Einführung: Prozentrechnung

 

Ein Prozentsatz zeigt immer den Anteil eines Gesamten an. "Prozent" bedeutet wortwörtlich "von Hundert". Es geht beim Prozentrechnen also immer um Hundertstel. Zum Beispiel bedeuten 7% eines
Zahlenwerts, dass jeweils nur 7 von 100 Einheiten betrachtet werden. In den folgenden
Rechenaufgaben verwenden wir die Schreibweise 100\xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{}7

 

Um uns die Arbeit zu erleichtern, identifizieren wir zuerst das zu berechnende Element.
Dieses kann ein Wert oder ein Prozentsatz sein. Das zu berechnende
Element ersetzen wir durch die Variable x in der folgenden Tafel:

 

\begin{matrix} \textup{Grundwert} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} &\textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert} \\ & & \\ 100 & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & \textup{Prozentsatz}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}

 

Um den gesuchten Wert zu ermitteln, muss eine Proportionalität in derselben Reihenfolge hergestellt werden,
in der die Angaben im vorherigen Schritt angeordnet wurden:

 

\begin{matrix} \textup{Grundwert} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} &\textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert} \\ \downarrow & & \downarrow \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\\ 100 & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & \textup{Prozentsatz}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}

 

das heißt:

 

\cfrac{\textup{Grundwert}}{100}=\cfrac{\textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert}}{\textup{Prozentsatz}}

 

Da der unbekannte Wert als x aufgeführt wird, muss lediglich nach x aufgelöst werden.
Willst du zum Beispiel den Prozentsatz ermitteln, ersetzt du den Prozentsatz durch x:

 

\begin{matrix} \textup{Grundwert} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} &\textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert} \\ & & \\ 100 & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}

 

Folgende Beziehung müsste hergestellt werden:

 

\cfrac{\textup{Grundwert}}{100}=\cfrac{\textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert}}{x}

 

Durch Auflösen nach x erhält man:

 

x=\cfrac{(100)(\textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert})}{\textup{Grundwert}}

 

Genauso können die Angaben in dieser Reihenfolge aufgeschrieben werden:

 

\begin{matrix} 100 & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\\ & & \\ \textup{Grundwert} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & \textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert} \end{matrix}

 

Die Beziehung kann rechnerisch auf folgende Weise dargestellt werden:

 

\cfrac{100}{\textup{Grundwert}}=\cfrac{x}{\textup{Auf Prozentsatz bezogener Wert}}

 

Durch Auflösen erhält man dasselbe Ergebnis wie zuvor.

 

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Los geht's

Prozentrechnen im Alltag

 

1 Von den 800 Schülern eines Gymnasiums sind 600 auf einem Schulausflug.
Wie viel Prozent der Schüler sind auf einem Schulausflug?

 

Von den 800 Schülern eines Gymnasiums sind 600 auf einem Schulausflug.
Wie viel Prozent der Schüler sind auf einem Schulausflug?

 

1Identifiziere und ordne die bereits bekannten Angaben und ersetze die zu berechnende Angabe durch die Variable x:

 

\begin{matrix} 800\textup{ Schüler} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 600\textup{ Schüler} \\ & & \\ 100\textup{ Schüler} & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\textup{ Schüler} \end{matrix}

 

2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf

 

\cfrac{800}{100}=\cfrac{600}{x}

 

x=\cfrac{600\cdot 100}{800}=75\%

 

2 Beim Kauf eines Fahrzeugs mit einem Preis von 8800 € erhalten wir einen Rabatt von 7,5%.
Wie viel müssen wir für das Fahrzeug bezahlen?

 

Beim Kauf eines Fahrzeugs mit einem Preis von 8800 € erhalten wir einen Rabatt von 7,5%.
Wie viel müssen wir für das Fahrzeug bezahlen? Lösungen:

 

1Identifiziere und ordne die bereits bekannten Angaben und ersetze die zu berechnende Angabe durch die Variable x:

 

\begin{matrix} 8800\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \\ & & \\ 100 \; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 7,5 \; \euro \end{matrix}

 

2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf

 

\cfrac{8800}{100}=\cfrac{x}{7,5}

 

x=\cfrac{8800\cdot 7,5}{100}=660\; \euro

 

3 Ziehe den Wert von 'x' vom ursprünglichen Preis ab

 

8800\; \euro -660\; \euro =8140\; \euro

 

4 Die Aufgabe kann auch auf diese Art berechnet werden:

Wir erhalten einen Rabatt von 7,5%, das heißt, dass wir nur 92,5% des Gesamtpreises bezahlen müssen.
Anstelle von 7,5 Hundertsteln kann man direkt 92,5 Hundertstel, das heißt,
92,5 von 100 berechnen:

 

\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 92,5\; \euro\\ & & \\ 8800\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}

 

5Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf

 

\cfrac{100}{8800}=\cfrac{92,5}{x}

 

x=\cfrac{8800\cdot 92,5}{100}=8140\; \euro

 

3 Ein Computer kostet 1200 € (zzgl. Mehrwertsteuer).
Wie viel muss man insgesamt bezahlen, wenn die Mehrwertsteuer 16% beträgt?

