„Was ohne Beweis gesagt wird, kann ohne Beweis verweigert werden.“

– Euklid, griechischer Mathematiker, um 300 v. Chr.

Euklid, der ein zeitloses Denkmal der mathematischen Wissenschaft geschaffen hat, ist Autor des Buches Elements of Mathematics, das um 300 v. Chr. geschrieben wurde und zu den wichtigsten Sammlungen der Wissenschaft zählt.

Seit der Erfindung des Buchdrucks Mitte des 15. Jahrhunderts war es das meist gedruckte Werk nach der Bibel.

Bestehend aus dreizehn Büchern, sind „Die Elemente“ Euklids berühmtestes Werk und beschäftigen sich mit der geometrischen Algebra, Dreiecken, parallelen Linien (Überprüfung des Satzes des Pythagoras), Eigenschaften des Kreises, Arithmetik - einschließlich Primzahlen - dem größten gemeinsamen Nennen (ggT) und der Methode der wiederholten aufeinanderfolgenden Subtraktionen, die heute unter dem Begriff Euklidischer Algorithmus zusammengefasst wird.

Euklid lebte zwischen dem 3. und 2. Jahrhundert v. Chr., zu der Zeit, als das antike Griechenland den Mittelmeerraum beherrschte, und es ist unbestreitbar, dass seine wissenschaftlichen Werke in der ganzen Welt verbreitet und bekannt waren und dass sie von den ihm folgenden Zivilisationen, insbesondere dem alten Rom, übernommen wurden.

Euklid beeinflusste die Welt der Wissenschaft von der Renaissance bis heute, von Kopernikus bis Kepler, von Galileo bis Newton, von Spinoza bis B. Russell.

In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf eine treibende Kraft hinter Euklids Arbeit, die zu seinem internationalen Ruf geführt hat: der euklidische Algorithmus, eine Methode, die an den deutschen Schulen nur selten gelehrt wird, obwohl es die Bestimmung des größten gemeinsamen Nenners vereinfacht. 

Der euklidische Algorithmus: Definition und Prinzipien

Der euklidische Algorithmus, sowie die gesamte Division, ist ein wesentliches Thema in den mathematischen Vorlesungen des Bachelorstudiums, wird aber in den Schulen kaum.

Bei der bekannten Methode geht es um zwei natürliche ganze Zahlen - Divisor und Dividende - und deren Quotient aus ihrem Produkt.

DIe grundlegenden Regeln der Division.
Ich hab 12 Erdbeeren und vier Kinder, wie viele Erdbeeren bekommt jedes Kind? |Quelle: Unsplash

Bei der Methode teilt man eine natürliche Ganzzahl ungleich Null (≠ 0) durch eine andere kleinere Zahl, um den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen zu ermitteln.

An deutschen Schulen wir statt des euklidischen Algorithmus die Primfaktorzerlegung als Methode der Wahl unterrichtet. Hierbei muss man eine Zahl in kleine Primzahlen zerlegen und diese miteinander multiplizieren. Dabei muss man die Regeln des Dividierens beachten. Ein Beispiel von Zahlen, die ohne Rest durcheinander teilbar sind: 6 : 2 = 3, bei 7 : 2 = 3 hat man den Rest 1.

Division mit Rest oder ohne lernt man bereits in der Grundschule in der vierten Klasse, während die Primfaktorzerlegung erst an den weiterführenden Schulen gelehrt wird.

Gerade am Anfang des Matheunterrichts geht es für die Schüler darum, das 1x1 zu verstehen und auswendig zu lernen, aber auch andere grundlegende Rechenregeln: Addieren, Subtrahieren, Zerlegen ganzer Zahlen (gerade und ungerade Zahlen). 

Mit dem euklidischen Algorithmus kann man ganz ohne Taschenrechner den größten gemeinsamen Nenner zweier Zahlen berechnen.

So geht man vor: wie oft passt eine kleinere Zahl in eine größere? 

Zum Beispiel, indem man die Division von 30 durch 4 oder 75 durch 7 berechnet. Fragt man ein kleines Kind, wird es die Antwort vermutlich nicht wissen, aber ältere Menschen können diese Aufgaben schnell im Kopf rechnen.

Bei kleinen natürlichen Zahlen hat man kein Problem, sie im Kopf zu verrechnen, aber stellt euch vor, die Aufgabe verlangt von einem, die Zahl 4357 durch 28 zu teilen, da reicht einfaches Kopfrechnen nicht mehr aus.

Vor allem kommen später auch noch die relativen Zahlen dazu - einschließlich negativer natürlicher Zahlen - und man behandelt, wie man mit Dezimalzahlen und Bruchrechnungen umgeht.

