Kopfrechnen: Verfahren zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers

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Der euklidische Algorithmus: Definition und Prinzipien

Der euklidische Algorithmus, sowie die gesamte Division, ist ein wesentliches Thema in den mathematischen Vorlesungen des Bachelorstudiums, wird aber in den Schulen kaum. Bei der bekannten Methode geht es um zwei natürliche ganze Zahlen - Divisor und Dividende - und deren Quotient aus ihrem Produkt.

DIe grundlegenden Regeln der Division. — Ich hab 12 Erdbeeren und vier Kinder, wie viele Erdbeeren bekommt jedes Kind? |Quelle: Unsplash

Bei der Methode teilt man eine natürliche Ganzzahl ungleich Null (≠ 0) durch eine andere kleinere Zahl, um den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen zu ermitteln. An deutschen Schulen wir statt des euklidischen Algorithmus die Primfaktorzerlegung als Methode der Wahl unterrichtet. Hierbei muss man eine Zahl in kleine Primzahlen zerlegen und diese miteinander multiplizieren. Dabei muss man die Regeln des Dividierens beachten. Ein Beispiel von Zahlen, die ohne Rest durcheinander teilbar sind: 6 : 2 = 3, bei 7 : 2 = 3 hat man den Rest 1. Division mit Rest oder ohne lernt man bereits in der Grundschule in der vierten Klasse, während die Primfaktorzerlegung erst an den weiterführenden Schulen gelehrt wird. Gerade am Anfang des Matheunterrichts geht es für die Schüler darum, das 1x1 zu verstehen und auswendig zu lernen, aber auch andere grundlegende Rechenregeln: Addieren, Subtrahieren, Zerlegen ganzer Zahlen (gerade und ungerade Zahlen). Mit dem euklidischen Algorithmus kann man ganz ohne Taschenrechner den größten gemeinsamen Nenner zweier Zahlen berechnen. So geht man vor: wie oft passt eine kleinere Zahl in eine größere? Zum Beispiel, indem man die Division von 30 durch 4 oder 75 durch 7 berechnet. Fragt man ein kleines Kind, wird es die Antwort vermutlich nicht wissen, aber ältere Menschen können diese Aufgaben schnell im Kopf rechnen. Bei kleinen natürlichen Zahlen hat man kein Problem, sie im Kopf zu verrechnen, aber stellt euch vor, die Aufgabe verlangt von einem, die Zahl 4357 durch 28 zu teilen, da reicht einfaches Kopfrechnen nicht mehr aus. Vor allem kommen später auch noch die relativen Zahlen dazu - einschließlich negativer natürlicher Zahlen - und man behandelt, wie man mit Dezimalzahlen und Bruchrechnungen umgeht. Mit dem euklidischen Algorithmus kann man ausrechnen, wie man eine Menge n gleichmäßig auf mehrere Einheiten q verteilen kann : wie kann man 53 Murmeln an 5 Personen verteilen? Wenn man mit einer einfachen Verteilung anfängt, dann bekommt jede der 5 Personen eine Murmel und es bleiben 47 Murmeln übrig. Man fängt wieder vorne an, bis man nicht mehr 5 Murmeln verteilen kann. Bei der letzten Verteilung stellt man fest, dass jede Person zehn Murmeln hat und dass drei Kugeln übrig bleiben. Man kann sie nicht aufteilen, es sei denn, zwei der Menschen sind nur zur Hälfte da (was es natürlich nicht gibt): man hat also einen Rest von 3. Jede Person hat jetzt 10 Murmeln: 10 ist also der Quotient. Um mit dem euklidischen Algorithmus 53 durch 5 zu dividieren, muss man folgendes aufschreiben: 30 = 5 × 10 + 3 nachdem man überprüft hat, dass 3 <5. Kennst du die bekanntesten noch nicht gelösten mathematischen Probleme?

Wie löst man den euklidischen Algorithmus?