 

Ein Computer kostet 1200 € (zzgl. Mehrwertsteuer).
Wie viel muss man insgesamt bezahlen, wenn die Mehrwertsteuer 16% beträgt?1Die Mehrwertsteuer von 16% wird zusätzlich zum Kaufpreis berechnet, das heißt für jede 100€ des Kaufpreises werden zusätzliche 16€ berechnet.
Anstelle von 100 € bezahlt man also 116 €

 

\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 116\; \euro \\ & & \\ 1200\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}

 

2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf

 

\cfrac{100}{1200}=\cfrac{116}{x}

 

x=\cfrac{1200\cdot 116}{100}=1392\; \euro

 

4 Beim Kauf eines Monitors für 450 € erhalten wir einen Rabatt von 8%.
Wie viel müssen wir bezahlen?

 

Beim Kauf eines Monitors für 450 € erhalten wir einen Rabatt von 8%.
Wie viel müssen wir bezahlen? 

 

1Identifiziere und ordne die bereits bekannten Angaben und ersetze die zu berechnende Angabe durch die Variable x:

 

\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 92\; \euro \\ & & \\ 450\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}

 

2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf

 

\cfrac{100}{450}=\cfrac{92}{x}

 

x=\cfrac{450\cdot 92}{100}=414\; \euro

 

5 Ein Warenhaus verkauft einen Artikel mit 15% Gewinn im Vergleich zum Einkaufspreis.
Der Einkaufspreis betrug 80 €. Ermittle den Verkaufspreis.

 

Ein Warenhaus verkauft einen Artikel mit 15% Gewinn im Vergleich zum Einkaufspreis.
Der Einkaufspreis betrug 80 €. Ermittle den Verkaufspreis.

1Wir erhalten einen Rabatt von 8%, das heißt, für jede 100 € bezahlen wir 8 € weniger.
Anstelle von 100 € bezahlen wir also 92 €

 

\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 115\; \euro \\ & & \\ 80\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}

 

2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf

 

\cfrac{100}{80}=\cfrac{115}{x}

 

x=\cfrac{115\cdot 80}{100}=92\; \euro

 

6Welcher Verkaufspreis muss auf dem Preisschild eines Artikels stehen, der im Einkauf
180 € gekostet hat und mit einem Gewinn von 10% verkauft werden soll?

 

Welcher Verkaufspreis muss auf dem Preisschild eines Artikels stehen, der im Einkauf
180 € gekostet hat und mit einem Gewinn von 10% verkauft werden soll?

1Der Einkaufspreis beträgt 180 € und wir wollen 10% Gewinn machen.

 

\begin{matrix} 110\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 100 \; \euro \\ & & \\ x\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 180\; \euro \end{matrix}

 

2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf

 

\cfrac{110}{x}=\cfrac{100}{180}

 

x=\cfrac{180\cdot 110}{100}=198\; \euro

 

7 Wir wollen Schuhe über eine Second-Hand-App verkaufen. Wir haben die Schuhe für 280 € gekauft und wollen sie nun 12% günstiger verkaufen. Welchen Preis müssen wir in der App angeben?

 

Wir wollen Schuhe über eine Second-Hand-App verkaufen. Wir haben die Schuhe für 280 € gekauft und wollen sie nun 12% günstiger verkaufen. Welchen Preis müssen wir in der App angeben?

1 Wenn 100% des Preises 280 € sind, sind 12% des Preises:

 

\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 280\; \euro \\ & & \\ 12 \; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}

 

2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf

 

\cfrac{100}{12}=\cfrac{280}{x}

 

x=\cfrac{280\cdot 100}{112}= 33,6\; \euro

3 Nun haben wir den Wert der 12% von 280 ermittelt. Wir wollen aber den Preis wissen, den wir in der App anbieten müssten. Um den zu erhalten, subtrahieren wir:

280 - 33,6 = 246,4

Um die Schuhe 12% günstiger zu verkaufen, müssen sie in der App mit 246,4 € angeboten werden

 

8 Wir verkaufen einen Artikel und machen dabei im Vergleich zum Einkaufspreis 20% Verlust.
Zu welchem Preis verkaufen wir den Artikel, wenn der Einkaufspreis 150 € betrug.

 

Wir verkaufen einen Artikel und machen dabei im Vergleich zum Einkaufspreis 20% Verlust.
Zu welchem Preis verkaufen wir den Artikel, wenn der Einkaufspreis 150 € betrug.

1 Hätte der Einkaufspreis 100 € betragen und hätte man 20% Verlust gemacht hat, läge der Verkaufspreis bei 80 €

 

\begin{matrix} 100\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & 80\; \euro \\ & & \\ 150\; \euro & \xrightarrow[\; \; \; \; \; ]{} & x\; \euro \end{matrix}

 

2Stelle das Verhältnis zwischen den Angaben her und löse nach x auf

 

\cfrac{100}{150}=\cfrac{80}{x}

 

x=\cfrac{150\cdot 80}{100}=120\; \euro

 

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.