Mit ihren Zahlen, Formeln und Symbolen wirkt Mathematik manchmal wie eine Sprache von einem anderen Planeten und doch steckt hinter ihr eine verblüffende Logik. Wer sich traut, genauer hinzusehen, entdeckt zwischen Formeln und Gleichungen ganze Welten voller Rätsel. Manche dieser Rätsel widersprechen scheinbar jeder Vernunft und genau das macht sie so faszinierend.
Ein Paradoxon (griechisch: „gegen die Erwartung“) ist eine Aussage oder Situation, die zunächst widersprüchlich oder unmöglich erscheint, sich bei genauerem Hinsehen jedoch als logisch erklärbar erweist.
Von antiken Denkspielen bis zu modernen Statistikrätseln: Mathematische Paradoxa zeigen, dass in der Welt der Zahlen nicht immer alles so ist, wie es auf den ersten Blick scheint. Sie bringen unser logisches Denken ins Stolpern und lehren uns, dass Zweifel manchmal der erste Schritt zum Verstehen ist.
Schauen wir uns einige bekannte Rätsel der Mathematik, so genannte mathematische Paradoxa, an und reisen wir von Arithmetik über Trigonometrie zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Alte Rätsel und falsche Paradoxa
Das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte
Allein der Name dieses Paradoxons klingt schon komisch!
Der griechische Philosoph Zenon von Elea (ca. 490–430 v. Chr.) wollte mit seinem berühmten Gedankenexperiment zeigen, dass Bewegung unmöglich sei.1 Er stellte sich vor, der schnelle Läufer Achilles jage eine Schildkröte, die einen kleinen Vorsprung hat.
Selbst wenn Achilles den Punkt erreicht, an dem die Schildkröte gestartet ist, ist sie schon wieder ein Stück weiter und so weiter ins Unendliche. Nach Zenons Logik könnte Achilles sie also nie einholen.
Heute wissen wir: Die unendliche Reihe der Abstände konvergiert zu einem endlichen Wert – Achilles holt die Schildkröte natürlich ein. Das Paradoxon zeigt, wie früh sich Menschen mit der Idee der Unendlichkeit und Grenzwerte beschäftigten, lange bevor es Integralrechnung gab.
Das Rätsel des fehlenden Dollars ist ein ähnliches Trickspiel, bei dem es um irreführende Begründungen geht. Probiert es mal aus, es macht Spaß!
Das Paradoxon des fehlenden Quadrats
Eine optische Täuschung, aber eine mathematisch raffinierte!
Beim „fehlenden Quadrat“ wird ein großes Dreieck aus mehreren kleinen Formen zusammengesetzt. Verschiebt man sie, entsteht plötzlich ein kleines leeres Feld, obwohl alle Teile gleich geblieben sind.
Wie kann das sein?
Ganz einfach: Die beiden kleinen Dreiecke, aus denen das große Gebilde besteht, haben leicht unterschiedliche Winkel. Dadurch ist das große „Dreieck“ in Wahrheit gar keines, die Flächen stimmen also nicht exakt überein.
Eine clevere Erinnerung daran, dass unser Auge nicht immer mit der Mathematik übereinstimmt.
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Paradoxa in Unendlichkeit und Mengenlehre
Das Banach-Tarski-Paradoxon
Dieser Satz aus der Geometrie stammt von Stefan Banach und Alfred Tarski (1924). Er besagt, dass man eine Kugel so in endlich viele kleine Teile zerlegen kann, dass sich daraus zwei identische Kugeln zusammensetzen lassen, ohne etwas hinzuzufügen!2
Zunächst klingt das unmöglich: Wie kann sich das Volumen einfach verdoppeln?
Die Erklärung liegt in der Unendlichkeit der Punktmengen. Betrachtet man die Teile als unendlich viele Punkte, die nur durch Drehen und Verschieben neu angeordnet werden, verliert man das herkömmliche Verständnis von Volumen.
Wichtig ist, dass diese Punktmengen bestimmte Bedingungen erfüllen: Sie sind beschränkt und haben ein nichtleeres Inneres.
Das Paradoxon zeigt, dass in der Welt der unendlichen Mengen unsere gewohnte Geometrie nicht mehr gilt und wie verblüffend weit Mathematik gehen kann.
Ihr seht, mathematische Paradoxe können ganz schön kompliziert sein… Doch zum Beispiel kann man mit Mathe auch die Hauptfigur in Game of Thrones berechnen!