Mit dem euklidischen Algorithmus kann man ausrechnen, wie man eine Menge n gleichmäßig auf mehrere Einheiten q verteilen kann : wie kann man 53 Murmeln an 5 Personen verteilen?

Wenn man mit einer einfachen Verteilung anfängt, dann bekommt jede der 5 Personen eine Murmel und es bleiben 47 Murmeln übrig. Man fängt wieder vorne an, bis man nicht mehr 5 Murmeln verteilen kann. 

Bei der letzten Verteilung stellt man fest, dass jede Person zehn Murmeln hat und dass drei Kugeln übrig bleiben. Man kann sie nicht aufteilen, es sei denn, zwei der Menschen sind nur zur Hälfte da (was es natürlich nicht gibt): man hat also einen Rest von 3.

Jede Person hat jetzt 10 Murmeln: 10 ist also der Quotient.

Um mit dem euklidischen Algorithmus 53 durch 5 zu dividieren, muss man folgendes aufschreiben: 30 = 5 × 10 + 3 nachdem man überprüft hat, dass 3 < 5.

Wisst ihr noch, wie man Zahlen im Kopf multipliziert?

Wie löst man den euklidischen Algorithmus?

Mit dem Divisionsalgorithmus von Euklid kann man Prozesse vereinfachen, die auf den ersten Blick kompliziert wirken.

Gehört das nicht zu Magie der Mathematik, dass Aufgaben am Anfang unmöglich erscheinen und dann doch eine logische Lösung haben?

Nehmen wir zum Beispiel die folgende Aufgabe: Teilt 273 durch 17. Wir suchen nach der Zahl, wie oft die Zahl 17 in die Zahl 273 passt. Um die Lösung zu finden, muss man folgendermaßen vorgehen:

Schritt 1: Zuerst schreibt man die Division richtig auf, also mit der Dividende 273 auf der linken Seite der ersten Spalte und dem Divisor 17 auf der rechten Seite.

Schritt 2: Nun befasst man sich mit der ersten Ziffer der größeren Zahl, also mit der 2 von 273. Da diese deutlich kleiner ist, als die 17, nimmt man stattdessen die ersten beiden Ziffer, also 27.

Jetzt muss man ausrechnen, wie häufig die 17 in die 27 passt: 17 x 1 = 17, 17 x 2 = 34. Man schreibt also 1 unter den Divisor - anstelle des Quotienten - und zieht dann folgendes ab: 27 - 17. Es bleiben noch 10 übrig.

Schritt 3: Schreibt euch den Rest von 10 auf. Jetzt beschäftigt man sich mit der dritten Ziffer, der 3, die auf die Ebene von der 10 geschrieben wird, man erhält also die Zahl 103, die man nun durch 17 teilen soll. Man rechnet also 17 x 6 = 102 mit einem Rest von 1.

Das Ergebnis ist also 273 : 17 = 17 x 16 + 1, das man auch anders schreiben kann: der ganze natürliche Quotient von 273 zu 17 ist also 16, und sein Rest ist 1.

Diese Division mit Rest ist nur dann gelungen, wenn der Rest kleiner als der Divisor ist, denn sonst würde es bedeuten, dass man noch eine Teilung durchführen kann.

Es ist oft hilfreich, wenn man Kopfrechnen kann.
Wer Kopfrechnen beherrscht, der muss nicht immer einen Taschenrechner zu Hand nehmen. |Quelle: Unsplash

Eine weitere Besonderheit: Wenn der Rest der Division von a durch b Null ist, zum Beispiel 20 durch 4 geteilt, schreibt man:

  • a ist durch b teilbar
  • a ist ein Vielfaches von b
  • b ist ein Teiler von a

Hier hat man 20 : 4 = 5, also ist 20 durch 4 teilbar, aber man hat auch 20 : 5 = 4, also ist 20 auch durch 5 teilbar und 5 ist auch ein Divisor von 20.

Die kleine Übung zum Kopfrechnen erlaubt euch, ein weites Feld der Möglichkeiten zu betreten, denn ihr braucht nun nicht bei jeder Gelegenheit einen Taschenrechner, sondern könnt mit Stift und Papier komplizierte Rechnungen durchführen.

Ihr findet diesen Ansatz in der Arithmetik, die sich ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus beschäftigt und die vom Mathematiker Pierre de Fermat seit dem 17. Jahrhundert weit verbreitet wurde.

Es gibt ein paar Tipps, wie man schnell erkennen kann, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl teilen kann.

