß nicht verliert.

Mathematik ist eine große Welt voller Rätsel, die es Spaß macht, zu erkunden.

Und im Notfall könnt Ihr immer noch kompetente Mathehilfe bei einem Nachhilfelehrer in Eurer Nähe suchen (Beispiel: Mathe Nachhilfe Berlin) oder Mathe online lernen!

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