Das Russell-Paradoxon
Dieses Paradoxon ist eines der bekanntesten Beispiele aus der Logik und Mengenlehre. Es wurde 1918 von Bertrand Russell in Form des sogenannten Barbier-Paradoxons erklärt:
Ein Barbier rasiert alle Menschen in einem Dorf, die sich nicht selbst rasieren. Doch rasiert der Barbier sich selbst?
Tut er es, widerspricht er der Regel. Tut er es nicht, müsste er sich rasieren. Ein Widerspruch!
Russell übertrug dieses Gedankenexperiment auf die Mathematik:
Die „Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten“ kann es logisch nicht geben, denn sie müsste sich selbst gleichzeitig enthalten und nicht enthalten.3
Damit stieß Russell ein riesiges Problem in der damaligen Mathematik an und legte den Grundstein für die Entwicklung der modernen Mengenlehre und Logiksysteme.
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Hilberts Hotel
Stell dir ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern vor und alle sind belegt. Und trotzdem kann der Portier noch neue Gäste aufnehmen!
So funktioniert das berühmte Gedankenexperiment des Mathematikers David Hilbert. Wenn ein neuer Gast ankommt, zieht einfach jeder Gast von Zimmer n in Zimmer n + 1 um. Schon ist Zimmer 1 wieder frei, obwohl das Hotel voll war.4
Und selbst wenn unendlich viele neue Gäste eintreffen, lässt sich durch geschicktes Verschieben aller Gäste (z. B. in die geraden Zimmernummern) Platz schaffen.
Das Paradoxon zeigt anschaulich, wie sich Unendlichkeit anders verhält als endliche Mengen: ein Kernkonzept moderner Mathematik.
Ein Paradoxon entgegen jeder Vernunft: Wahrscheinlichkeit und Statistik
Wenn Zahlen lügen oder besser gesagt: wenn unser Bauchgefühl sie falsch liest.
Mathematische Paradoxa in der Statistik zeigen, dass Intuition oft trügt und dass Logik manchmal ziemlich kontraintuitiv sein kann.
Das Birthday-Paradox
Wie groß ist die Chance, dass zwei Menschen in einer Gruppe am selben Tag Geburtstag haben?
Viele würden schätzen: sehr gering. Doch schon bei 23 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit bei über 50 Prozent!
Der Grund ist einfach, aber verblüffend: Man vergleicht nicht den Geburtstag einer Person mit allen anderen, sondern alle möglichen Paare miteinander. Mit jeder weiteren Person steigt die Zahl dieser Kombinationen sprunghaft.
Ein perfektes Beispiel dafür, wie Statistik unser Gefühl für Zufall auf den Kopf stellt und warum „unwahrscheinlich“ oft gar nicht so selten ist.
Das Simpson-Paradoxon
Der Name ist verwirrend, aber das Simpson Paradoxon hat sehr wenig mit ein paar gelben Figuren zu tun…
Edward Simpson ist ein britischer Statistiker, der 1951 dieses Paradoxon beschrieb. Es geht hierbei um Datenreihen, die sich anscheinend widersprechen, was jedoch nur daran liegt, dass sie verschiedene Kriterien berücksichtigen.
Es scheint so, als würde die Bewertung verschiedener Gruppen unterschiedlich ausfallen, je nachdem ob man die Ergebnisse der Gruppen kombiniert oder nicht.
Zum Beispiel: Medikament A soll gegen eine Krankheit wirksamer sein als Medikament B. Das Problem ist sofort gelöst?
Nein, denn wenn die Krankheit nur in harmloser Form auftritt, dann ist Medikament B effizienter als A, welches sich eher für stärkere Formen der Krankheit eignet.
Das Paradoxon tritt nur auf, wenn es eine Variable gibt, die das Ergebnis beeinflusst und wenn die statistische Stichprobe nicht in einer homogenen Gruppe genommen wurde.
Simpson fordert also quasi dazu auf, die Dinge ganz genau zu untersuchen, um vor einer Analyse und Entscheidung alle Aspekte beachtet zu haben.
Will Rogers – Wenn beide Gruppen klüger werden
Dieser mathematische Prozess ist etwas einfacher als andere, die wir bereits behandelt haben: Betrachtet man zwei Gruppen von Elementen kann es passieren, dass durch einen Wechsel eines Elements von einer zur anderen Gruppe der Mittelwert beider Gruppen…steigt!
Bei dieser mathematischen Überraschung gibt es jedoch zwei notwendige Bedingungen: Die bewegte Menge muss kleiner sein, als die Hälfte der ursprünglichen Größe ihrer Herkunft und größer, als die ursprüngliche Hälfte ihrer Zielgruppe.