Eine ganze Zahl ist teilbar durch:

  • 2, wenn es sich um eine gerade Zahl handelt, also 0, 2, 4, 6 oder 8
  • 4, wenn die durch die letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist
  • 5, wenn die letzte Ziffer gleich 0 oder 5 ist
  • 3, wenn die Summe der Ziffern, aus denen sie besteht, selbst durch 3 teilbar ist
  • 9, wenn die Summe der Ziffern selbst durch 9 teilbar ist
  • 10, wenn die letzte Ziffer 0 ist.

Wisst ihr noch, was lineare Funktionen ausmachen?

Wie findet man den größten gemeinsamen Teiler einer Zahl?

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von zwei natürlichen Zahlen ungleich Null ist ein Grundprinzip der elementaren Arithmetik, das es ermöglicht, die größte natürliche Zahl zu finden, durch die man beide Zahlen teilen kann, ohne dass ein Rest entsteht.

Dazu erstellt man eine Lister der Werte, durch die man zwei verschiedene Zahlen teilen kann, beispielsweise um den ggT von 20 und 36 zu ermitteln:

  • 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20
  • 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Der ggT von 20 und 36 ist also 4.

Ein weiteres Beispiel: Die klassischen Teiler von 36, 48 und 60 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Also schreibt man: ggT (36, 48, 60) = 12.

Was muss man machen, um den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen?
Wie findet man den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen? |Quelle: Unsplash

Es gibt auch noch andere Methoden, die weit praktischer sind, als immer alle Teiler aufzuschreiben: die Primfaktorzerlegung und der euklidische Algorithmus, mit der man den ggT von beispielsweise 116 und 78 berechnen kann:

  • Primfaktorzerlegung: 116 - 78 = 38, 78 - 38 = 40, 40 - 38 = 2, 2-2 = 0. ggT (116;78) = 2
  • Mit dem Verfahren von Euklid: 116 = 78 x 1 + 38, 78 = 38 x 2 + 2, 38 = 19 x 2 + 0, ggT (116;78) = 2.

Das Prinzip ist für beide Methoden gleich: man zieht eine Zahl so oft wie möglich von der anderen ab und schaut sich den Rest an.

Entdeckt, was es mit der Algebra auf sich hat.

Die verschiedenen euklidischen Teilungsmethoden

Es gibt andere Techniken zur Lösung euklidischer Divisionen, und das ist das, was man als Divisionsalgorithmus bezeichnet. Bei ganzen natürlichen Zahlen kann man einfach eine Zerlegung durchführen, was gleich effektiv ist. 

Hier geht es um ganze Zahlen, die bereits subtrahiert, addiert, verglichen, etc. wurden. Daher berechnet man hier den Quotient der euklidischen Division, aus dem sich der Rest ganz natürlich ableiten lässt. Man kann diese Art der Berechnung daher in drei Methoden unterteilen: der klassische Algorithmus, der Divisions-Algorithmus und die Dezimalmethode.

Der klassische Algorithmus

Die Methode des klassischen Algorithmus ist die Methode, die von Euklid selbst beschriebene wurde. Durch wiederholte aufeinanderfolgende Subtraktion suchte er nach einem gemeinsamen „Maß“ für die Längen zweier Linien

Der Divisionsalgorithmus

Bei dem Divisionsalgorithmus handelt es sich um die moderne Form des klassischen euklidischen Algorithmus. Anders als bei der klassischen Variante nimmt man an Stelle der Differenz von m und n den Rast bei der Division von m und n.

Statt der wiederholenden Subtraktion steht also eine Division mit Rest. 

Die Dezimalmethode

Die Dezimalmethode ist eine Methode, die in einigen Zivilisationen verwendet wurde. Das wären hauptsächlich diejenigen, die (irgendwie logisch) mit dem Dezimalsystem arbeiteten. Sie wurde vor langer Zeit in China entwickelt und beinhaltet die Division von Zahlen.

Leider wird der euklidische Algorithmus in der Schule nicht behandelt,
In der Schule lernt man den euklidischen Algorithmus leider nicht. |Quelle: Unsplash

Diese chinesische Technik läuft in drei Schritten ab, wie ein Algorithmus:

  • Eine Zeile, auf der am Ende der Quotient stehen soll
  • Eine weitere Zeile, auf der die Dividende eingetragen wird und die sich im Laufe der Berechnung weiterentwickelt
  • Eine dritte und letzte Zeile, in der der Divisor platziert wird

Wenn ihr an einer deutschen Grundschule wart, dann sollte euch diese Art der Teilung bekannt vorkommen, denn sie folgt dem Muster, dass wir alle kennen und verwendet senkrechte Linien zur Division.

Man beginnt also, in dem man den Divisor auf der linken Seite platziert, und berechnet alles, ohne sich um die Zahlen auf der rechten Seite zu kümmern.

Ähnlich genau muss man sein, wenn man geometrische Formen zeichnen und berechnen will.

