Definition: Einfacher Dreisatz

Der einfache Dreisatz dient dazu, zwei zueinander proportionale Größen in Verbindung zu setzen, wenn die Menge einer der Größen berechnet werden muss, die einer bestimmten Menge der anderen Größe entspricht.

 

\displaystyle \left.\begin{matrix} A_1 & \overset{I}{\rightarrow} &C \\ A_2&\rightarrow & x \end{matrix}\right\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{A1}{A2}=\frac{C}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{A_2 \cdot C}{A_1}

 

Der einfache Dreisatz kann dann angewendet werden, wenn die Relation zweier Größen wie folgt lauten soll:

 

Je    mehr \ \ \rightarrow desto mehr.

Je    weniger \rightarrow desto weniger.

 

Das heißt, wenn eine der Größen erhöht wird, erhöht sich die andere automatisch mit. Wenn eine Größe verringert wird, verringert sich auch die andere. In beiden Fällen geschieht dies in derselben Proportion.

 

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Los geht's

Definition: proportionale Größen

 

Zwei Größen sind zueinander proportional, wenn beim multiplizieren der einen mit einer beliebigen Zahl, die andere mit derselben Zahl multipliziert wird. Ebenso sind zwei Größen zueinander proportional , wenn beim Teilen der einen durch eine beliebige Zahl die andere durch dieselbe Zahl geteilt wird.

 

Ob zwei Größen proportional zueinander sind, kann auch anhand ihres Quotienten herausgefunden werden. Der Quotient zweier proportionaler Werte ist immer konstant.

 

Gemischte Aufgaben: einfacher Dreisatz und proportionale Zuordnung

 

1 Beispiele für proportionale Größen sind:

 

  • Die Strecke, die man mit einem Fahrzeug zurücklegt und die dafür benötigte Zeit: für eine doppelt so lange Strecke benötigt man doppelt so viel Zeit.
  • Das Volumen eines Körpers und sein Gewicht: ein Körper mit doppeltem Volumen wiegt das doppelte (insofern beide aus demselben Material bestehen).
  • Die Menge an Bonbons und das Geld, das man dafür bezahlen muss: die doppelte Menge an Bonbons kostet doppelt so viel.

 

2 Das Gewicht eines Produkts und sein Preis sind ebenso zwei zueinander proportionale Größen.

 

Wenn 1 kg Tomaten 1€ kosten, kosten folglich

 

  • 2 kg Tomaten 2 €
  • 0,5 kg Tomaten kosten 0,5 €

 

Das heißt, je mehr Kilo Tomaten man kauft, desto mehr muss man bezahlen. Umgekehrt bezahlt man weniger, je weniger Kilo Tomaten man kauft. Man kann ebenso erkennen, dass man beim Teilen des Gewichts durch den Preis immer 1 als Quotienten erhält.

 

Ein Fahrzeug legt eine Strecke von  240  km in  3  Stunden zurück. Wie viele Kilometer hat es nach  2  Stunden zurückgelegt?

 

Es handelt sich um proportionale Größen, da man weniger Kilometer zurücklegt, je kürzer man fährt.

 

Lösung:

 240  km \overset{d}{\rightarrow}  3  h

 x    km  \rightarrow   2  h

 

\displaystyle \frac{240}{x}=\frac{3}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ 240 \cdot 2 = 3 \cdot x \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{240 \cdot 2}{3}= 160 kms

 

Anna kauft 5 kg Kartoffeln. Wenn 2 kg 0,80 € kosten, wie viel muss sie bezahlen?

 

Es handelt sich um proportionale Größen, da Anna mehr Geld benötigt, je mehr Kilos sie einkauft.

Lösung:

2 kg\overset{d}{\rightarrow} 0,80

5 kg  \rightarrow x

 

\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{0,80}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \cdot x = 5 \cdot 0,80 \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{5 \cdot 0,80}{2}= 2

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.