Der amerikanische Humorist Will Rogers erklärte das augenzwinkernd so:
Als die Einwohner von Oklahoma nach Kalifornien umzogen, stieg die durchschnittliche Intelligenz in beiden Staaten.
Ihr seht also, berühmte mathematische Phänomene kann man manchmal ganz einfach erklären und darstellen.
Und im Notfall könnt Ihr immer noch kompetente Mathehilfe bei einem Nachhilfelehrer in Eurer Nähe suchen, wie zum Beispiel Mathe Nachhilfe Berlin oder an jedem anderen deutschen Ort in eurer Nähe.
Paradoxe in Gesellschaft und Alltag
Auch Wahlen, Netzwerke und Verkehrssysteme können sich unlogisch verhalten – und die Mathematik erklärt, warum.
Sie zeigt, dass selbst hinter scheinbar alltäglichen Prozessen wie Abstimmungen oder Straßenplanung überraschende Widersprüche stecken können.
Das Condorcet-Paradoxon – Wenn Mehrheiten sich widersprechen
Das sogenannte Condorcet-Paradoxon stammt vom französischen Mathematiker und Philosophen Marie Jean Antoine Nicolas de Condorcet.
Er zeigte, dass kollektive Entscheidungen manchmal zyklisch sein können, also völlig widersprüchlich wirken.
Beispiel:
- Eine Mehrheit bevorzugt A vor B,
- eine andere B vor C,
- und wiederum eine C vor A.
Das Ergebnis: Keine klare Gewinnerin, kein logischer Sieger.
Selbst wenn jede einzelne Stimme sinnvoll erscheint, kann die Gesamtheit der Präferenzen zu einem unauflösbaren Kreislauf führen.
Das Paradoxon zeigt, dass demokratische Mehrheitsentscheidungen nicht immer „rational“ sind und dass Mathe selbst in der Politik versteckte Muster aufdecken kann.
Das Braess-Paradoxon – Mehr Straßen, mehr Stau
Klingt absurd, ist aber Realität:
Manchmal führt eine neue Straße zu mehr Stau statt zu weniger!
Dieses Phänomen wurde 1968 vom deutschen Mathematiker Dietrich Braess beschrieben.
Er zeigte, dass zusätzliche Verbindungen in einem Verkehrsnetz dazu führen können, dass jeder Autofahrer seine Route egoistisch optimiert, wodurch sich der Gesamtverkehr verschlechtert.
Wenn alle „den schnellsten Weg“ wählen, entsteht ein neues Gleichgewicht, das länger dauert als vorher.
Das Paradoxon gilt nicht nur für Straßen, sondern auch für Daten- oder Energienetze, überall dort, wo viele Akteure gleichzeitig Entscheidungen treffen.
Die Moral: Mehr Optionen bedeuten nicht automatisch mehr Effizienz, manchmal ist weniger tatsächlich mehr.
Arrows Unmöglichkeitssatz – Gerechte Wahlen sind unmöglich
Was Condorcet beobachtete, bewies später Kenneth Arrow mathematisch.
Er formulierte 1951 den berühmten „Unmöglichkeitssatz“:
Es gibt kein Wahlsystem, das alle Bedingungen einer vollkommen fairen Abstimmung erfüllen kann.
Arrows Kriterien:
- Freiheit der Wahl: jede Stimme zählt individuell.
- Einstimmigkeit: wenn alle A besser finden als B, soll A gewinnen.
- Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen: das Ergebnis darf sich nicht ändern, wenn eine dritte Option wegfällt.
Das Problem: Diese Prinzipien schließen sich gegenseitig aus.
Ganz gleich, ob wir wählen, bewerten oder sortieren, absolute Fairness bleibt ein mathematisches Ideal, kein erreichbares Ziel.
Referenzen
- Ehrlich, P., 2014, ‘An Essay in Honor of Adolf Grünbaum’s Ninetieth Birthday: A Reexamination of Zeno’s Paradox of Extension’, Philosophy of Science, 81(4): 654–675.
- vgl. Tao, Terence: An introduction to measure theory, American Mathematical Soc., 14.09.2011, S. 3.
- Newton, I., The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, I. B. Cohen and A. M. Whitman (trans.), Berkeley: University of California Press, 1999.
- Heatley, Kim: Provoked by Zeno’s Paradoxes, in: MIT Physics, 14.06.2021, [online] https://physics.mit.edu/news/provoked-by-zenos-paradoxes/.
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Sorry, mein Freund hatte meinen PC für einige Zeit.
Sehr gelungener Artikel mit sehr spannenden Rätsel. Empfehlenswert!