Warum sollte man den euklidischen Algorithmus verwenden?

Im kollektiven Bewusstsein haben der euklidische Algorithmus und die Mathematik im Allgemeinen keinen besonders guten Ruf. Häufig wirken Matheaufgaben und Rechenwege sehr kompliziert, oder kennt ihr viele Menschen, die sich freuen, wenn sie eine lange Gleichung mit vielen Variablen sehen? Ich zumindest nicht…

Dementsprechend ist der euklidische Algorithmus in Deutschland auch nicht besonders bekannt, noch dazu klingt der Name schon so kompliziert. Dabei handelt es sich um eine Methode zur Division, die einiges vereinfachen kann und uns unser Leben lang begleitet.

Man hört den Namen Divisionsalgorithmus höchstens im Zusammenhang, wenn man etwas Komplexes vergleichen möchte, um die Kompliziertheit einer Situation zu zeigen.

Dank der Methode habt ihr es leichter.
Diese Methode vereinfacht euch viele Matheaufgaben! |Quelle: Unsplash

Aber eigentlich ist der euklidische Divisionsalgorithmus eine Methode, die ihr unbedingt lernen solltet, denn sie kann euch in vielen Alltagssituationen helfen, über die ihr vielleicht noch nicht nachgedacht habt. 

Neben der Tatsache, dass der euklidische Algorithmus euch in vielen Situationen helfen kann, ist er auch spannend und interessant. Das ist wahrscheinlich auch der Schlüssel zu vielen mathematischen Themen, wie auch bei der Logarithmusfunktion. Man muss sich in die Aufgabenstellung hinein denken und das ganze als ein Rätselspiel sehen, bei dem man einige Hürden überwinden muss, um die Lösung zu bekommen.

Lernt den euklidischen Algorithmus mit einem Lehrer

Egal aus welchem Grund ihr euch für dieses Thema der Mathematik interessiert, der euklidische Algorithmus ist ein Rechenweg, der euch in vielen Situationen helfen kann. Umso wichtiger ist es, dass ihr ihn wirklich richtig verstanden habt.

Dabei kann euch Nachhilfe Mathe helfen, denn in der Schule wird das Thema zwar nicht behandelt, dafür ist es aber Stoff an der Universität, so dass alle Privatlehrer es beherrschen sollten.

Im Privatunterricht habt ihr die Möglichkeit, den euklidischen Algorithmus oder andere komplexe Themen der Mathematik individuell zu lernen und so schnell Fortschritte zu erzielen.

Mit einem Privatlehrer lernt ihr schnell die komplizierten Aufgaben.
Ein Privatlehrer kann euch dank seiner Erfahrung schnell weiterhelfen! |Quelle: Unsplash

Es gibt aber auch andere Möglichkeiten, den Divisionsalgorithmus zu lernen und voranzukommen. Online-Kurse sind ein sehr guter Weg und eine gute Alternative, um sich auf einen bestimmten mathematischen Punkt wie diesen zu konzentrieren, anstatt für Privatunterricht persönlich zu bezahlen, was erst mit einigen Grundlagen sinnvoll ist. Bei Superprof bieten euch viele Nachhilfelehrer auch Nachhilfe Mathe online an, also zögert nicht, einen Blick darauf zu werfen! Wenn du persönlichen Kontakt wertschätzt, bietet dir Superprof auch die perfekt auf dich zugeschnittene Nachhilfe in deiner Stadt an (z.B. Mathe Nachhilfe München oder Nachhilfe Mathe Berlin).

Man kann natürlich auch selbstständig lernen, dazu braucht man am besten ein gutes Lehrbuch für Mathematik und einige strukturierte Webseiten, auf denen man im besten Fall auch die Lösungen für Rechenaufgaben findet.

Lernt den euklidischen Algorithmus im Video

Wenn euer Kopf trotz der Lehrbücher, Erklärungen und des Artikels immer noch nicht verstehen möchte, was genau der euklidische Algorithmus ist, dann haben wir die ideale Lösung für euch: ein Youtube-Video!

Die Lehrer erklären pädagogisch wertvoll, wie man eine Division aufstellt und löst. Hier kommt die bildliche Erklärung:

Dieses erste Video zeigt das Verfahren einer einfachen Teilung. Um zu lernen, wie genau der euklidische Algorithmus funktioniert, haben wir hier ein weiteres Video für euch verlinkt:

Zögert nicht, all das in Lehrbüchern nachzulesen, denn wenn man sich nicht mit Mathematik beschäftigt, dann hat man alles schnell wieder vergessen!

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Elissa

Leidenschaftliche Weltenbummlerin, Köchin und Lebensgenießerin.