Mit dem Divisionsalgorithmus von Euklid kann man Prozesse vereinfachen, die auf den ersten Blick kompliziert wirken. Gehört das nicht zu Magie der Mathematik, dass Aufgaben am Anfang unmöglich erscheinen und dann doch eine logische Lösung haben? Nehmen wir zum Beispiel die folgende Aufgabe: Teilt 273 durch 17. Wir suchen nach der Zahl, wie oft die Zahl 17 in die Zahl 273 passt. Um die Lösung zu finden, muss man folgendermaßen vorgehen: Schritt 1: Zuerst schreibt man die Division richtig auf, also mit der Dividende 273 auf der linken Seite der ersten Spalte und dem Divisor 17 auf der rechten Seite. Schritt 2: Nun befasst man sich mit der ersten Ziffer der größeren Zahl, also mit der 2 von 273. Da diese deutlich kleiner ist, als die 17, nimmt man stattdessen die ersten beiden Ziffer, also 27. Jetzt muss man ausrechnen, wie häufig die 17 in die 27 passt: 17 x 1 = 17, 17 x 2 = 34. Man schreibt also 1 unter den Divisor - anstelle des Quotienten - und zieht dann folgendes ab: 27 - 17. Es bleiben noch 10 übrig. Schritt 3: Schreibt euch den Rest von 10 auf. Jetzt beschäftigt man sich mit der dritten Ziffer, der 3, die auf die Ebene von der 10 geschrieben wird, man erhält also die Zahl 103, die man nun durch 17 teilen soll. Man rechnet also 17 x 6 = 102 mit einem Rest von 1. Das Ergebnis ist also 273 : 17 = 17 x 16 + 1, das man auch anders schreiben kann: der ganze natürliche Quotient von 273 zu 17 ist also 16, und sein Rest ist 1. Diese Division mit Rest ist nur dann gelungen, wenn der Rest kleiner als der Divisor ist, denn sonst würde es bedeuten, dass man noch eine Teilung durchführen kann.

Es ist oft hilfreich, wenn man Kopfrechnen kann. — Wer Kopfrechnen beherrscht, der muss nicht immer einen Taschenrechner zu Hand nehmen. |Quelle: Unsplash

Eine weitere Besonderheit: Wenn der Rest der Division von a durch b Null ist, zum Beispiel 20 durch 4 geteilt, schreibt man:

a ist durch b teilbar
a ist ein Vielfaches von b
b ist ein Teiler von a

Hier hat man 20 : 4 = 5, also ist 20 durch 4 teilbar, aber man hat auch 20 : 5 = 4, also ist 20 auch durch 5 teilbar und 5 ist auch ein Divisor von 20. Die kleine Übung zum Kopfrechnen erlaubt euch, ein weites Feld der Möglichkeiten zu betreten, denn ihr braucht nun nicht bei jeder Gelegenheit einen Taschenrechner, sondern könnt mit Stift und Papier komplizierte Rechnungen durchführen. Ihr findet diesen Ansatz in der Arithmetik, die sich ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus beschäftigt und die vom Mathematiker Pierre de Fermat seit dem 17. Jahrhundert weit verbreitet wurde. Es gibt ein paar Tipps, wie man schnell erkennen kann, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl teilen kann. Eine ganze Zahl ist teilbar durch:

2, wenn es sich um eine gerade Zahl handelt, also 0, 2, 4, 6 oder 8
4, wenn die durch die letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist
5, wenn die letzte Ziffer gleich 0 oder 5 ist
3, wenn die Summe der Ziffern, aus denen sie besteht, selbst durch 3 teilbar ist
9, wenn die Summe der Ziffern selbst durch 9 teilbar ist
10, wenn die letzte Ziffer 0 ist.

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Wie findet man den größten gemeinsamen Teiler einer Zahl?

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von zwei natürlichen Zahlen ungleich Null ist ein Grundprinzip der elementaren Arithmetik, das es ermöglicht, die größte natürliche Zahl zu finden, durch die man beide Zahlen teilen kann, ohne dass ein Rest entsteht. Dazu erstellt man eine Lister der Werte, durch die man zwei verschiedene Zahlen teilen kann, beispielsweise um den ggT von 20 und 36 zu ermitteln:

20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20
36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Der ggT von 20 und 36 ist also 4. Ein weiteres Beispiel: Die klassischen Teiler von 36, 48 und 60 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Also schreibt man: ggT (36, 48, 60) = 12.

Was muss man machen, um den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen? — Wie findet man den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen? |Quelle: Unsplash

Es gibt auch noch andere Methoden, die weit praktischer sind, als immer alle Teiler aufzuschreiben: die Primfaktorzerlegung und der euklidische Algorithmus, mit der man den ggT von beispielsweise 116 und 78 berechnen kann:

Primfaktorzerlegung: 116 - 78 = 38, 78 - 38 = 40, 40 - 38 = 2, 2-2 = 0. ggT (116;78) = 2
Mit dem Verfahren von Euklid: 116 = 78 x 1 + 38, 78 = 38 x 2 + 2, 38 = 19 x 2 + 0, ggT (116;78) = 2.

Das Prinzip ist für beide Methoden gleich: man zieht eine Zahl so oft wie möglich von der anderen ab und schaut sich den Rest an. Entdeckt, was es mit der Algebra auf sich hat.