Einführung: Prozentrechnung
Ein Prozentsatz zeigt immer den Anteil eines Gesamten an. "Prozent" bedeutet wortwörtlich "von Hundert". Es geht beim Prozentrechnen also immer um Hundertstel. Zum Beispiel bedeuten 7% eines
Zahlenwerts, dass jeweils nur 7 von 100 Einheiten betrachtet werden. In den folgenden
Rechenaufgaben verwenden wir die Schreibweise ![100\xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{}7](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f238d22e1f029e83e5c22e54cca18e42_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Um uns die Arbeit zu erleichtern, identifizieren wir zuerst das zu berechnende Element.
Dieses kann ein Wert oder ein Prozentsatz sein. Das zu berechnende
Element ersetzen wir durch die Variable x in der folgenden Tafel:
![\begin{matrix} \textup{Grundwert} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} &\textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert} \\ & & \\ 100 & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & \textup{Prozentsatz}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-877f1a738d6fbe6a766e786f740196d7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Um den gesuchten Wert zu ermitteln, muss eine Proportionalität in derselben Reihenfolge hergestellt werden,
in der die Angaben im vorherigen Schritt angeordnet wurden:
![\begin{matrix} \textup{Grundwert} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} &\textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert} \\ \downarrow & & \downarrow \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\\ 100 & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & \textup{Prozentsatz}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ea8be610eeb9076ec3c73680fedce28_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
das heißt:
Da der unbekannte Wert als x aufgeführt wird, muss lediglich nach x aufgelöst werden.
Willst du zum Beispiel den Prozentsatz ermitteln, ersetzt du den Prozentsatz durch x:
![\begin{matrix} \textup{Grundwert} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} &\textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert} \\ & & \\ 100 & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41ca5ac5cfd395c8c726a680705de2c1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Folgende Beziehung müsste hergestellt werden:
Durch Auflösen nach x erhält man:
Genauso können die Angaben in dieser Reihenfolge aufgeschrieben werden:
![\begin{matrix} 100 & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\\ & & \\ \textup{Grundwert} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & \textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert} \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-39d547661480a9d4735823657f9337fe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Beziehung kann rechnerisch auf folgende Weise dargestellt werden:
Durch Auflösen erhält man dasselbe Ergebnis wie zuvor.
Prozentrechnen im Alltag
Wie viel Prozent der Schüler sind auf einem Schulausflug?
Wie viel Prozent der Schüler sind auf einem Schulausflug?
1Identifiziere und ordne die bereits bekannten Angaben und ersetze die zu berechnende Angabe durch die Variable x:
![\begin{matrix} 800\textup{ Schüler} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 600\textup{ Schüler} \\ & & \\ 100\textup{ Schüler} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\textup{ Schüler} \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f7b6cdc66a2e692c26f5945aea7c65bf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf
2 Beim Kauf eines Fahrzeugs mit einem Preis von 8800 € erhalten wir einen Rabatt von 7,5%.
Wie viel müssen wir für das Fahrzeug bezahlen?
Wie viel müssen wir für das Fahrzeug bezahlen? Lösungen:
1Identifiziere und ordne die bereits bekannten Angaben und ersetze die zu berechnende Angabe durch die Variable x:
![\begin{matrix} 8800\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \\ & & \\ 100 \; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 7,5 \; \euro \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2264f478f1468e9cb15d3098d70ff0f8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf
3 Ziehe den Wert von 'x' vom ursprünglichen Preis ab
4 Die Aufgabe kann auch auf diese Art berechnet werden:
Wir erhalten einen Rabatt von 7,5%, das heißt, dass wir nur 92,5% des Gesamtpreises bezahlen müssen.
Anstelle von 7,5 Hundertsteln kann man direkt 92,5 Hundertstel, das heißt,
92,5 von 100 berechnen:
![\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 92,5\; \euro\\ & & \\ 8800\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a609107aa78034578dff06a8f133a1d8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
5Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf
3 Ein Computer kostet 1200 € (zzgl. Mehrwertsteuer).
Wie viel muss man insgesamt bezahlen, wenn die Mehrwertsteuer 16% beträgt?
Wie viel muss man insgesamt bezahlen, wenn die Mehrwertsteuer 16% beträgt?1Die Mehrwertsteuer von 16% wird zusätzlich zum Kaufpreis berechnet, das heißt für jede 100€ des Kaufpreises werden zusätzliche 16€ berechnet.
Anstelle von 100 € bezahlt man also 116 €
![\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 116\; \euro \\ & & \\ 1200\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c37dfb1c24bf15ee24377700e7281e3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf
4 Beim Kauf eines Monitors für 450 € erhalten wir einen Rabatt von 8%.
Wie viel müssen wir bezahlen?
Wie viel müssen wir bezahlen?
1Identifiziere und ordne die bereits bekannten Angaben und ersetze die zu berechnende Angabe durch die Variable x:
![\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 92\; \euro \\ & & \\ 450\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-44d6389684618a81fb627d5bee1ac2e6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf
5 Ein Warenhaus verkauft einen Artikel mit 15% Gewinn im Vergleich zum Einkaufspreis.
Der Einkaufspreis betrug 80 €. Ermittle den Verkaufspreis.
Der Einkaufspreis betrug 80 €. Ermittle den Verkaufspreis.
1Wir erhalten einen Rabatt von 8%, das heißt, für jede 100 € bezahlen wir 8 € weniger.
Anstelle von 100 € bezahlen wir also 92 €
![\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 115\; \euro \\ & & \\ 80\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb33c2ee9e2ceb9f450e1d441f015a72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf
6Welcher Verkaufspreis muss auf dem Preisschild eines Artikels stehen, der im Einkauf
180 € gekostet hat und mit einem Gewinn von 10% verkauft werden soll?
180 € gekostet hat und mit einem Gewinn von 10% verkauft werden soll?
1Der Einkaufspreis beträgt 180 € und wir wollen 10% Gewinn machen.
![\begin{matrix} 110\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 100 \; \euro \\ & & \\ x\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 180\; \euro \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb54c20f346fb77b86141fbe9ef1d45f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf
7 Wir wollen Schuhe über eine Second-Hand-App verkaufen. Wir haben die Schuhe für 280 € gekauft und wollen sie nun 12% günstiger verkaufen. Welchen Preis müssen wir in der App angeben?
1 Wenn 100% des Preises 280 € sind, sind 12% des Preises:
![\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 280\; \euro \\ & & \\ 12 \; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2c1f51032116ec594ab948f001dbf1f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf
3 Nun haben wir den Wert der 12% von 280 ermittelt. Wir wollen aber den Preis wissen, den wir in der App anbieten müssten. Um den zu erhalten, subtrahieren wir:
Um die Schuhe 12% günstiger zu verkaufen, müssen sie in der App mit 
angeboten werden
8 Wir verkaufen einen Artikel und machen dabei im Vergleich zum Einkaufspreis 20% Verlust.
Zu welchem Preis verkaufen wir den Artikel, wenn der Einkaufspreis 150 € betrug.
Zu welchem Preis verkaufen wir den Artikel, wenn der Einkaufspreis 150 € betrug.
1 Hätte der Einkaufspreis 100 € betragen und hätte man 20% Verlust gemacht hat, läge der Verkaufspreis bei 80 €
![\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 80\; \euro \\ & & \\ 150\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0788a4e895d14d08643c3e5e4257519_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf
Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet
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